@elijah26 kleine Hintergrundinformationen zum Thema;
Grigori Jakowlewitsch Perelman ist ein russischer Mathematiker und Experte auf den mathematischen Teilgebieten der Topologie und Differentialgeometrie, insbesondere auf dem Gebiet des Ricci-Flusses.
2002 veröffentlichte er seinen Beweis der Poincaré-Vermutung, eines der großen bis dahin ungelösten Probleme der Mathematik.
elijah26 schrieb:Welche Topologien haben die Dimensionen?
Topologische Dimension
Es gibt viele verschiedene Wege, die Dimension eines Raumes zu definieren.
Wenn der Raum eine glatte Mannigfaltigkeit (das mehrdimensionale Analogon einer Fläche) ist,
dann ist die Dimension die Anzahl von Variablen in einem glatten Koordinatensystem.
Die Forderung nach Glattheit schließt die Peano-Kurve (definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können) zwar aus, schränkt aber den Bereich des Raumes ein, auf den die Definition angewendet wird.
Zum Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel zweidimensional, weil die zwei Variablen Länge und Breite das Koordinatensystem bestimmen.
Offensichtlich muß die Dimension in diesem Sinne eine positive ganze Zahl sein.
(Ingenieure erkennen dies übrigens sofort als Zahl der Freiheitsgrade)
Der Mathematiker POINCAR`E verallgemeinerte diese Definition auf beliebige topologische Räume durch die Festlegungen, dass -
+ die leere Menge die Dimension -1 hat,
+ falls die Berandungen kleiner Umgebungen aller Punkte im Raum die Dimension (n-1) besitzen,
dann der Raum n-dimensional ist. (diesen Satz mehrmals lesen
;)Das ist eine sogenannte induktive Definition: es wird der nulldimensionale Raum in Termen des (-1)-dimensionalen Raumes vorgenommen, dann der 1-dimensionale Raum durch den 0-dimensionalen usw.
Wir wollen dieses Resultat die topologische Dimension nennen. Entsprechend seiner Natur ist es eine topologische Invariante (Eine topologische Invariante bzw. topologische Eigenschaft ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine gemeinsame Eigenschaft topologischer Räume, die zueinander homöomorph sind), sie muss wiederum eine ganze Zahl sein.
In der Theorie der Fraktale ist etwas mehr zu fordern als in der Topologie. Die Kochsche Schneeflocke ist topologisch einem Kreis äquivalent. Das drückt aus, daß die metrische Struktur - hier ist der Begriff des Abstands wichtig - berücksichtigt werden muß. Man muß eine Definition der Dimension suchen, die diejenige für Mannigfaltigkeiten übersteigt und erweitert, die metrische, nicht nur topologische Eigenschaften reflektiert.
Wikipedia: Topologische Invariantehttp://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/sonstiges/skripte/node9.html (Archiv-Version vom 24.10.2012)Wikipedia: Peano-KurveWikipedia: Grigori Jakowlewitsch Perelman
AnGSt schrieb:Ja, ist interessant, aber ich komme nicht ganz mit. Wie sind eine Tasse und ein Donutring topologisch gesehen das selbe? Was ist Topologie hier oder überhaupt?
