@DearMRHazzard DearMRHazzard schrieb:und wenn man weiter kommt als dieses dann stösst man auf die 1 die hinter all den Zahlen nach dem Komma zum Vorschein kommen muss
Das ist ja der Witz. Sobald Du auf ne Eins stößt, ist die Nullenfolge davor nicht unendlich. Die vermeintlich irgendwann kommen müssende Eins, sie kommt tatsächlich nie. Kommen kann sie nur bei ner endlichen Menge an Nullen zuvor.
Dein Taschenrechner bzw. Deine Taschenrechnerfunktion aufm PC, wenn Du da "2/3" einibst, dann wird als Ergebnis was angezeigt? Bei mir seh ich "0,6666666666666667". Also ne Folge von fünfzehn Sechsen hinter dem "Nullkomma", und am Ende ne 7. Andere Rechner mit mehr oder weniger Anzeigeplätzen zeigen mehr oder weniger Sechsen an, aber immer am Anfang Nullkomma, und am Ende stets die Sieben. Zwei durch Drei ist also ne unendliche Sechserfolge hinterm Komma, bei der am Ende die Sieben steht. Oder?
Natürlich nicht. Die 7 ist nur ne menschliche Festlegung, ne Aufrundung an der Stelle, wo wir beschließen, die Zahl nicht weiterzuschreiben. Stell Dir die Eins ähnlich vor. Die Eins ist zwar keine Aufrundung, aber dennoch total vergleichbar. Denn bei 2/3 ist es völlig korrekt, daß das geschriebene Ergebnis mit ner 7 am Ende stets näher am richtigen Ergebnis ist wie ne reine Sechserfolge, also mit ner 6 am Ende. Die 7 ist "richtiger". So wie bei Deiner Nullenfolge mit ner irgendwie auftauchen müssenden Eins, wie Du es Dir vorstellst. Es mag Dir richtiger erscheinen, doch gibt es diese 1 bzw. diese 7 nicht wirklich. Nie. Never ever! Nullkommanullperiode besteht absolut ausschließlich aus Nullen und besitzt nicht eine einzige Eins, wie Nullkommasechsperiode absolut vollständig aus Sechsen nach dem Komma besteht und nie eine Sieben hat, die uns doch weit dichter am Ergebnis zu sein scheint.
Für mich am überzeugendsten bzw. anschaulichsten ist ne andere Erklärung. Sie wurde ja schon angesprochen, aber ich will es nochmal verdeutlichen.
Zahlen, die sich in Dezimalschreibweise als Werte mit einer endlichen oder periodischen Ziffernfolge hinterm Komma schreiben lassen, solche Zahlen sind Brüche aus ganzen Zahlen. Kann man ganz leicht umwandeln. Und dann macht man folgendes:
1) bei Zahlen mit endlicher Nachkomma-Ziffernfolge
Man schreibe die betreffende Zahl hin, ziehe einen Querstrich darunter, der in der Mathematik als Divisionsanzeiger gilt. Dann schreibt man unter jede Ziffer rechts vom Komma eine Null und schreibt links vor die Nullen eine Eins. Streiche noch von der Zahl oben das Komma weg. Du hast zwei ganze Zahlen. Teile sie, und Du erhältst das Ergebnis der oberen Zahl mit Komma.
-> 324,258147
-> 324258147 / 1000000 (sechs Nullen für sechs Nachkommastellen der Zahl)
-> = 324,258147
2) bei Zahlen mit einer unendlichen Ziffernfolge nach dem Komma, die aber irgendwann aus einer periodisch wiederkehrenden gleichen Ziffernfolge besteht.
Nimm zunächst nur die Periode, schreibe sie einmal hin. Ziehe einen Strich darunter und schreibe unter jede Ziffer eine Neun. Schreibe nun noch für jede Nachkommastelle vor Beginn der Periode eine Null hinter die Neunerfolge. Die so erhaltene Zahl wird mit dem Rest der Zahl multipliziert, also die Zahl, bei der Du zuvor die Periode "abgeschnitten" hast. Addiere dieses Ergebnis mit der Zahl, die aus einer Periode besteht. Schreibe hinter/unter das Ergebnis ein Teilungszeichen, und schreibe dann die Zahl aus den Neunen (und den Nullen) dazu.
-> 258,147 243... (243 ist periodisch)
-> 243 / 999
-> 243 / 999000 (drei Nullen für die drei Nachkommastellen vor Beginn der Periode)
-> 258,147 x 999000 = 257.888.853
-> 257.888.853 + 243 = 257.889.096
-> 257.889.096 / 999000
-> = 258,147 243... (243 ist periodisch)
So kompliziert ist das nur, wenn die Periode nicht gleich direkt hinterm Komma anfängt und der Wert vor dem Komma nicht Null ist. Bei Zahlen wie 0,444... oder 0,243243243... vereinfacht sich das ganze.
-> 0,444... = 4/9
-> 0,243243243... = 243/999
Nun ist 4/9 nicht etwa nur eine Näherung für 0,4 (4 periode) oder 243/999 für 0,243 (243 periode). Nein, es ist exakt dasselbe. Wenn dem aber so ist, was ist dann mit 0,000... oder 0,999...? Müßten diese Zahlen dann nicht ebenso absolut exakt das selbe sein wie 0/9 und 9/9?
Wenn eine periodische Zahl sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben läßt, dann ist Nullkommanullperiode genau Null durch Neun, also Null. Und nicht "irgendwie knapp darüber".