Fraktale? Mandelbrotmenge?

vielleicht hilfe dir diese doku etwas:

https://www.youtube.com/watch?v=N4N4Fv5BMOA

@Noumenon

Nö, naja, jede lineare Abbildung f ist ja ein Homomorphismus, und zwar von Vektorräumen, etwa f:V->W. Und bei einem Endomorphismus gilt einfach V=W. Aber die Theorie dahinter ist natürlich ziemlich weitreichend, ja.

In der Kategorie der Vektorräume (Objekte) mit linearen Abbildungen als (Endo)morphismen spielt das keine Rolle. Dort muss auch nicht V = W gelten, wichtig ist nur, dass die Objekte die Selbe Struktur haben. Der Begriff des Endomorphismus ist dort weitreichender als in der abstrakten Algebra. Morphismen sind sogar weitaus allgemeiner als Relationen.

Noumenon schrieb: Das ist schon recht böses Zeugs und war mir dann doch zu viel... :D

Mit Funktionentheorie kann man mich jagen, da habe ich echt nur einige Grundkenntnisse, ich weiß noch, wie viele 5 Semestler in die Analysis III Vorlesungen gestürmt um das nachzuholen. Da war der Hörsaal wieder so voll wie zu Beginn des ersten Semesters :D.

Danke für die Links, ich werde mal reinschauen und schreibe dann noch was dazu.

@r3dshift
Ja, sehr schön. :)

@mathematiker

mathematiker schrieb:In der Kategorie der Vektorräume (Objekte) mit linearen Abbildungen als (Endo)morphismen spielt das keine Rolle. Dort muss auch nicht V = W gelten, wichtig ist nur, dass die Objekte die Selbe Struktur haben. Der Begriff des Endomorphismus ist dort weitreichender als in der abstrakten Algebra. Morphismen sind sogar weitaus allgemeiner als Relationen.

Ja, ok, in der Kategorientheorie werden ja viele Dinge verallgemeinert. Schönes Gebiet. Fand ich bisher nur leider nie die Zeit für.

Das Thema finde ich auch sehr intressant. Die 3D Fraktale könnte ich Stunden lang anschauen :D
Einer meiner Favoriten:
https://www.youtube.com/watch?v=MaEV3sR2iPk

Das mit Abstand schönste Fraktal, das ich je in meinem Leben gesehen hab, ist der Fraktalbär!

Okay ich habe einmal eine Frage.
Ich habe mir das Video angeschaut

Deepest Mandelbrot Set Zoom Animation ever - a New Record! 10^275 (2.1E275 or 2^915)

Externer Inhalt
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Ob das Video echt das tiefste Zoom anzeigt oder nicht soll nun dahingestellt sein.
Ansich ist ja die Mandelbrotmenge für mich ein in sich immer wiederkehrende Muster bei der Abfolge von Bildern.

Aber was genau, abgesehen von das was Wikipedia sagt, soll nun die Mandelbrotmenge beweisen bzw. darstellen oder anzeigen?

@Niederbayern88
Beitrag von Noumenon (Seite 1)

Niederbayern88 schrieb:Ob das Video echt das tiefste Zoom anzeigt oder nicht soll nun dahingestellt sein.

Nein, natürlich nicht. Im Prinzip kann man unendlich weit in die Menge hineinzoomen...

Noumenon schrieb:Nein, natürlich nicht.

Versteh ich nicht so ganz. Dass man unendlich hineinzoomen kann ist klar. Aber wieso soll das Video keinen Rekord zeigen? Ist doch so ähnlich wie mit der Zahl Pi die regelmässig auf neue Rekordzahlen an Nachkommastellen berechnet wird.

Soweit ich weiß is das nur ne nette mathematische Spielerei?

Celladoor schrieb:Aber wieso soll das Video keinen Rekord zeigen?

Und wieso sollte ich dem widersprochen haben...? :D

@Celladoor
Ok, wieder was dazugelernt.

@Noumenon
Hmm. Danke für den Verweiss auf den 3-Teiler.
Auch wenn der Beitrag nicht das war, was ich erhofft habe.

Noumenon schrieb:Und wieso sollte ich dem widersprochen haben...?

Dann hab ich dich falsch verstanden. Entschuldige.

Krasse Scheiße... hab solche Fraktal-Videos ab undzu in youtube mir angeguckt aber dachte immer, dass diese Dinger einfach per PC so "hingekrizelt" sind...dass dahinter Mathematik steckt, habe ich nicht gewusst... Hatte schon vorher großes Respekt vor Mathe..jetzt noch mehr, wenn ich's nur verstehen würde -.-

(@all)
@mathematiker
@Noumenon

Wenn mal wieder das Thema Fraktale aufkommt und gerade weil ihr jetzt auf die Funktionentheorie zusprechen kamt, so möchte ich mal den flame-fractal-algorithm erwähnen.
Literatur z.B.: Wikipedia: Fractal flame , http://flam3.com/flame_draves.pdf

Darauf gestoßen bin ich vor 7 oder 8 Jahren durch das Open-Source Programm "Apophysis" mit dem man sich künstlerisch wirklich nach Herzenslust austoben kann, wenn man etwas Ausdauer mitbringt.
Mein Profilbild ist beispielsweise vor paar Jahren mit Apophysis 7x entstanden.

Aber das eher als Randbemerkung.

Der flame fractal algorithm selbst gehört (wie auch Wiki im ersten Satz schon sagt) zur Klasse der iterierten Funktionensysteme.
Dazu gibt es diverse Literatur, aber ich teile das Leid von @mathematiker . Die Funktionentheorie-Vorlesung gehörte für mich auch nicht zu denen, auf die ich mich über alle Maßen gefreut hätte. ;)
Dementsprechend liegt da auch für mich so einiges im Verborgenen.


Für die Allgemeinheit vielleicht mal eine eher "unmathematische" Erklärung, was dieser Algorithmus bzw. die entsprechenden Programme im Hintergrund machen. (Soweit wie ich meine es verstanden zu haben - aber auch etwas anschaulich.)
Nehme man einen Raum von Leuten, beispielsweise einen Hörsaal mit 200 Studenten.
Jetzt fragen wir nacheinander jede Person ab, ob sie Links- oder Rechtshänder ist. Antwortet die Person mit "Links", so färben wir die Stelle auf dem Sitzplan gelb. Antwortet sie mit "Rechts", so färben wir blau.
Geht man jetzt alle Sitzplätze durch und färbt nach dem Kriterium, so erhält man im Anschluss ein gewisses Muster auf dem eingefärbten Sitzplan.

Nimmt man nun einen zweiten, ungefärbten Sitzplan her und fragt wieder jeden Einzelnen nach dem Monat in dem er geboren wurde und färbt entsprechend in 12 verschiedenen Farben, so entsteht ein neues Muster.
Entsprechend kann man nun immer wieder ein andere Muster erhalten, je nachdem wie viele und welche Farben man verwendet und nach Eigenschaften man fragt.

So in etwa arbeitet man letztlich mit einem Programm wie etwas Apophysis.
Man erstellt Dreiecke, die eine Funktion definieren, kann diese nahezu beliebig mit den "Variations" modifizieren und erhält je nachdem, was man letztlich für ein Funktionensystem erstellt ein gewisses Bild.
Wenn man eine Weile damit herumspielt, so stellt man irgendwann fest wie leicht man doch dafür sorgen kann, dass die Vorschau gar nichts außer der Hintergrundfarbe abzeigt, aber wenn man mal etwas hat, was ein gutes Muster herausgibt, so da wirklich imposante Farbenspiele oder Gebilde entstehen.
So kann man beispielsweise mal versuchen das Sierpinski-Dreick mit 3 Lineraren Funktionen zu erzeugen und dann damit herumspielen. Da können die tollsten Sachen herauskommen.


Für den durchschnittlichen Benutzer also eher eine Spielerei, mit der man seine künstlerische Ader ausleben kann, aber auch mathematisch ein ziemlich eindrucksvoller Algorithmus.

@BlackFlame
Ohje... die IFS... :D

Aber das Bild sieht ziemlich genial aus. Wirklich cool. :)

@Noumenon
Ja, mit diesem oder ähnlichen Programm ist schon viel möglich. Da braucht man nur mal bei Google Bilder nach "Apophysis" zu fragen und bekommt schon eine gewisse Idee, was man damit alles machen kann.
Über die Jahre wurden da auch immer bessere 3D Variations erstellt, die aber zumindest nach meinem Empfinden erst mit Apophysis 7x ihr volles Potential entfalten konnten.
Googelt man mal danach, so sieht man doch eine ganz neue Qualität in den Bildern.

Wenn wir aber einmal beim Thema IFS und 3D Fraktalen sind, so möchte ich auch noch das Programm 'Incendia' erwähnt haben. http://www.incendia.net/index.html
Konnte das Programm leider selbst nicht mal ansatzweise meistern, aber was damit theoretisch alles möglich ist, hat mich damals beim ersten Reinschnuppern von den Socken gehauen.
Beispielsweise das hier (aus der Bildergallerie der incendia-Homepage)
Original anzeigen (0,4 MB)

Niederbayern88 schrieb am 27.02.2014:Ansich ist ja die Mandelbrotmenge für mich ein in sich immer wiederkehrende Muster bei der Abfolge von Bildern.

Aber was genau, abgesehen von das was Wikipedia sagt, soll nun die Mandelbrotmenge beweisen bzw. darstellen oder anzeigen?

Ob konkret die Mandelbrotmenge irgendetwas "beweist" oder etwas konkretes "darstellt" von dem wir noch nicht wissen, dass sie es darstellt, weis ich nicht.
Ich weis auch nicht, ob Fraktale ein attraktives Thema in der aktuellen mathematischen oder sonstigen Forschung darstellt.
Im Prinzip sind die Mandelbrot-, die Julia-Menge oder das Sierpinski-Dreieck wohl die bekannteren Beispiele, wenn man den Begriff der Selbstähnlichkeit veranschaulichen möchte.

Geht man etwas tiefer, so trifft man aber auf ein gewisses Muster in der Konstruktion solcher Gebilde.
Konkret bei der Mandelbrotmenge nimmt man sich ja ein Stück der komplexen Ebene her, gibt eine Rekursion vor und fragt in jeden Punkt, nach einer gewissen Anzahl von Iterationsschritten: "Konvergiert oder divergiert die Folge in diesem Punkt?".
Es glaube ich das schon erwähnte Programm "Fractalizer", indem man beispielsweise die Zahl der Iterationsschritte einstellen konnte und dort mal direkt nachschauen kann, wie die Ränder dieses Gebildes immer feiner werden, je mehr Iterationen man einstellt.

Abstrahiert man das ganze ein wenig, so geht es also darum von einem Punkt eine gewisse Eigenschaft abzufragen und ihn dann eben entsprechend zu färben. - Also grundsätzlich das gleiche Prinzip, was ich auch hinsichtlich des Programms Apophysis zu beschreiben versuchte.
An dortiger Stelle erwähnte ich ja auch schon, dass man diese Grundidee ja einfach auf eine beliebige Gruppen von Menschen übertragen kann und dann entsprechend nach deren Eigenschaften fragt.
Auch wenn es nicht mehr viel mit der guten Mandelbrotmenge zu tun hat, so hat aber diese Grundidee, dass man aus gewissen Eigenschaften Muster ableiten kann wohl schon praktische Anwendung in der Statistik oder beim Thema Werbung oder auch im Bereich soziale Vernetzung - auch wenn man da wohl eher im Bereich der Graphentheorie landet.
Aber ich könnte mir durchaus vorstellen, dass man die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit in diversen Bereichen des Alltags einsetzbar ist oder gar schon unterschwellig verwendet wird.

Gerade wenn man Schülern oder Kindern vor Augen führen möchte, was diese Selbstähnlichkeit sein soll und bekommt man des Öfteren Bilder von gewissen Pflanzen gezeigt oder visualisiert es am Beispiel von Legosteinen oder in einer großen Variante mit Hilfe des Aufbaus von Objekten im Universum oder sonst etwas.
Aber ich könnte mir vorstellen, dass es vielleicht auch in der Biologie/Medizin irgendwann einmal Anwendung findet, wenn man z.B. diese Idee der gezüchteten Organe einmal aufgreift.
Der menschliche Körper weist ja gewisse Selbstähnlichkeiten auf.
Vielleicht kann man irgendwann mit mit den Daten die der eigene Körper vorgibt, auch errechnen wie beispielsweise eine gezüchtete Leber für den eigenen Körper geschaffen sein müsste, damit die Abstoßwahrscheinlichkeit minimiert wird.
Ich bin nun bei weitem kein Biologe/Mediziner, aber vielleicht kann man mit Hilfe der Selbstähnlichkeit, in der letztlichen Konstruktion sehr präzisse gewisse Daten berücksichtigen, die beim wild drauf züchten oder bei der Suche nach einem Spenderorgan momentan noch außen vor gelassen werden.


Ich weis, das ist alles sehr wage und basiert auch auf einer gewissen Ahnungslosigkeit innerhalb der Naturwissenschaften. Aber die Fraktale bzw. ihre populären Vorzeigebeispiele sollen in erster Linie verdeutlichen, dass es Strukturen gibt, die in ihren noch so kleinen Feinheiten immer wieder ähnliche Bestandteile aufweisen.
Und das ist etwas, was wir zwar schon immer wieder an verschiedenen Stellen in unserem Alltag oder in der Natur beobachten konnten, aber möglicherweise kann man damit auch Modelle oder Methoden entwickeln, mit denen man dann ganz gezielt fraktale Strukturen erzeugt oder zu finden vermag.