Klassische Mechanik
22.05.2009 um 14:20Nun ja eigentlich kann man das beim besten Willen nicht als Grenzwissen betrachten, ist es doch DIE theoretsiche Grundlage der modernen Wissenschaft.
Gerade deshalb ist es aber vielleicht eine Gute Idee einen Threat zu erstellen in dem diese Grundlegenden Fragen diskutiert und erklaehrt werden koennen.
Zunaechst sollte gesagt werdend dass es mehrer aequivalenten Formulierungen der klassichen Mechanik gibt.
Das heist verschiede Arten zu berechen, wie sich dieses oder jenes Mechnaisches Gebilde verhalten wird.
Selbstverstaendlich ist das Ergebnis, das dabei raus kommt immer das gleiche.
Ich moechte gerne bei der Erklaehrung am Anfang anfangen.
Also bei der Newtonmechanik fuer Masse Punkte.
In der Rechung werden notgedrungen Ableitungen, Integrale und vorkomen...
Ich werde jeweils kurz darauf eingehen was diese Mathematischen Operationen tun.
Diese Operationen wurden uebrigens paralleel zu dieser Theroei und zum teil direkt fuer diese Theroie entwickelt es macht also sonn sie in diesem Zusammenhang zu erkalehren.
Nach diesem Vorspiel
Kommen wir zu unserem ersten Kapitel
Kinetik(Beschreibung von Bewegung)
Der Raum den wir bertachten ist der R3
einen Ort beschreiben wir als r=(x,y,z)
wobei x y z jeweils reelle Zahlen sind.(wer nicht weis was reel heist ignoriere das Wort)
Etwas was sich so durch eine reihe von Zahlen beschreiben laesst wollen wir einen Vektor nennen
Der Ort wird durch drei Zahlen beschrieben.
Diese Zahlen heisen Koerdinaten...
.
Sie bestimmen wie weit man von einem bestimmten Punkt Ursprung genannt in drei bestimmte Richtungen (ZB vorne, rechts, oben)gehen muss um zu diesem besonderen Ort zu gelangen.
(Die gegenrichtungen braucht man nicht man kann sie durch negative Zahlen auch so ausdruecken also links =-rechts)
Ohne Angabe was der Ursprungspunkt ist und was die drei Richtungsn sind machen die Koordinaten in einer konkreten Situation keinerlei Sinn.
Zu einem Spaeteren Zeitpunkt koennen wir genauer ueber Koordinatensystem sprechen
und wie man ausrechnet wie das was man in einem Koordinatensystem betrachtet aus einem anderen heraus aussieht was dann auch der Weg zur RT sein wird.
Bleiben wir aber erstmal bei einem festen Ursprung
und (ZB vorne, rechts, oben)
In diesem Koordinatensystem koennen wir jetzt die Bewegung eines Punktes beschreiben
indem wir zu jeder zeit t einen Ort r angeben
r(t)=(x(t),y(t),z(t))
Betrachten wir den Punkt zu 2 verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2
bei t1 befand sich der Punkt
am Ort r(t1)=(x(t1),y(t1),z(t1))
bei t2 befand sich der Punkt
am Ort r(t2)=(x(t2),y(t2),z(t2))
Dazwischen hat er sich um
r(t2)-r(t1)=(x(t2)-x(t1),y(t2)-y(t1),z(t2)-z(t1))
bewegt
Seine vektorielle durchschnittsgeschwindigkeit war also
vd(t2.t1)=(r(t2)-r(t1))/(t2-t1)
Wie schon der ort ist auch die Vektroriele Durchschnittsgeschwindigkeit ein Vektor
Man beachte hierbei das wenn uns die Bewegug zwischen t1 und t2 im Kreis gefuhrt hat die Vektrorielle Durchschnittsgeschwindigkeit 0 ist...
Mit anderen Worten an der muss man nicht immer sehen ob man sich jetzt eigentlich bewegt oder nicht....
Was man will ist eigentlich keine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeiten t1 und t2 sondern eine Momentangeschwindigkeitzum Zeitpunkt t
Die bekommt man folgendermassen
man nimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit
vd(t+a,t)=(r(t+a)-r(t))/a
Und dann macht man a immer kleiner.
Mann nennt das den Grenzwert fuer a gegen 0 bilden
(Genau auf dem Niveau hat das Newton frueher betrieben heute kann man das weniger intuitiv und sehr viel praeziser formulieren aber was fuer Newton gut genug war soll auch uns bis auf weiteres reichen)
Den Fortgang die durchschnittliche Veraederung zu bilden und dann den Zeitraum uebr den diese Veraendeung erfolgte immer kleiner werden zu lassen nennt man eine Ableitung
Lass uns das so schreiben
dr/dt=v
Also die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit
(man kann natuelrich auch nach anderen Dingen als der Zeit ableiten wenn eine Groesse von anderen Dingen als dem Zeit abhaengt)
weil das soviel Spaas gemacht hat
gleich nochmal
dv/dt=a
die Ableitung der geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung
Oder auch die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Beschleunigung
d^2r/dt^2=dv/dt=a
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Gerade deshalb ist es aber vielleicht eine Gute Idee einen Threat zu erstellen in dem diese Grundlegenden Fragen diskutiert und erklaehrt werden koennen.
Zunaechst sollte gesagt werdend dass es mehrer aequivalenten Formulierungen der klassichen Mechanik gibt.
Das heist verschiede Arten zu berechen, wie sich dieses oder jenes Mechnaisches Gebilde verhalten wird.
Selbstverstaendlich ist das Ergebnis, das dabei raus kommt immer das gleiche.
Ich moechte gerne bei der Erklaehrung am Anfang anfangen.
Also bei der Newtonmechanik fuer Masse Punkte.
In der Rechung werden notgedrungen Ableitungen, Integrale und vorkomen...
Ich werde jeweils kurz darauf eingehen was diese Mathematischen Operationen tun.
Diese Operationen wurden uebrigens paralleel zu dieser Theroei und zum teil direkt fuer diese Theroie entwickelt es macht also sonn sie in diesem Zusammenhang zu erkalehren.
Nach diesem Vorspiel
Kommen wir zu unserem ersten Kapitel
Kinetik(Beschreibung von Bewegung)
Der Raum den wir bertachten ist der R3
einen Ort beschreiben wir als r=(x,y,z)
wobei x y z jeweils reelle Zahlen sind.(wer nicht weis was reel heist ignoriere das Wort)
Etwas was sich so durch eine reihe von Zahlen beschreiben laesst wollen wir einen Vektor nennen
Der Ort wird durch drei Zahlen beschrieben.
Diese Zahlen heisen Koerdinaten...
.
Sie bestimmen wie weit man von einem bestimmten Punkt Ursprung genannt in drei bestimmte Richtungen (ZB vorne, rechts, oben)gehen muss um zu diesem besonderen Ort zu gelangen.
(Die gegenrichtungen braucht man nicht man kann sie durch negative Zahlen auch so ausdruecken also links =-rechts)
Ohne Angabe was der Ursprungspunkt ist und was die drei Richtungsn sind machen die Koordinaten in einer konkreten Situation keinerlei Sinn.
Zu einem Spaeteren Zeitpunkt koennen wir genauer ueber Koordinatensystem sprechen
und wie man ausrechnet wie das was man in einem Koordinatensystem betrachtet aus einem anderen heraus aussieht was dann auch der Weg zur RT sein wird.
Bleiben wir aber erstmal bei einem festen Ursprung
und (ZB vorne, rechts, oben)
In diesem Koordinatensystem koennen wir jetzt die Bewegung eines Punktes beschreiben
indem wir zu jeder zeit t einen Ort r angeben
r(t)=(x(t),y(t),z(t))
Betrachten wir den Punkt zu 2 verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2
bei t1 befand sich der Punkt
am Ort r(t1)=(x(t1),y(t1),z(t1))
bei t2 befand sich der Punkt
am Ort r(t2)=(x(t2),y(t2),z(t2))
Dazwischen hat er sich um
r(t2)-r(t1)=(x(t2)-x(t1),y(t2)-y(t1),z(t2)-z(t1))
bewegt
Seine vektorielle durchschnittsgeschwindigkeit war also
vd(t2.t1)=(r(t2)-r(t1))/(t2-t1)
Wie schon der ort ist auch die Vektroriele Durchschnittsgeschwindigkeit ein Vektor
Man beachte hierbei das wenn uns die Bewegug zwischen t1 und t2 im Kreis gefuhrt hat die Vektrorielle Durchschnittsgeschwindigkeit 0 ist...
Mit anderen Worten an der muss man nicht immer sehen ob man sich jetzt eigentlich bewegt oder nicht....
Was man will ist eigentlich keine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeiten t1 und t2 sondern eine Momentangeschwindigkeitzum Zeitpunkt t
Die bekommt man folgendermassen
man nimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit
vd(t+a,t)=(r(t+a)-r(t))/a
Und dann macht man a immer kleiner.
Mann nennt das den Grenzwert fuer a gegen 0 bilden
(Genau auf dem Niveau hat das Newton frueher betrieben heute kann man das weniger intuitiv und sehr viel praeziser formulieren aber was fuer Newton gut genug war soll auch uns bis auf weiteres reichen)
Den Fortgang die durchschnittliche Veraederung zu bilden und dann den Zeitraum uebr den diese Veraendeung erfolgte immer kleiner werden zu lassen nennt man eine Ableitung
Lass uns das so schreiben
dr/dt=v
Also die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit
(man kann natuelrich auch nach anderen Dingen als der Zeit ableiten wenn eine Groesse von anderen Dingen als dem Zeit abhaengt)
weil das soviel Spaas gemacht hat
gleich nochmal
dv/dt=a
die Ableitung der geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung
Oder auch die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Beschleunigung
d^2r/dt^2=dv/dt=a
