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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

32 Beiträge, Schlüsselwörter: Mathematisch

Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

16.04.2013 um 22:45
@fetter_keks

ich habe es so verstanden, das du versuchst die stufige und die gerade Verbindung auf die unendlichkeit hinauszuziehen.
So gesehen ergeben beide irgendwann die gleiche Länge, geht man aber nun ein Schritt zurück, sodass es nict mehr unendlich ist, sieht es anders aus


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

16.04.2013 um 22:54
Ich gebs zu, ganz so verständlich war meine Frage wohl doch nicht.
Stuffz Zeichnung hats aber für mich auf den Punkt gebracht ^^

@NordicStorm
nein, ich gehe davon aus, dass man unendlich kleine Stufen in die grüne Linie einbaut, die dann aber zusammen den längeren Weg ergeben (obwohl sie eigentlich gleich lang wie die Schwarze Linie aussieht)

Naja, aber ich glaub, das Thema is sowieso schon so ziehmlich geklärt ^^


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matraze106
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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

16.04.2013 um 22:57
das phänomen ist zumindest ähnlich. dachte vom titel, dass es darum ginge. aber hat sich erledigt.
220px-T-Illusion.svg
Wikipedia: T-Figur-Illusion


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 00:08
fetter_keks schrieb:Nun kann man aber Möglichkeit 1. auch ein wenig abändern, und zwar indem man mehrere weitere Stufen einbaut (also zum Beispiel oben, rechts, oben, rechts). Die Länge der Linie bleibt dabei immer gleich.

Und jetzt geht man einfach von unendlich vielen Stufen aus.
Die daraus entstehende Linie ist identisch zur Diagonale der zwei Punkte.
Du hast völlig Recht, in der Unendlichkeit hat die Treppenfunktion dieselbe Länge wie die gerade Linie.
Du machst allerdings den Fehler, dir aus der unendlichen Folge ein Element herauszupicken und dann zu sagen "das ist ja unendlich aber trotzdem länger". Das kannst du so nicht machen, denn wenn du ein einzelnes beliebiges aber festes Element betrachtest, dann hast du dir eben nicht die Annäherung in der Unendlichkeit angeschaut.

Gegeben Punkt A = (x1, y1) und B = (x2, y2) zwei Punkte, die es zu verbinden gilt. Sich nur eine Achse anzuschauen reicht volkommen, da analog dasselbe auf der anderen Achse passiert. Deine Funktion, die die Treppengröße auf der X-Achse beschreibt ist folgende:

f(n) = L / n
mit der Konstanten L = abs(x1 - x2). Der Einfachheit halber sagen wir mal, L = 1. n ist die Anzahl der Unterteilungen der Achse, welche wir ja immer weiter steigern wollen.
Was der Grenzwert der Funktion 1 / x so macht, wurde ausführlich im Thread "Division durch Null" (Diskussion: Division durch Null) besprochen.

Bedeutet für uns, da der Grenzwert von lim(n -> ∞) [1 / n] = 0 ist für n > 0, erreicht die Größe einer Treppe in der Unendlichkeit den Wert 0, degeneriert also zu einem einzelnen Punkt. Das sollte jetzt erklären, warum sowohl die gerade Linie als auch die Annährung durch die Treppenfunktion in der Unendlichkeit dieselbe Länge haben.

Hoffe hab nix übersehen, hab irgendwie seit 2 Tagen nicht gepennt ;)


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 12:30
Leute, Leute... Der Grenzwert der Treppe ist nicht die Linie. Es gibt hier nur eine punktweise Konvergenz, aber keine gleichmäßige Konvergenz. Die unendlich feine Treppe ist noch nicht mal 1-dimensional sondern fraktaler Dimension. Passt mal auf die Reihenfolge eurer Quantoren auf:

Für gleichmäßige Konvergenz muss es für jede Epsilon-Umgebung einen Vektor N geben, so dass jeder nachfolgende Vektor an jeder Stelle einen kleineren Abstand als epsilon zum Grenzwert hat:

∀ε>0: ∃N so dass ∀x ∀n>N: |f_n(x)-f(x)|<ε

Bei den Linien gilt aber natürlich nur
∀ε>0: ∀x ∃N so dass ∀n>N: |f_n(x)-f(x)|<ε

Und damit konvergieren die Vektoren f_n nur punktweise gegen f, womit es auch sehr abenteuerlich wird eine vernünftige Norm zu finden, in denen der wahre Grenzwert (falls er denn existiert) und f gleich sind. Jedenfalls nicht wenn die Vektoren Unterräume eines euklidischen Raums sind. Mit einer Manhatten-Metrik vielleicht, aber darum gehts ja hier nicht.


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 12:44
Länge Rote Strecke: 2
Länge Schwarzer Strecke: Wurzel(2)

Länge Grüne Strecke mit x-Ecken(Abzweigungen, Knicke wie auch immer):
1-Ecke: 2
3-Ecken: 2
5-Ecken: 2
7-Ecken: 2

Gegen welchen Wert geht das nur? Da muss ich gar nicht groß Grenzwerte bilden :D

Um so mehr Ecken, um so mehr sieht die grüne Linie aus wie die Schwarze aber sie geht eben immer hin und her. Die Länge bleibt immer gleich.

Btw: eine Gerade, die von zwei Punkten begrenzt wird ist eine Strecke :D


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 13:03
Leute, Leute... Der Grenzwert der Treppe ist nicht die Linie.
Hat glaube ich auch niemand behauptet? Versteh net ganz, was du da zeigen willst und ich hab ein wenig Ahnung von Mathe ;)


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 13:06
Interessant :)
Ich bin aber mir immer noch nicht sicher ob alle wirklich die These verstanden haben.
Diese Treppe mit unendlich vielen Stufen ist nicht gleich der Linie. Es gibt eben auch unendlich viele Umwege die gemacht werden (nach oben und dann nach rechts). Damit nähert sich diese Treppe zwar optisch dieser Linie an, wird aber nie zu dieser Linie.

Ja die Unendlichkeit ist schon Mindblowing für uns geistig beschränkte Wesen


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 13:29
horusfalk3 schrieb:Länge Grüne Strecke mit x-Ecken(Abzweigungen, Knicke wie auch immer):
1-Ecke: 2
3-Ecken: 2
5-Ecken: 2
7-Ecken: 2

Gegen welchen Wert geht das nur? Da muss ich gar nicht groß Grenzwerte bilden
Das ist richtig, aber nur für endliche x. Das bleibt in der Unendlichkeit nicht so ;)


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 13:35
@Quimbo
Was mich grad ein bisschen kirre macht ist, dass es zwar so bleibt, wenn x gegen Unendlich geht aber bei unendlich vielen Ecken dann tatsächlich nicht mehr so ist :D
Das Ergebnis davon ist in meinem Kopf grad noch undefiniert ^^


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 13:42
@HYPATIA
Na ein bisschen Fehlinformation streuen?
HYPATIA schrieb:Es gibt hier nur eine punktweise Konvergenz, aber keine gleichmäßige Konvergenz.
Die Blöde Treppe konvertiert durchaus gleichmässig

Aber ihre Ableitung konvergiert nicht.

∀ε>0: ∃N so dass ∀x ∀n>N: |f_n(x)-f(x)|<ε
Nehmen wir mal wir reden von
der Funktion
f_n (x)= k/n für k/n<x<(K+1)/n

Dann ist der maximale Abstand zwischen x und f_n(x)
durch 1/n beschränkt überall gleichmässig und das geht gegen Null


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Gleich lange Linien haben nicht die gleiche Länge?!

17.04.2013 um 13:49
@JPhys2
Hast natürlich recht :-P


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