Sophie Germain Primzahlen

Ich versuche die Unendlichkeit dieser Sophie Germain Primzahlen (2p+1 ist prim) zu knacken, was mir aber nicht recht gelingen will, ich gehe so vor, dass ich eine Formel so gestallte, dass am Ende nur noch Produkte aus dieser Formel kommen, deren Faktoren Primzahlen sind. Die Faktorisierung dieser Produkte ist kein Problem. Mein Problem ist, dass ich die Formel nicht richtig hinbekomme, wer ist willens mir zu helfen?

Ich fang von Vorne an:

Als erstes schreibe ich alle Dreieckszahlen auf:

3= 3x1
6= 3x2
10=5x2
15=5x3
21=7x3
28=7x4
36=9x4
45=9x5
55=11x5
usw..

Die roten Zahlen sind die interessanten, mit der folgenden Formel kann ich diese errechnen.

9n+9(n(n-1)/2)+1 wobei n ungerade ist, exakter 4x-1 (x ist eine natürliche Zahl)

Wenn man nun noch alle n's ignoriert, die eine 1 oder 3 am Ende haben (die 3 selbst bildet eine Ausnahme), so steht die Formel, mit der ich nicht weiter komme.

Es bleiben diese verflixten fastprim Faktoren. Wie kann man die noch weg selektieren?

Die Faktorisierung:

Wenn ich bsplw. n = 15 (4*4-1, x=4 ) wähle, so kommt bei der Formel heraus:

135 + 946 = 1081

Das Ergebnis minus 1 und geteilt durch n(n-1)/2 dieses Ergebnis minus 2, dieses Ergebnis teile man durch 2. Nun ist n ja eine 4x-1 Zahl, man ziehe von dem Ergenis welches man nach der Teilung mit 2 erhalten hat, 3x ab und hat einen Faktor, der ander ist bei der Addition mit 3x.

1081-1=1080,
1080 /15=72,
72-2=70,
70/2=35,
35 -12=23,
35+12=47.

23*47 sind die Faktoren

Wenn ich eine Liste erstelle, die mit den roten Zahlen bestückt ist, sieht die so aus:

8 +-3 n=3
17 +-6 n=7
26 +-9 n=11
35 +-12 n=15
44+- 15 n= 19
53 +- 18 n= 23
62 +-21 n=27
71 +- 24 n= 31
80 +- 27 n= 35
89 +- 30 n= 39
98 +- 33 n =43
107 +- 36 n=47
116 +- 39 n=51
125 +- 42 n=55
134 +- 45 n =59
143 +- 48 n= 63
152 +- 51 n=67
161 +- 54 n=71
170 +- 57 n= 75
179 +- 60 n= 79
188 +- 63 n= 83
197 +- 66 n= 87
206 +- 69 n = 91
215 +- 72 n= 95
224 +- 75 n= 99

Wobei es auf beiden Seiten, auf der bsplw. 8-3 (6n-1) und der 8+3 (6n-1), unendlich viele Primzahlen gibt. Nur ob sie sich in der Unendlichkeit immer mal wieder gegenüberstehen, das ist die Frage.

Vielleicht kann man die Unendlichkeit der S.G.Primzahlen beweisen, wenn man folgende Vermutung beweist.

Wenn das Produkt "Dreieckszahl" aus genau zwei Primfaktoren besteht, so ist zwischen dem Produkt und der folgenden Dreieckszahl genau eine Quadratzahl. Ausnahme ist die Dreieckszahl 10.

Bspl.

5*11= 55
Zwischen 55 und 66 steht die 64.

7*13 = 91
Zwischen der 91 und der 105 steht die 100.

Oder anders ausgedrückt:

Wenn zwischen n(n-1)/2=x und n(n+1)/2=y keine Quadratzahl steht, so ist x kein Produkt zweier Primfaktoren.

Oh weia. Das ist schon komplizierte Zahlentheorie. Also hab mal die Wikipedia befragt und da steht ja, dass jedes Produkt aus einer Sophie Germain Primzahl und der dazugehörigen 2p+1 Primzahl eine Dreieckszahl ergibt. p*(2p+1)=Dreieckszahl.
Nun gibt es unendlich viele Primzahlen (zu denen ja immer auch 2p+1 zählt), das ist bereits bewiesen. Und auch Dreieckszahlen gibt es unendlich viele (ist ja eine einfache Reihe). Auf Grund dieser Tatsache müsste es dann wohl auch das unendlich oft geben, was als Faktor davorsteht.

Ich weiss, dass dieser "Beweis" etwas sehr billig ist, würde aber jedenfalls die von den Mathematikern erwähnte Vermutung bestätigen. Aber ich bin eh kein Mathematiker. ;)

@Antharis79

Ja es gibt unendlich viele Primzahlen.

Antharis79 schrieb:Nun gibt es unendlich viele Primzahlen (zu denen ja immer auch 2p+1 zählt), das ist bereits bewiesen.

Wenn 2p+1= prim.

Antharis79 schrieb:Auf Grund dieser Tatsache müsste es dann wohl auch das unendlich oft geben, was als Faktor davorsteht.

Ich verstehe nicht ganz, was du damit sagen willst, man weiss nicht ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die multipliziert mit zwei und addiert mit eins, wieder eine Primzahl ergeben.
Natürlich ist die 13 eine Primzahl, aber 13*2+1 ist immer noch 3³ und das ist nicht Prim.

Ich glaube auch, dass es unendlich viele S.G.Primzahlen gibt, aber ein Beweis wäre doch schon etwas mehr wie glauben.

Im übrigen bin ich auch kein Mathematiker, das darf mich doch aber nicht davon abhalten, unsterblich zu werden.

@Radix

Nutzlos mit dem Beweis bei den Dreieckszahlen anzufangen weil die Relation einseitig ist.

Ich sehe hier keine nützliche Erkenntnis zur Sache.

Wenn das Produkt "Dreieckszahl" aus genau zwei Primfaktoren besteht, so ist zwischen dem Produkt und der folgenden Dreieckszahl genau eine Quadratzahl. Ausnahme ist die Dreieckszahl 10.

Woraus schließt du das? Inwiefern wäre das Relevant.

Radix schrieb:Wenn zwischen n(n-1)/2=x und n(n+1)/2=y keine Quadratzahl steht, so ist x kein Produkt zweier Primfaktoren.

Der Umkehrschluss dagegen ist nicht zulässig. Wenn dazwischen eine Quadratzahl steht kann x trotzdem prim sein oder aus 3 oder mehr Faktoren bestehen.

korrektur:

prim kann es nicht sein... zumindest nicht bei x über 3

@interpreter

interpreter schrieb:Woraus schließt du das? Inwiefern wäre das Relevant.

Zuerst einmal habe ich es Beobachtet bis zu n=93 also bei n(n+1)/2, da ich ja die Vermutung habe.
Wobei ich nur die Dreieckszahlen im Blick habe, die keine Quadratzahl zwischen sich haben.
Und dann habe ich ein relativ offensichtliches Muster gesehen, was ja leider noch kein Beweis ist.
Ich kann also schon mal das Warum beantworten.

Ich dachte, wenn ich dieses Warum beantworten kann, so ergäbe sich eine Relevanz zu den Sophie Germain Primzahlen. (Hier bin ich allerdings noch am grübeln)

interpreter schrieb:Der Umkehrschluss dagegen ist nicht zulässig. Wenn dazwischen eine Quadratzahl steht kann x trotzdem prim sein oder aus 3 oder mehr Faktoren bestehen.

Das ergibt sich doch eigentlich aus dem Kontext, dass ich nur Fastprimzahlen 2.Ordnung meine, es geht ja um die Sophie Germain Primzahlen.

interpreter schrieb:prim kann es nicht sein... zumindest nicht bei x über 3

Bedeutet?

Das Muster:

Ich habe alle betreffenden Dreieckszahlen aufgeschrieben und so zeigt sich dass fünf Dreieckszahlen nacheinander immer durch drei teilbar sind, es liegen immer zwei Dreieckszahlen zwischen diesen Dreieckszahlen die durch drei teilbar sind und genau diese, haben als kleineren Faktor eine gerade Zahl. Daraus würde folgen, dass so eine Dreieckszahl niemals eine Primzahl 2.Ordnung sein kann.

Allerdings ist dies mit Vorsicht zu geniessen, denn dieses Muster ist Anfangs nicht wirklich da, es wirkt ein wenig, als hätte es Start Schwierigkeiten.

@Radix

interpreter schrieb:prim kann es nicht sein... zumindest nicht bei x über 3

Eine Dreieckszahl größer als 3 kann niemals prim sein. Das sieht man schon an der Gaußschen Summenformel:

n(n+1)/2

n oder n+1 sind grade. Also besteht die Dreieckszahl aus einer zusammengesetzten Zahl (grade Zahl zusammengesetzt aus 2 * X ) und einer zusammengesetzten oder primen ungraden Zahl.

Radix schrieb:Ich habe alle betreffenden Dreieckszahlen aufgeschrieben und so zeigt sich dass fünf Dreieckszahlen nacheinander immer durch drei teilbar sind, es liegen immer zwei Dreieckszahlen zwischen diesen Dreieckszahlen die durch drei teilbar sind und genau diese, haben als kleineren Faktor eine gerade Zahl. Daraus würde folgen, dass so eine Dreieckszahl niemals eine Primzahl 2.Ordnung sein kann.

Zwischen 5 die durch 3 teilbar sind liegen 2 die durch 3 teilbar sind???

Was denn nun? Fünf oder zwei die durch drei teilbar sind?

Radix schrieb:Das ergibt sich doch eigentlich aus dem Kontext, dass ich nur Fastprimzahlen 2.Ordnung meine, es geht ja um die Sophie Germain Primzahlen.

wie hängen die denn deiner Meinung nach miteinander zusammen? also SG prims und dreieckszahlen die fastprim 2. Ordnung sind.

interpreter schrieb:Eine Dreieckszahl größer als 3 kann niemals prim sein. Das sieht man schon an der Gaußschen Summenformel:

Ja aber das ist doch klar! Hat ja auch niemand das Gegenteil behauptet.

interpreter schrieb:wie hängen die denn deiner Meinung nach miteinander zusammen? also SG prims und dreieckszahlen die fastprim 2. Ordnung sind.

Die Dreieckszahl 10*11/2=55 ist eine Fastprimzahl 2.Ordnung weil 5*11.
Wenn man nun so eine Dreieckszahl hat, steht zwischen dieser und der nachfolgenden Dreieckszahl mit "Sicherheit" ein Quadrat.

Wenn also zwischen der Dreickszahl x=n(n-1)/2 und der Dreieckszahl y=n(n+1)/2 kein Quadrat steht, so ist x keine Fastprimzahl 2.Ordnung.

interpreter schrieb:Zwischen 5 die durch 3 teilbar sind liegen 2 die durch 3 teilbar sind???

Was denn nun? Fünf oder zwei die durch drei teilbar sind?

Ohh, habe mich verschrieben. Es muss natürlich heissen:
"es liegen immer zwei Dreieckszahlen zwischen diesen Dreieckszahlen die NICHT durch drei teilbar sind."

Wobei gesagt werden muss, dass sich diese zwei Dreieckszahlen auf drei erhöhen, wenn Dreieckszahlen rein spielen die selbst ein Quadrat sind. Eine Unsicherheit.

Radix schrieb:Die Dreieckszahl 10*11/2=55 ist eine Fastprimzahl 2.Ordnung weil 5*11.
Wenn man nun so eine Dreieckszahl hat, steht zwischen dieser und der nachfolgenden Dreieckszahl mit "Sicherheit" ein Quadrat.

Wenn also zwischen der Dreickszahl x=n(n-1)/2 und der Dreieckszahl y=n(n+1)/2 kein Quadrat steht, so ist x keine Fastprimzahl 2.Ordnung.

Schon klar. WIE HÄNGEN DREIECKSZAHLEN MIT SOPHIE GERMAIN PRIMZAHLEN ZUSAMMEN???

interpreter schrieb:Schon klar. WIE HÄNGEN DREIECKSZAHLEN MIT SOPHIE GERMAIN PRIMZAHLEN ZUSAMMEN???

Die Frage hättest du zuerst stellen sollen.

Wenn du eine Primzahl hast, die multipliziert mit zwei und addiert mit eins wieder eine Primzahl ergeben, so sind beide Primzahlen miteinander multipliziert eine Dreieckszahl, die eine Fastprimzahl 2.Ordnung ist.

Allerdings begreiffe ich nicht, worauf du hinaus willst, denn diese Tatsache war dir doch bestimmt auch klar!?

@Radix

Ist JEDE Fastprim zweiter Ordnung die gleichzeitig eine Dreieckszahl ist, ein Produkt aus zwei
Sophie Germain Primzahlen?

Radix schrieb:Die Frage hättest du zuerst stellen sollen.

Hab ich, hier:

interpreter schrieb:wie hängen die denn deiner Meinung nach miteinander zusammen? also SG prims und dreieckszahlen die fastprim 2. Ordnung sind.

interpreter schrieb:Ist JEDE Fastprim zweiter Ordnung die gleichzeitig eine Dreieckszahl ist, ein Produkt aus zwei Sophie Germain Primzahlen?

Nein, die Sophie Germain Primzahl bezieht sich nur auf die Primzahl, die multipliziert mit zwei und addiert mit eins wieder eine Primzahl -ich nenne sie mal t- ergibt, wobei diese Primzahl t selbst keine S.G.Primzahl sein muss, aber sehr wohl sein kann.

Diese geäusserte Vermutung von mir, bezieht sich auch auf Zahlen die 2p-1=prim sind, diese aber sind keine S.G.Primzahlen.

@Radix

Radix schrieb:Nein, die Sophie Germain Primzahl bezieht sich nur auf die Primzahl, die multipliziert mit zwei und addiert mit eins wieder eine Primzahl -ich nenne sie mal t- ergibt, wobei diese Primzahl t selbst keine S.G.Primzahl sein muss, aber sehr wohl sein kann.

Wenn du keine Relation herstellen kannst die Jede, jede 2te, jede x-te oder jede mit den Kriterien Y konstruierte Dreieckszahl mit einer S.G.Primzahl asoziiert, ist der komplette Ansatz über die Dreieckszahlen leider nutzlos.

@interpreter

Wenn du keine Relation herstellen kannst die Jede, jede 2te oder jede x-te oder jede mit den Kriterien Y konstruierte Dreieckszahl mit einer S.G.Primzahl asoziiert, ist der komplette Ansatz über die Dreieckszahlen leider nutzlos.

Ja sicher, aber erst dann wenn ich keine Relation herstellen kann, dies aber ist ja das Ziel und nicht die Start Bedingung.

@Radix

Aber selbst wenn du es schaffst, musst du doch noch nachweisen das es unendlich dieser Dreieckszahlen gibt, die du damit assoziiert hast. Grundsätzlich aber solltest du auch beachten das man Primzahlen nicht sicher konstruieren kann.

Es gibt keine Induktive Methode dafür und daher auch keinen Induktiven Beweis. Alle Primzahl-Beweise fanden indirekt statt. Du allerdings versuchst dich an einer direkten Konstruktionsmethode. Unsterblich würdest du dadurch werden, wahrscheinlich die Fieldsmedallie und noch ne ganze Menge anderen Kram bekommen, klar. Aber das doch hauptsächlich weil es halt ziemlich schwer ist das zu bewerkstelligen. Ich glaube nicht das die direkte Konstruktion erfolgversprechend ist.

@interpreter

Sicherlich hast du recht, ich glaube aber, es ist die Art und Weise wie man an die Sachen herangeht, in meinem Fall schaue ich mir die Zahlen an, sehe dieses oder jenes, tauche weiter in die Zahlen und sehe plötzlich eine Regel, ich suche etwas und finde das andere und so weiter, doch ist immer die Hoffnung da, irgendeinen Hebelpunkt für gestellte Vermutungen zu greifen, zu finden. Bei den S.G.Primzahlen schwimme ich im Ozean der Dreieckszahlen, wer weiss wo ich hintreibe...

@Radix

Ich an deiner Stelle würde vorher die aufgestellten Vermutungen, versuchen im Bereich bis 10^7 oder 10^8 mit einem Computer zu überprüfen.
Also sowohl die Unendlichkeit der SG-Primzahlen als auch die Dreiecks-Quadratzahlen Vermutung.

Vielleicht lässt du dir alle anzeigen und findest dadurch noch mehr Regelmäßigkeiten.