Random Matrix Theory
04.06.2012 um 03:52Hello liebe Leute, ich will den interessierten Usern hier mal eine relativ junge Theorie vorstellen (rein qualitativ ohne Formeln etc.), welche seit Mitte der 80er mit dem Fortschritt in der Computertechnik einen neue große Selbstfindung erfahren hat. Es gibt viele interessante Anwendungen dieser Theorie, trotzdem ist sie relativ unbekannt und doch zumindest der Erwähnung wert.
Es geht um Zufallsmatrizen (was das im notwendigen Detail bedeutet erkläre ich später). Der Ursprung dieser Theorie geht dabei zurück zu einem Problem in der Atomphysik.
Um zu verstehen weshalb diese Theorie nützlich ist, hole ich vielleicht nocheinmal etwas weiter aus:
Im Grunde entspricht die Qualität der Physik bzw. der Beschreibung der Natur durch die Menschen nur der Güte des Models welches wir wählen. Die Physik ist im Prinzip eine Wissenschaft der Approximationen und Näherungen. Während wir es innerhalb der Newtonschen Gravitationstheorie gerade noch schaffen das 2 Körper Problem zu lösen müssen wir für das 3 Körper Problem schon Nähern und finden keine exakte analytische Lösung mehr. Das kuriose an der ganzen Geschichte ist, dass für ein N Körper Problem mit immer größer werdendem N ab einer bestimmten Schwelle die statistische Beschreibung von vielen Teilchen das Gesamtbild sehr gut wiederspiegelt.
Nun war es Herr Wigner der in den späten 50er Jahren die Zufallsmatrix Theorie in der Physik angewandt hat. Alles begann mit der Beobachtung von schmalen Resonanzen an großen Atomkernen an denen langsame Neutronen gestreut wurden.
Das Spektrum für schnelle Neutronen konnte relativ leicht berechnet werden, da die Wechselwirkungszeit relativ gering war und die Neutronen dadurch bedingt nur mit wenigen Teilchen des Kerns interagieren konnten.
Für langsame Neutronen hat das Aufgrund der hohen Wechselwirkungszeit nicht funktioniert (zuviele Teilchen haben Zeit mit dem Neutron zu interagieren). Die zu der Zeit gängigen Theorien konnten die dabei entstandenen Spektren nicht erklären und so ging Wigner dazu über endliche Zufallsmatrizen zu betrachten, welche die gleichen Symmetrien wie das vorgegebene physikalische System inne haben, bildete das mittel über viele dieser Matrizen, führte den limes gegen unendlich aus und erkannte das es das Spektrum mysteriöser Weiße sehr gut approximiert.
Zufallsmatrizen sind dabei erstmal einfach nur Matrizen welche in jedem Eintrag zufällige (unabhängige und identisch verteilte) Werte haben mit bestimmten Symmetrien (muss aber nicht sein) ausgestattet sind.
Kommen wir nun zu dem Witz an der ganzen Geschichte. Es hat sich gezeigt das auch fernab von natürlichen Phänomenen in der Natur solch ein Vorgehen praktikabel zu sein scheint. Wieso das so ist, weiß noch keiner. Man hat zum Beispiel erkannt das die Parklücken (zwischen Autons) auf Straßen in Paris identisch Verteilt sind wie auch die Abstände der Eigenwerte bestimmter Typen von Matrizen. Das selbe hat man auch für den Abstand bei Autos auf der Autobahn in Deutschland entdeckt oder für Wartezeiten eines Buses in Mexiko.
Darüber hinaus zeigt sich das diese Theorie stark ist im Bezug auf die Bereinigung von Daten, wie man es etwa im Finanz bereich benötigt (verschiedene Unternehmen scheinen sich dabei kurioserweise wie die Nukleonen des oben abgesprochenen Atomkerns zu verhalten) oder aber auch für die Zeitreihenanalyse von einem Portfolio. Außerdem findet man Anwendungen in dem Bereich der komplexen Netzwerke (Neuronale Netze etc. ), Telekommunikation (W-Lan) u.s.w.
Aber grade auch in der Physik gibt es abgesehen von dem historischen Beginn der Zufallsmatrix Theorie in der Atomphysik anwendungen in der Quantengravitation, QCD, Quantenchaos und anderen.
Wo die Vorteile der Anwedung von Problemen mit Hilfe dieser Theorie liegen erkläre ich nächstes mal. Fühlt euch frei mich zu fragen, wenn irgendwas komisch oder unklar ist.
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Es geht um Zufallsmatrizen (was das im notwendigen Detail bedeutet erkläre ich später). Der Ursprung dieser Theorie geht dabei zurück zu einem Problem in der Atomphysik.
Um zu verstehen weshalb diese Theorie nützlich ist, hole ich vielleicht nocheinmal etwas weiter aus:
Im Grunde entspricht die Qualität der Physik bzw. der Beschreibung der Natur durch die Menschen nur der Güte des Models welches wir wählen. Die Physik ist im Prinzip eine Wissenschaft der Approximationen und Näherungen. Während wir es innerhalb der Newtonschen Gravitationstheorie gerade noch schaffen das 2 Körper Problem zu lösen müssen wir für das 3 Körper Problem schon Nähern und finden keine exakte analytische Lösung mehr. Das kuriose an der ganzen Geschichte ist, dass für ein N Körper Problem mit immer größer werdendem N ab einer bestimmten Schwelle die statistische Beschreibung von vielen Teilchen das Gesamtbild sehr gut wiederspiegelt.
Nun war es Herr Wigner der in den späten 50er Jahren die Zufallsmatrix Theorie in der Physik angewandt hat. Alles begann mit der Beobachtung von schmalen Resonanzen an großen Atomkernen an denen langsame Neutronen gestreut wurden.
Das Spektrum für schnelle Neutronen konnte relativ leicht berechnet werden, da die Wechselwirkungszeit relativ gering war und die Neutronen dadurch bedingt nur mit wenigen Teilchen des Kerns interagieren konnten.
Für langsame Neutronen hat das Aufgrund der hohen Wechselwirkungszeit nicht funktioniert (zuviele Teilchen haben Zeit mit dem Neutron zu interagieren). Die zu der Zeit gängigen Theorien konnten die dabei entstandenen Spektren nicht erklären und so ging Wigner dazu über endliche Zufallsmatrizen zu betrachten, welche die gleichen Symmetrien wie das vorgegebene physikalische System inne haben, bildete das mittel über viele dieser Matrizen, führte den limes gegen unendlich aus und erkannte das es das Spektrum mysteriöser Weiße sehr gut approximiert.
Zufallsmatrizen sind dabei erstmal einfach nur Matrizen welche in jedem Eintrag zufällige (unabhängige und identisch verteilte) Werte haben mit bestimmten Symmetrien (muss aber nicht sein) ausgestattet sind.
Kommen wir nun zu dem Witz an der ganzen Geschichte. Es hat sich gezeigt das auch fernab von natürlichen Phänomenen in der Natur solch ein Vorgehen praktikabel zu sein scheint. Wieso das so ist, weiß noch keiner. Man hat zum Beispiel erkannt das die Parklücken (zwischen Autons) auf Straßen in Paris identisch Verteilt sind wie auch die Abstände der Eigenwerte bestimmter Typen von Matrizen. Das selbe hat man auch für den Abstand bei Autos auf der Autobahn in Deutschland entdeckt oder für Wartezeiten eines Buses in Mexiko.
Darüber hinaus zeigt sich das diese Theorie stark ist im Bezug auf die Bereinigung von Daten, wie man es etwa im Finanz bereich benötigt (verschiedene Unternehmen scheinen sich dabei kurioserweise wie die Nukleonen des oben abgesprochenen Atomkerns zu verhalten) oder aber auch für die Zeitreihenanalyse von einem Portfolio. Außerdem findet man Anwendungen in dem Bereich der komplexen Netzwerke (Neuronale Netze etc. ), Telekommunikation (W-Lan) u.s.w.
Aber grade auch in der Physik gibt es abgesehen von dem historischen Beginn der Zufallsmatrix Theorie in der Atomphysik anwendungen in der Quantengravitation, QCD, Quantenchaos und anderen.
Wo die Vorteile der Anwedung von Problemen mit Hilfe dieser Theorie liegen erkläre ich nächstes mal. Fühlt euch frei mich zu fragen, wenn irgendwas komisch oder unklar ist.
