Tetraktys - Simplex und Primzahl

Zu diskutierende Kernfragen:
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Polyedern/Simplexen?
Was motiviert diese Modellierung und ist sie konsistent?

Eine ursprünglich in Kritik an der Radosophie aufgeworfene Fragestellung, die konkret und außerhalb des direkten Kontexts der dortigen Diskussion, besprochen werden soll.
Dennoch wird es wohl Referenzen auf gewisse Fragestellungen oder Beiträge dieser Diskussion geben.

(Extrahierung vom dortigen Thema wird durch vermutlich sehr lange Beiträge begründet. Und den Umstand, dass sich die Kernproblematik nicht mehr primär um Radosophie dreht.)

Die in den Raum gestellte Frage möchte ich hiermit erst mal beantworten:

BlackFlame schrieb am 30.05.2014:Zu diskutierende Kernfragen:
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Polyedern/Simplexen?
Was motiviert diese Modellierung und ist sie konsistent?

Auf der Internetseite http:/tetraktys.de habe ich als mathematischer Laie versucht, die Zusammenhänge zwischen Zahlentheorie und Simplexen zu formulieren und zu illustrieren.

Was motivierte mich, eine derart umfangreiche Webseite zu diesem und verwandten Themen online zu stellen?
Warum bin ich von der Bedeutung der Zusammenhänge so überzeugt, obwohl mir als Laie doch vermutlich eine Menge an Basiswissen fehlt, um eine mögliche Bedeutung überhaupt einschätzen zu können?
Ich will das noch einmal kurz umreißen.

Seit nunmehr 10 Jahren beschäftige ich mich in meiner Freizeit intensiv mit Symmetrien wie Kugelpackungen, platonischen Körpern und anderen Polyedern wie z.B. Simplexen.
Beim Studium von Simplexen erkannte ich interessante Gesetzmäßigkeiten beim Vergleich von Winkelsummen einzelner Sternpolygone sowohl innerhalb eines Simplex als auch zwischen den Simplexen. Bei diesen Studien fiel mir auf, dass jedes Sternpolygon für nur genau einen klar definierten Quotienten innerhalb der Divisionstabelle oberhalb von 2 steht, was auch allgemein bekannt ist.
Bekannt ist auch, dass Simplexe klar und deutlich als "multidimensionale Tetraeder" definiert sind, und dass das Pascalsche Dreieck ein absolut lückenloses Diagramm für diese theoretische Multidimensionalität von Simplexen liefert. Dass im Pascalschen Dreieck gleichzeitig auch viele andere mathematische Gesetzmäßigkeiten enthalten sind, muss ich nicht erwähnen.

Auf Grund dieser Kenntnisse machte ich mir nun die Mühe, alle Simplexe bis n=50 in einem Vektorzeichenprogramm gewissenhaft zu zeichnen, um dann im Anschluss die entsprechenden Sternpolygone in ein Koordinatenystem aufzufächern.
1 = Punkt
2 = Linie
3 = Dreieck
4 = Quadrat + zwei Diagonalen entsprechend 4/2
5 = Fünfeck + Fünfstern (Pentagramm) entsprechend 5/2
6 = Sechseck + 6-Stern, bestehend aus 2 Dreiecken = 6/2 und 3 Linien = 6/3 usw....

Dabei erkannte ich vier Typen von Sternpolygonen, welche den Möglichkeiten entsprechen, natürliche Zahlen zu teilen, wie folgt:

Polygon = 
natürliche Zahl selbst.
 
Polygon mehrfach (z.B. Hexagramm) =
Natürliche Zahl, ist mit dem
betreffenden Teiler teilbar.

Sternpolygon in einem Zug gezeichnet (z.B. Pentagramm) =
Natürliche Zahl, ist mit dem
betreffenden Teiler teilerfremd,
bzw. relativ prim.

Sternpolygon mehrfach in einem Zug gezeichnet (z.B. 2 Pentagramme) =
Natürliche Zahl, ist mit dem
betreffenden Teiler nicht
teilbar, hat aber mit ihm
mindestens einen gemeinsamen
Teiler größer als eins.

Ich kennzeichnete die entsprechenden Positionen dieser vier Grundtypen im Koordinatensystem farbig. Das Resultat ist ein halb geordnetes halb chaotisches Muster, in dem man schon rein optisch den 6er Takt der Primzahlzwillinge erkennen kann.
Darauf hin untersuchte ich dieses Muster genauer und stellte eben fest, dass in dieser vordergründigen Unregelmäßigkeit das Sieb des Eratosthenes codiert ist.

Im Umkehrschluss heißt das, dass das Sieb des Eratosthenes nicht nur ein Spitzfindigkeit des Menschen ist, um Primzahlen auszusieben sondern, dass diese Ordnung in der entsprechenden Abfolge der Sternpolygone in einem Simplex geometrisch festgelegt ist, da dieses Muster eben direkt aus der Geometrie heraus entsteht.
Erst ein Jahr später entdeckte ich im Internet, dass genau das selbe Muster als Divisionstabelle bekannt ist, allerdings ohne die entsprechenden farbigen Markierungen gemäß den vier Grundtypen von Sternpolygonen. Somit hat also die von mir erstellte Tabelle eine viel größere Aussagekraft auch für die Zahlentheorie.
Die lückenlose Aussiebung von Primzahlen gemäß dieser Matrix ist mit einem Programm bis eine Million nachgewiesen, was allerdings nicht nötig ist. da dieses Muster eben ohnehin dem Sieb des Eratosthenes entspricht.
Die Richtigkeit dieser hier formulierten Aussagen hat auch ein Diplommathematiker überprüft.

Das als Antwort auf die Eingangs gestellte Frage:
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Polyedern/Simplexen?
Was motiviert diese Modellierung und ist sie konsistent?

Explizit betonen möchte ich, dass die Geometrie der Simplexe nur bis zum Quotienten 2 absolut deckungsgleich mit der Divisionstabelle ist!
Die drei weiteren Drittel des Koordinatensystems, welche von den Quotienten 1 und 0,5 begrenzt werden, haben mit der rein optischen Anordnung der Quotienten in der arithmetischen Divisionstabelle nicht das geringste zu tun! Und genau das macht diese Geometrie meiner Meinung nach erst interessant, da diese Geometrie eine Möglichkeit bietet, aus den gewohnten Denkschemen der Primzahlforschung auszusteigen, um völlig neue Wege zu gehen.


Die daraus resultierenden Fragen wären von meiner Seite also:
• Was sagt die geometrische Struktur oberhalb vom Quotient 2 über Primzahlen aus?
• Was sagt die geometrische Struktur unterhalb vom Quotient 2 über Primzahlen aus?
• Was kann uns der unmittelbare Zusammenhang zwischen Simplexen und Primzahlen über die Kreiszahl Pi und den unmittelbaren Zusammenhang über die Zahlentheorie aussagen?

Denn Simplexe sind eine direkte geometrische Umsetzung der Kreiszahl Pi in Zahlentheorie:
Die Anzahl der Ecken eines Simplex = natürliche Zahl sind die Peripherie des Kreises.
Die Tangenten durch den Kreis = Teiler der natürlichen Zahle entsprechen dem Durchmesser.

@philolaos
Wie ich schon angekündigt hatte, so kann es momentan etwas dauern bis Zeit finde dir zu antworten, aber diesmal gab es auch eine Verzögerung dadurch, dass ich ein entscheidendes Problem hatte:
Ich wusste nicht, was ich dir überhaupt antworten sollte.
Warum?

Nun, Ich habe mich noch einmal etwas zum Schläfli-Symbol eingelesen.
Dabei sah ich erst, wie nützlich diese Notation im höherdimensionalen werden kann. Auch stolperte ich über Aussagen wie den Wikipedia: Eulerscher Polyedersatz , etc.
Auch traf ich auf Begriffe und Aspekte, die ich ja selbst schon mal angesprochen hatte, wie die Diedergruppe oder Restklassenstrukturen.

Letztlich komme ich aber bei einer Frage heraus, die ich schon einmal gestellt hatte: Welchen Informationsgewinn bringt die Darstellung der Divisionstabelle durch Polygone?

Was du beschreibst ist ja an sich richtig, denn natürlich kann man die Divisionstabelle mit Hilfe der Schläfli-Symbole "umschreiben" bzw. anders darstellen. Das ist aber erstmal eine Banalität.
Du hattest ja auch hierauf Wikipedia: Star polygon#Regular star polygons verwiesen, wo man ja die selbe Darstellung findet, die du auch auf deiner Homepage stehen hast.
Was meine ich mit Banalität? Nun, am Anfang hatten wir die Divisionstabelle. Dann kam das Schläfli-Symbol dazu uns für jeden Quotienten ein Polygon an die Hand gibt und schließlich haben wir dadurch eine Divisionstabelle, die durch Polygone darstellt wird.

Jetzt haben wir zwar die Darstellung geändert, aber wozu überhaupt?`
Denn die Anordnung der Quotienten hat sich natürlich nicht geändert, genauso ist die Symmetrie innerhalb der Divisionstabelle erhalten geblieben und gewisse "Sonderlinge" unter den Quotienten, sind ebenso immer noch dort, wo sie vorher in der Zahlendarstellung auch schon waren.
Die grundlegende Problemfrage hat sich dadurch aber weder verändert, noch vereinfacht.
Dass das Sieb von Erathos nach wie viel funktioniert, ist dadurch genauso keine Überraschung, da wir ja den Informationsgehalt der Divisionstabelle kein Stück verändert haben.

philolaos schrieb am 12.06.2014: Und genau das macht diese Geometrie meiner Meinung nach erst interessant, da diese Geometrie eine Möglichkeit bietet, aus den gewohnten Denkschemen der Primzahlforschung auszusteigen, um völlig neue Wege zu gehen.

Entsprechend wüsste ich gern, von welchen neuen Denkschemen du redest?
Denn momentan hat sich wie gesagt, an dem Problem nichts verändert.

@BlackFlame
Danke für Deine Antwort, und irgendwie geht es mir genau so wie Dir, ich hatte einige Tage keine Lust zu antworten, aber ich will die Flinte nicht gleich ins Korn werfen und versuche es noch einmal.

Im Radosophie-Tread hast Du eine Übereinstimmung von Simplexen und Divisionstabelle ja erst mal energisch angezweifelt, deshalb sah ich darin auch ein wichtiges Thema, das es unbedingt abzuarbeiten galt, um dann in die Thematik "Kreiszahl Pi und Primzahlen" einzusteigen.
Da dachte ich, dass das so weit klar wäre.
Nun hast Du aber dieses Forum tatsächlich auch nur mit der Frage eröffnet:
"Gibt es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Polyedern/Simplexen?
Was motiviert diese Modellierung und ist sie konsistent?"

Diese Fragestellung hatte mich auch ein wenig verwundert, da das ja gemäß unserer vorhergegangenen Konversationen tatsächlich bei weitem nicht alles sein sollte. Aber gut, Deine Eingangs gestellte Frage habe ich Dir beantwortet. Darauf hin hast Du Dich noch mal in die Thematik eingearbeitet (Sternpolygone, Schläfli-Symbole usw...), was sicher nicht zu Deinem Schaden war.

Nun schreibst Du plötzlich, dass das ja alles völlig banal ist.

Ich hätte mir an dieser Stelle ein wenig mehr Ehrlichkeit gewünscht. Mir ist aber dieses Verhalten nicht neu. Mittlerweile kann ich damit umgehen. Außerdem habe ich den letzten Jahren im Gedankenaustausch mit etlichen Mathematikern schnell erkannt, dass jeder so seinen Spezialbereich hat, wo er sich sehr gut auskennt, wogegen entsprechende andere Bereiche gern mal ausgeblendet werden, bzw. als unwichtig deklariert werden. Warum diese unnütze Eitelkeit? Kein Mensch kann alles wissen.

Du fragst:
"Jetzt haben wir die Darstellung geändert, aber wozu überhaupt? Denn die Anordnung der Quotienten hat sich natürlich nicht geändert, genauso ist die Symmetrie innerhalb der Divisionstabelle erhalten geblieben und gewisse "Sonderlinge" unter den Quotienten sind immer noch dort, wo sie vorher in der Zahlendarstellung auch schon waren"

Das ist so eben nicht richtig.
Im Radosophie-Tread hatte ich bereits darauf hingewiesen, dass die Sternpolygone nur bis zu einem Viertel, nämlich bis zum Quotienten 2 absolut deckungsgleich sind. Die restlichen drei Viertel der Sternpolygone sind nach einem völlig anderem System positioniert.
Ich kopiere noch einmal den Text aus dem Radosophie-Tread hier rein:

Absolut deckungsgleich ist diese Geometrie nur bis zum Teiler 2! Also bis zu den Liniensternen.
Das Koordinatensystem wird damit nur zu genau einem 4. Teil mit Sternpolygonen befüllt, wenn man die Simplexe darin auffächert. Und nur oberhalb des Teilers 2 werden Produkte von Primzahlen gebildet. Deshalb ist diese natürliche Grenze der Geometrie für die Primzahlproblematik so wichtig.

Die Geometrie die nach dem Teiler 2 kommt, ist dann logischerweise nur noch Wiederholung.
Unterhalb dieser "Schranke" 2 läuft die Geometrie logischerweise revers weiter, bis eine ganze Kreisumdrehung erreicht wurde.
Die volle Kreisumdrehung entspricht dann dem Teiler 1
Damit ist dann genau eine Hälfte des Koordinatensystems befüllt.
Unterhalb von Teiler 1 passiert dann etwas völlig anderes.
Da muss vermutlich mit dem Modulo-Kalkül gerechnet werden. So hat es mir ein Mathematiker erklärt, der leider kurz nach unserer Kontaktaufnahme durch einen Motoradunfall ums Leben kam.
Die entsprechende Geometrie habe ich schon in einer Tabelle ausgearbeitet. Die zahlentheoretische Entsprechung ist auch klar. Nun muss man nur noch beide Tabellen übereinander legen und auswerten.

Wichtig ist halt eben auch nur zur Kenntnis zu nehmen, dass:
1.:
bis zum Teiler 2 die kompletten Sternpolygone der Simplexe aufgefächert wurden
2.:
nur oberhalb von Teiler 2 entsprechende Pseudoprimzahlen gebildet werden können
3.:
nach dem Teiler 2 der Kreisradius überschritten wird und nach dem Teiler 1 ein voller Kreis erreicht wurde! Das sind also ganz wichtige Grenzen die es zu beachten gibt, wenn man etwas über den Zusammenhang zwischen der Kreiszahl Pi und den Primzahlen rausfinden möchte.

Und genau darum geht es mir.
Nicht nur um eine Darstellung von "Geometriezahlen". Dass diese Darstellung "konsistent" ist, ist natürlich die unbedingte Vorraussetzung. So hatte ich das im Vorfeld auch formuliert, und da waren wir uns auch schon mal einig.

Die konkrete "Indizienlage" zu dieser Vermutung ist sehr komplex, weshalb ich an dieser Stelle erst mal Deine Gedanken abwarten möchte.

http://tetraktys.de/zahlentheorie-4.html
HIer hast du ja mal animiert wie das Sieb von Erathos und die Divisionstabelle zusammenhängen bzw. noch einmal vorgeführt, dass das Sieb eine konstruktive Methode ist, um Primzahlen zu finden.

Da mir die Zeit fehlt nun alle bisherigen Beiträge nochmal durchzulesen, so beschreibe ich einfach meinen aktuellen Stand, der in meinem Kopf zu dem Thema vorherrscht:
Wir müssen erst einmal festhalten, dass mein Verständnisproblem vielmehr in den Ausführungen zur "Divisionstabelle" als zu denen über die "Simplexe" liegen - also gehe ich erstmal auf das erste ein.


Die erwähnte Animation ist ja lediglich eine von vielen Darstellungsmöglichkeiten, um die Funktionsweise des Siebs vorzuführen.
Eine bekannte Variante fand man ja hier Wikipedia: Sieb des Eratosthenes und jetzt wurden diese Zahlen eben auf einer Diagnonalen angeordnet, auf der eben dieses Sieb arbeitet und mit Hilfe weiterer Algorithmen erzeugt man nebenbei die Divisionstabelle mit.

Schon hier stellt sich mir immer wieder die Frage, was aber der Informationsgewinn sein soll, wenn man die Divisionstabelle mitkonstruiert?
Denn immer noch ist das Verfahren ein rein konstruktives - also man kann eine Primzahl erst dann erkennen, wenn man weis, dass innerhalb der Tabelle in der Spalte dieser Zahl keinen ganzzahligen Teiler vorfindet.
Warum also diese vielen zusätzlichen Informationen?
In beiden Fällen ist doch die Frage an eine Zahl "Bist du prim?" und die Antwort erhält man nur dadurch, dass man alle möglichen Teiler durchprobiert, in der Hoffnung keinen ganzzahligen Teiler zu finden.

Und jetzt musst du mir auf die Sprünge helfen, da ich eben nicht sehe, welche deiner Ausführungen eben genau dieses Problem umgeht oder abkürzt?
Momentan sehe ich lediglich eine Art Beschreibung, was das Sieb macht und was die Divisionstabelle ist und wie sie in Zusammenhang gebracht werden können.


Und nun noch einmal zu den Polyedern.
Es ist ja durchaus richtig, dass man mit Schläfli einen gewissen Bereich einer Divisionstabelle in Polygone übersetzen kann, aber warum machst du das?
Hilft diese andere Darstellung, dass ich dir irgendeine in Polygone übersetzte Spalte dieser Tabelle gebe und du mir nur aus den Figuren sagen kannst, ob es sich dabei um eine Spalte einer Primzahl handelt?


Die Kritik richtet sich erst sekundär an die geometrische Übersetzung, und primär eben schon an die Behauptung, dass die Divisionstabelle scheinbar das Primzahlproblem vereinfacht bzw. es ermöglichen soll, dass man eine Struktur in den Primzahlen ableiten könne.



Die große Frage, die sich mir stellt ist nun, ob du jetzt von einem Mathematiker wissen möchtest, ob dieser Zusammenhang überhaupt besteht oder ob du da einen Zusammenhang gefunden hast, den du nicht genau beschreiben kannst, von dem du mich aber überzeugen willst?

Hallo,
nach nun fast drei Wochen auch eine ausführliche Antwort:
Danke auch für Deine Antworten und Fragen, auf die ich erst mal direkt antworten möchte.
Du bist übrigens auch er erste, den ich überhaupt so detailliert in meine Gedankenwelt blicken lasse, von meiner Webseite abgesehen, die vermutlich auch die allerwenigsten verstehen. Denn einige wichtige Zusammenhänge sind noch nicht oder nur schlecht dargestellt. Über andere Dinge herrschen auch bei mir Unklarheit, und im Header meiner Seite ist ja auch zu lesen "Willkommen zur gemeinsamen Erforschung der Tetraktys!"
Also Du schreibst:

BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Hier hast du ja mal animiert wie das Sieb von Erathos und die Divisionstabelle zusammenhängen bzw. noch einmal vorgeführt, dass das Sieb eine konstruktive Methode ist, um Primzahlen zu finden.

Das Aussieben von Primzahlen ist >nicht< mein Anliegen.
Was ich zeigen möchte sind folgende Punkte:
1. Um das Wesen der Zahl zu erkennen, braucht es zwei Zahlenstrahle, nämlich die Zahlen selbst und ihre Teiler. Das Ganze kann man dann Divisionstabelle nennen. Die herkömmlichen Darstellungen vom SdE sind mir zu wenig. Leider ist diese Tabelle zumindest für Laien nicht bekannt. Auch Mathematiker kennen diese Tabelle und das daraus resultierende typische Muster kaum oder gar nicht, das finde ich sehr traurig.
2. Zahlentheorie im Allgemeinen und Primzahlen im Besonderen sind auch Geometrie (Punkteraster).
Daraus resultiert:
3. Zahlentheorie im Allgemeinen und Primzahlen im Besonderen sind von keinem Zählsystem abhängig (zumindest für Laien ist das wichtig zu wissen!).
4. Es entsteht ein immanentes Muster in der Divisionstabelle, welches man nicht ignorieren darf.
5. Dieses Muster ist nur bis zur Ziffer 4 homogen.

aber der wichtigste Punkt ist:
6.
Diese Divisionstabelle steht im unmittelbaren Zusammenhang zur Geometrie der Simplexe, will sagen Zahlentheorie steht in unmittelbarem Zusammenhang mit der Kreiszahl Pi, was ja eigentlich nichts wirklich neues ist.
Aber:
was bisher in diesem Zusammenhang eben noch nie klar und deutlich thematisiert wurde:
Der Zahlenstrahl entspricht der Peripherie des Kreises, der Teiler-Zahlenstrahl entspricht dem Durchmesser des Kreises. Beide bedingen einander. Das sind Einsichten, die zumindest bei mir persönlich einen gewaltigen Aha-Effekt auslösen – eben auch im Zusammenhang zur Kreiszahl Pi.

Die erwähnte Animation ist ja lediglich eine von vielen Darstellungsmöglichkeiten, um die Funktionsweise des Siebs vorzuführen.
Eine bekannte Variante fand man ja hier Wikipedia: Sieb_des_Eratosthenes und jetzt wurden diese Zahlen eben auf einer Diagnonalen angeordnet, auf der eben dieses Sieb arbeitet und mit Hilfe weiterer Algorithmen erzeugt man nebenbei die Divisionstabelle mit.

Nein, diese Animation ist viel mehr.
Das normale, recht primitive Sieb kenne ich natürlich. Wie gesagt, das SdE dient mir lediglich als Anknüpfungsthema, damit Interessierte Leser den Einstieg finden. Andererseits ist die Aussagekraft der Divisionstabelle viel komplexer und ergiebiger. Denn es geht hierbei weit über das Aussieben von Primzahlen hinaus.

BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Schon hier stellt sich mir immer wieder die Frage, was aber der Informationsgewinn sein soll, wenn man die Divisionstabelle mitkonstruiert?

Einige der Antworten habe ich bereits mit den Punkten 1 bis 6 genannt.
Und dann ist es ganz wichtig zu erkennen, dass es sich eben nicht um eine menschliche "Konstruktion" handelt! Gib einem intelligenten Wesen irgendwo in den Weiten des Universums die Abfolge von n-Ecken als gegeben an die Hand und bitte es, die perfekte arithmetische Systematik davon abzuleiten, es wird immer das Gleiche dabei herauskommen, davon bin ich mehr als überzeugt.
Der Kreis mit einem Punkt in der Mitte ist nicht von Ungefähr das ultimative Schöpfungsmuster in vielen Kulturkreisen. Und all diese Polygone und Sternpolygone von denen es genau vier Grundtypen gibt, interagieren eben zwischen dem Mittelpunkt und der Kreisperipherie. Es geht dabei schlicht und ergreifend um perfekte Symmetrie, dem erfolgreichsten Konzept – sowohl in der Physik als auch in der belebten Natur.

BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Denn immer noch ist das Verfahren ein rein konstruktives - also man kann eine Primzahl erst dann erkennen, wenn man weis, dass innerhalb der Tabelle in der Spalte dieser Zahl keinen ganzzahligen Teiler vorfindet.
Warum also diese vielen zusätzlichen Informationen?
In beiden Fällen ist doch die Frage an eine Zahl "Bist du prim?" und die Antwort erhält man nur dadurch, dass man alle möglichen Teiler durchprobiert, in der Hoffnung keinen ganzzahligen Teiler zu finden.
Und jetzt musst du mir auf die Sprünge helfen, da ich eben nicht sehe, welche deiner Ausführungen eben genau dieses Problem umgeht oder abkürzt?

Einverstanden, das effiziente Aufspüren von Primzahlen ist ja eines der zentralen Themen in der Zahlentheorie, vermutlich seit Jahrtausenden bis in unsere Gegenwart. Dazu so etwas wie eine Formel zu finden würde bedeuten, dass man sich unsterblich macht.
Aber gerade ja deshalb:
warum sollte gerade ich die komplett fertige Lösung parat haben?
Was ich aber anbieten kann, sind "neue" bzw. in "Vergessenheit" geratene uralte Denkansätze, die logisch und naheliegend sind. Dazu weiter unten mehr.
Und genau dazu sind leider auch die "vielen zusätzlichen Informationen" nötig. Ich habe seit dem Radosophie-Tread immer wieder darauf hingewiesen, dass Primzahlen mit der Kreiszahl Pi verknüpft sind und dass man diese geometrischen Zusammenhänge nicht ignorieren darf, wenn man in der Primzahlforschung ein paar Schritte weiter kommen möchte.

BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Und nun noch einmal zu den Polyedern.
Es ist ja durchaus richtig, dass man mit Schläfli einen gewissen Bereich einer Divisionstabelle in Polygone übersetzen kann, aber warum machst du das?
Hilft diese andere Darstellung, dass ich dir irgendeine in Polygone übersetzte Spalte dieser Tabelle gebe und du mir nur aus den Figuren sagen kannst, ob es sich dabei um eine Spalte einer Primzahl handelt?

Diese Frage habe ich für mich selbst schon ganz am Anfang meiner Forschung beantwortet, weshalb ich auch über den direkten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Geometrie bzw. Symmetrie informiert bin und aus tiefster Überzeugung meine Webseite http://tetraktys.de ins Netz gestellt habe:
Primzahlen haben nur Spalten mit Sternpolygonen, die sich in einem Zug zeichnen lassen, also eine von vier (bzw. drei) möglichen Typen von Polygonen/Sternpolygonen die eben ausnahmslos auch das Verhältnis der jeweiligen Teiler zu seiner natürlichen Zahl zeigen. Darin sehe ich einen ganz wichtigen Punkt den ich mehrmals als zentrales Thema in den Raum stellte und zu dem Du bisher noch nicht Stellung bezogen hast.
Du scheinst darauf zu hoffen, von mir so etwas wie einen direkten Hinweis zur ultimativen Primzahl-Formel zu bekommen. Wer weis, vielleicht gebe ich Dir zumindest entsprechende Impulse – wenn Du offen für diese Impulse bist.
Also noch mal ganz deutlich: Mir persönlich geht es nicht darum, eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man verschlüsselte Bankdaten knacken kann. Das nebenbei zu finden wäre so etwas wie ein "Abfallprodukt", noch dazu ein sehr unglückseeliges, das niemandem wirklich nützt, nützen wird. Auch nicht dem "glücklichen" (Neu-)Entdecker.

Für mich selbst ist es lediglich äußerst wertvoll zu wissen, dass es einen direkten Zusammenhang zwischen Symmetrie (dem erfolgreichsten Naturgesetz überhaupt) und der Zahlentheorie gibt. Diesen Zusammenhang muss man erst mal auf sich wirken lassen....

Die Divisionstabelle ist reinste Symmetrie auch wenn man das nicht sofort erkennt, da sich die Symmetrien eben überlagern. Die ersten dieser Symmetrieachsen ergeben sich aus dem 6er Takt der Primzahlzwillinge. Aber auch Kreis und Kugel sind die perfekte Symmetrie. Was sind Simplexe? Multidimensionale Kugelformen, Perfekte Symmetrie. Schau in die Natur: Das Weltall bewegt sich kreis- und kugelförmig. Planeten und Sonnen selbst sind ebenfalls kugelförmig. Elementarteilchen bewegen sich ebenfalls in Kreisbahnen. Auch sonstige Energiefelder jeglicher Art strahlen selbstverständlich gleichförmig, also kugelförmig aus. Dazu würde ich gern mehr schreiben, da Philosophie und nicht Mathematik mein Hauptthema ist. Im Header von Tetraktys.de ist zu lesen: Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie. Aber ich möchte jetzt nicht zu sehr abschweifen und Dich nicht damit langweilen.

BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Die Kritik richtet sich erst sekundär an die geometrische Übersetzung, und primär eben schon an die Behauptung, dass die Divisionstabelle scheinbar das Primzahlproblem vereinfacht bzw. es ermöglichen soll, dass man eine Struktur in den Primzahlen ableiten könne.

"In den Primzahlen allein eine Struktur ableiten" – nein. Alle (Prim)-Zahlen zusammen erzeugen eine Struktur welche den gesamten Zahlenraum umfasst, die es zu erkennen und richtig zu lesen gilt.

BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Die große Frage, die sich mir stellt ist nun, ob du jetzt von einem Mathematiker wissen möchtest, ob dieser Zusammenhang überhaupt besteht oder ob du da einen Zusammenhang gefunden hast, den du nicht genau beschreiben kannst, von dem du mich aber überzeugen willst?

Ganz klar Letzteres.
Vorweg: Mittlerweile bin ich etwas im Zweifel in wieweit jemand als "Nur-Mathematiker" überhaupt meine Fragen beantworten kann/möchte, bzw. eine Dringlichkeit in meinen Fragestellungen erkennt. Die "Mathematiker" der Antike waren vorrangig Philosophen und ich habe immer mehr die Befürchtung, dass die heutigen Mathematiker zu sehr von stereotypen und als relevant propagierten Standard-Fragestellungen der heutigen Mathematik fremdgesteuert sind, in einigen wichtigen Punkten (Axiomen) keinen eigenen Kopf haben/haben dürfen. Wenn aber schon ein Heer von Mathematikern verzweifelt einen direkten Lösungsansatz mit den herkömmlichen Methoden und Werkzeugen angegangen ist und bisher regelmäßig daran gescheitert ist, warum soll gerade ich als Laie mit den gleichen Methoden Erfolg haben? Wäre es dann überhaupt und sowieso nicht vielmehr angebracht, unkonventionelle Wege zu gehen?
Wenn das arithmetische "Hauptportal" zum "heiligen Gral der Primzahlen" auch fest verschlossen scheint, so sehe ich doch einige Hintertürchen und Nebeneingänge durch die "geometrischen Katakomben" in die man einsteigen kann, um dennoch in jenes "Allerheiligste" einzudringen, um dann möglicherweise das Tor von innen aufzustoßen....
Deshalb hier im Vorfeld erst mal ein paar weniger typisch mathematische als viel mehr geometrisch philosophische Fragen an Dich.
Bitte wirklich jede einzelne Frage beantworten (!):

1.
Das Pascalsche Dreieck entspricht der fraktalen Geometrie des Sierpinski-Dreiecks. Wir wissen, dass sich das Sierpinski-Dreieck mit einem verblüffend einfachen Algorithmus erzeugen lässt, bei dem aus Chaos Ordnung entsteht. Wir wissen, dass im Pascalschen Dreieck alle ungeraden Zahlen "dunkle Felder" sind, wogegen alle "hellen Felder" geradzahlig sind. Wenn man ein größeres Fraktal mit mehreren Rekursionsschritten (Iterationsstufen) betrachtet, dann stellt man fest, dass große helle geradzahlige Bereiche >keine< fraktale Struktur zeigen. Also hat allein schon hier die Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Zahlen eine Relevanz und ein geometrisches Korrelat. Es gibt außerdem noch viele andere Entsprechungen und Verbindungen des Pascalschen Dreiecks zur Artihmetik (multidimensionale Tetraeder = Simplexe >>> extra interessantes Thema auf das wir auch in Kürze eingehen sollten, erinnere mich bitte mal daran!!!, Binärkoeffizienten und Fibonaccizahlen).
Worauf ich hinaus will:
Hältst Du es für möglich, dass das Muster in der Divisionstabelle ebenfalls klare Aussagen und Entsprechungen liefert?
Ich beziehe mich dabei als erstes auf den 6er Takt der Primzahlzwillingsbildung. Die Primzahl 2 erzeugt ein homogenes Punktemuster. Die Primzahl 3 erzeugt ebenfalls noch ein homogenes Muster, allerdings sind nun neben den regelmäßigen Punkten auch 3er-Balken entstanden, die durch die ungeraden dreiteilbaren Teiler gebildet werden. Was nun übrig bleibt sind alle potenziellen Primzahlplätze, bzw. zweidimensional dargestellt als Spalten in einer Tabelle, quasi "Primzahlkanäle".
Auch alle danach entstehenden 3er Balken werden durch alle nachfolgenden Primzahlen, bzw. deren >ungerade< Teiler "erzeugt". Ab dem Punkteraster der Primzahl 5 (Beginn bei 5 x 5 = 25) entstehen ja dann die Unregelmäßigkeiten.
Könntest Du Dir also vorstellen, dass dieses typische Muster in der Divisionstabelle ebenfalls direkt arithmetische Sachverhalte zeigt, die tatsächlich auch eine Relevanz haben? Das also dieses Muster nicht nur "zufällig" entsteht ? – Was ja tatsächlich auch nicht der Fall ist!
Wenn Du also diese Frage mit "Ja" oder "vielleicht" beantworten kannst, können wir dieses Thema vertiefen.

2.
Wir wissen, dass die Kreiszahl Pi in der Zahlentheorie mindestens in zwei Fällen eine meiner Meinung nach fundamentale Bedeutung hat:
1. in der Formel von Leonard Euler im Zusammenhang mit der Zetafunktion und daraus resultierend der Zusammenhang zu den Primzahlen und
2. eine sehr ähnliche Formel: Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke M liegen, teilerfremd sind, strebt mit M unendlich gegen 6/Pi hoch 2.
Diese Formel entspricht auch den teilerfremden roten Feldern = Sternpolygontyp in einem Zug gezeichnet – in der Divisionstabelle. Prinzipiell kann man diese roten Felder = prime Teiler als das betrachten, was von der Ziffer 1 übrig bleibt, so eine Art "Hintergrundrauschen". Demnach kann man Primzahlen auch als Rest der Zahl 1 betrachten.
Wichtige Frage:
Wie erklärst Du Dir selbst überhaupt diese Zusammenhänge zwischen der Kreiszahl Pi und der Zahlentheorie?

3.
Dann gibt es da noch diese Kettenbrüche mit Pi*Pi/6 und Pi/4....
Die Zahlen 6 und/oder 4 kommen in den Formeln mit arithmetischem Bezug zu Pi fast immer vor.
Wie erklärst Du Dir das?
Einen wichtigen wenn auch spekulativen Anhaltspunkt sehe ich darin, dass nur 6- und 4-Eck in der Ebene und im Raum mit sich selbst lückenlos parkettierbar sind. 3-Ecke sind es natürlich auch, müssen aber wechselseitig aufrecht und gestürzt angeordned werden und sind außerdem deckungsgleich mit 6-Ecken.
Also warum hat die lückenlose Parkettierung möglicherweise mit der Kreiszahl Pi zu tun?:
Jeder Knoten- bzw. Eckpunkt einer solchen Parkettierung hat zwangsläufig die Summe eines vollen Kreises.
Radosophie oder tatsächlich Brücke zwischen Geometrie und Zahlentheorie:
Auffällig ist analog dazu, dass in der Divisionstabelle die vierte (dritte) "blaue" Konstellation (Sternpolygone mehrfach = Teiler von n ist relativ prim, hat aber ein gemeinsames Vielfaches größer 1) zum ersten Mal bei 4/6 und 6/4 auftritt.
Bei Betrachtung der vier Typen von Polygonen und Sternpolygonen haben die 4 und die 6 ebenfalls jene besondere Eigenschaft:
Bei Typ 1 ist das Quadrat (= 4-Eck!) die einzige Figur mit der Innenwinkelsumme von einem Vollkreis, bei Typ 2 ist das Hexagramm (aufrechtes und gestürztes Dreieck im 6-Eck) die einzige Figur mit der Innenwinkelsumme eines Vollkreises.
Von Typ 3 und 4 gibt es dagegen unendlich viele Figuren mit der Innenwinkelsumme eines vollen Kreises.
Also auch hier eine Wechselbeziehung zwischen Kreis und Zahlentheorie.
Auch der dreidimensionale Raum ist mit Vierecken (Tetraeder) und Sechsecken (Oktaeder) im Verbund parkettierbar. Das Ergebnis ist das kubisch flächenzentrierte Kristallgitter der dichtesten Kugelpackung, aus dem sich wieder ein dreidimensionales Sierpinski-Dreieck ableiten lässt.
Sind das Informationen mit denen Du etwas anfangen kannst, oder in denen Du ein gewisses Potenzial erkennst?

4.
Simplexe und ihr Bezug zur Arithmetik beschreiben das Wesen der Kreiszahl Pi folgendermaßen:
Eckpunkte in der Peripherie des Kreises = n-Eck = natürliche Zahl.
Tangenten durch den Kreis = mögliche Teiler bis zum Mittelpunkt = Durchmesser.
Zwei Zahlenstrahle treffen aufeinander und bedingen einander, sind also beliebig austauschbar.
Und tatsächlich ist ja auch dieses Muster in der Divisionstabelle spiegelsymmetrisch.
Hat dieser Zusammenhang für Dich eine Aussagekraft?

5.
Wichtige Frage:
Was hältst Du von jenen Übereinstimmungen zur Ziffer 10 an Hand von drei völlig verschiedenen Geometrie-Beispielen?
http://tetraktys.de/einfuehrung-2.html
und zu den Simplexen selbst:
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf

6.
Wie bewertest Du die Argumentation zu Sonderstellung der Ziffer 10 in den antiken Aufzeichnungen von Speusippos/Philolaos, zu sehen unter:
http://tetraktys.de/einfuehrung-6.html
die ich wohlgemerkt erst 3 Jahre nach Onlinestellung meiner Internetseite entdeckte?
Wichtiger Punkt!
Meinst Du, dass das kompletter Unsinn ist, oder hältst Du es zumindest für möglich, dass die antiken Denker etwas Wichtiges erkannt haben, sich Dir aber der Sinn dahinter nur noch nicht erschlossen hat?

7.
Und nun doch noch mal zurück zum Pascalschen Dreieck:
Wie weiter oben bereits bemerkt: Simplexe sind Tetraeder in n Dimensionen. Ob es real mehr als 3 Dimensionen gibt, darüber müssen wir uns jetzt nicht den Kopf zerbrechen. Ich selbst habe meine ganz spezielle unkonventionelle Sichtweise, vielleicht später dazu mehr.
Interessant ist zu unserem Themenkreis erst mal lediglich, dass das Pascalsche Dreieck ein absolut lückenloses Diagramm für diese Multidimensionalität von Simplexen liefert!
Unter Mathematikern allgemein bekannt ist ja, dass das Pascalsche Dreieck so etwas wie eine arithmetische "eierlegende Wollmilchsau" ist. Nun ist eben genau dieses Pascalsche Dreieck auch ein absolut lückenloses Diagramm für die Darstellung der Multidimensionaliät von Simplexen.
http://tetraktys.de/geometrie-4.html
Wie schätzt Du diesen Zusammenhang ein?

8.
Von Platon stammt folgendes Zitat: "Das Staunen ist die Einstellung eines Mannes, der die Weisheit wahrhaft liebt, ja es gibt keinen anderen Anfang der Philosophie als diesen."
Was denkst Du über diese Aussage von Platon?
Ist das Staunen über vordergründig banale Dinge ein Zeichen von Naivität, oder erkennst Du darin auch den Versuch selbständig zu denken, und neu zu hinterfragen, was wichtig und was eher unwichtig ist?

Denke bitte länger darüber nach und gib mir eine ehrliche Antwort.


Auch wenn Du vorerst das Gefühl hast, dass wir keinen Schritt weiter gekommen sind, bitte ich um die Beantwortung aller Fragen. Die Antworten können knapp ausfallen, wichtig ist mir nur, dass Du zu jeder Frage ehrlich Stellung beziehst, was natürlich voraussetzt, dass Du Dich in jede dieser Fragen genügend reindenkst. Lass Dir deshalb ruhig mehr Zeit bei der Beantwortung der einzelnen Fragen. Voreilige unüberlegte Antworten nützen weder Dir noch mir.

@philolaos
Für die Beantwortung der Fragen werde ich, wie du richtig erahnt hast, eine gewisse Zeit brauchen und momentan im Prüfungsstress muss ich mal schauen, wann ich dafür Zeit finde.

Vorab aber noch eine Rückfrage zu folgender Aussage:

philolaos schrieb:3. Zahlentheorie im Allgemeinen und Primzahlen im Besonderen sind von keinem Zählsystem abhängig (zumindest für Laien ist das wichtig zu wissen!).

Könntest du diese Aussage umformulieren oder etwas weiter ausführen?
Konkret würde ich gern wissen, was du unter einem "Zählsystem" verstehst und in wie fern diese Aussage über die Unabhängigkeit zu verstehen ist.

@BlackFlame
Als Antwort auf diese Frage möchte ich auf folgende Fragestellung + Antwort in einem Forum hinweisen:
http://www.manus-zeitforum.de/2/22221/Primzahlen.

Eine gute Fragestellung erst fast am Ende der Seite:

UNSER Zahlensystem (dezimal)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Primzahlen:
1 2 3 5 7 11 13
Der Einfachheit halber nehme ich ein Zahlensystem mit nur 6 Zahlen
0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21
Primzahlen:
1 2 3 5 11 13
Vergleichst Du beide Zahlensysteme, dann gibt es in unserem System die 7 als Primzahl. Beachte, dass das eine Grundziffer ist! Diese kommt in dem anderen System nicht vor, weil es da keine 7 gibt. Für mich sieht das jetzt so aus, dass weniger Grundzahlen = weniger Primzahlen bedeutet. Umgekehrt (das ist meine Schlussfolgerung) würden dann mehr als 10 Grundzahlen auch mehr Primzahlen ermöglichen. Ich weiß, dass die Gesamtmenge der Primzahlen wohl bei beiden Systemen unendlich ist, aber das macht es mir auch nicht leichter...


Ganz am Ende dieser Seite ist die passende Antwort zu finden:

Du hast nun eine 6-System erfunden
Die Wertigkeiten wären hierfür:
Ziffer 1 * 60 + Ziffer 2 * 61 + Ziffer 3 * 62 ....+Ziffer n * 6n-1

Die Zahl 11 wäre in Deinem Sechsersersystem 1 * 60 + 1* 61=6+1=7DEC

Die Zahl 13 wäre in Deinem Sechsersersystem 3 * 60 + 1* 61=3+6=9DEC

Ich versuchs mal so zu erklären:
Die erste Ziffer sind Streichhölzer
Die zweite Ziffer vor dem Komma sind die Schubladen, jede Schublade fasst 6 Streichhölzer
Die dritte Ziffer sind Schränke, jeder Schrank hat 6 Schubladen
die vierte Ziffer sind Räume, jeder Raum hat 6 Schränke.
usw

Hast du z.B 13 Streichhölzer, so füllst Du damit 2 Schubladen und hast noch ein Streichholz übrig
Also ergibt 13DEC nach Deinem System 21

Nun ziehst Du mit deinen Steichhölzern um, in eine andere Wohnung
dort fasst jede Schublade 10 Streichhölzer
Jeder Schrank hat 10 Schubladen
und jeder Raum 10 Schranke
Hier füllst Du 1 Schublade und hast 3 Streichhölzer übrig.

Ich denke nun verstehst Du die Umwandlung der Zahlensysteme

Die Primzahl ergibt sich aus den Steichhölzern, die du besitzt, egal in welche Schubladen und Schränke Du sie aufteilst.

Die Antwort kann man aber auch viel einfacher haben, nämlich mit Hilfe von diesen Punktemustern in "meiner" Divisionstabelle, oder eben den Simplexen. Geometrie schafft Klarheit. Das war meiner Meinung nach auch der Grund, warum sich die Pythagoreer mit Punktedreiecken und Quadraten an Stelle von Zahlen befassten. Deswegen noch mal meinen Rat: Man sollte die antiken Denker nicht unterschätzen.

Eine gute Fragestellung erst fast am Ende der Seite:

UNSER Zahlensystem (dezimal)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Primzahlen:
1 2 3 5 7 11 13
Der Einfachheit halber nehme ich ein Zahlensystem mit nur 6 Zahlen
0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21
Primzahlen:
1 2 3 5 11 13
Vergleichst Du beide Zahlensysteme, dann gibt es in unserem System die 7 als Primzahl. Beachte, dass das eine Grundziffer ist! Diese kommt in dem anderen System nicht vor, weil es da keine 7 gibt. Für mich sieht das jetzt so aus, dass weniger Grundzahlen = weniger Primzahlen bedeutet.

Ich entdecke da gute Denkansätze, aber die Umsetzung ist - vorsichtig gesagt - dürftig. Und mündet im letzten Satz in einer falschen Vermutung bzw. einem falschen Verständnis.

Gehen wir also einmal in die Algebra und ich möchte dir einmal vorstellen, wie ein "Zahlensystem mit 6 Zahlen" in der Algebra aussieht.
Dazu betrachten wir einmal die sogenannten Restklassenringe und wir nehmen uns einmal die Sturktur Z/6Z her.
Z ist dabei die Menge der ganzen Zahlen, 6Z beschreibt die Menge der Zahlen, die sich ergeben, wenn man alle natürlichen Zahlen mit 6 multipliziert, also 6Z={..., -12, -6, 0, 6, 12, 18, ...}.
Was ist nun ein Restklassenring?
Nehmen wir nach und nach alle ganzen Zahlen her und teilen sie ganzzahlig durch 6, was passiert? (Das erinnert jetzt an die Grundschulzeit.)
0/6 = 0 Rest 0
1/6 = 0 Rest 1
...
5/6 = 0 Rest 5
6/6 = 1 Rest 0
7/6 = 1 Rest 1
...
usw.
Indem wir also diese Darstellung mit Rest betrachten (also die modulo-Division) stellen wir fest, dass sich alle ganzen Zahlen in 6 Schubladen sortieren lassen - nämlich die 6 Restklassen - je nachdem, ob bei der Division Rest 0, Rest 1, ..., Rest 5 steht.

Über die sogenannte "Restklassenprojektion", die sich als Abbildung Z -> Z/6Z schreibt, ordnet man nun jede natürlich Zahl ihrer entsprechenden Restklasse zu.
Für die Primzahl 13 ergäbe das - mit der Nebenrechnung: 13/6 = 2 Rest 1 - dass diese Zahl in der Restklasse 1 landet.
Betrachtet man dagegen zum Beispiel Z/13Z, so ergeben sich offensichtlich 13 Restklassen und die Zahl 13, würde dort wiederum in der Restklasse 0 landen.

Wikipedia: Restklassenring

So viel erst einmal dazu, um es mal gesehen zu haben.

---

Die Frage, ob es nun weniger Primzahlen gibt, ist dennoch zu verneinen und diese Verneinung wurde ja auch schon in diesen Ausführungen zu anderen Zahlensystemen bestätigt.

Primzahlen, die wir kennen und untersuchen, sind als Teilmenge der natürlichen Zahlen erklärt - also dem Zahlenbereich, auf dem das Dezimalsystem erklärt ist.
Ändert man jetzt die Darstellung, so ordnet man - wie ja schon festgestellt wurde - einer natürlichen Zahl einen neuen Wert zu. Man kann also Zahlen in andere Zahlen mittels einer Vorschrift übersetzen. (So wie man sie beispielsweise Restklassen zuordnen kann oder mittels der Hexadezimalvorschirft übersetzt.)

Die Definition der Primzahlen ist aber von dieser Übersetzung nicht betroffen und sie hat in einer Übersetzung auch keine Relevanz.
Die 7 als natürlich Zahl ist eine Primzahl.
Wenn du nun die Zahlen umbenennst und auf dem Zahlenstrahl einfach die Bezeichnung veränderst, ändert trotzdem nichts an dieser letzten Aussage. Was du dort machst, und dir womöglich gar nicht bewusst ist, ist eine Abbildung anzugeben, zwischen den natürlichen Zahlen und der Menge der Zahlen, die entsteht, wenn du die Darstellungsvorschrift anwendest.

Was heißt das? - Nutzen wir dazu die Schubladen:
Du hast links neben dir eine große Schublade, in der alle natürlichen Zahlen auf Kugeln geschrieben wurden.
Rechts neben dir findest du eine Schublade, in der unnummerierte Kugeln liegen.
Vor dir liegt ein Zettel, mit einer Vorschirft, die natürliche Zahlen in beispielsweise das Hexadezimalsystem übersetzt.
Nun greifst du links und greifst eine Kugel mit einer natürlichen Zahl drauf. Dann übersetzt du diese Zahl mittels deiner Vorschrift und wirfst die Kugel wieder in die linke Schublade. Dann greifst du rechts in die Schublade und schreibst auf eine noch unnummerierte Kugel diese Übersetzung.

Jetzt hast du eine Abbildungsvorschrift durch diese Übersetzung.
Dabei ist aber wichtig, wie übersetzt wurde, wenn es um die Frage geht, ob oder wie man Arithmetik mit diesen übersetzten Zahlen betreiben könnte.

Die Restklassenprojektion ist dabei beispielsweise mit Vorsicht zu genießen.
Während die Übersetzung natürlicher Zahlen in beispielsweise das Dualsystem bijektiv ist (also eine 1:1 Übersetzung), so kann man mir auch sagen, welche natürliche Zahl gemeint ist, wenn ich 110101 schreibe.
Dadurch kann man eine astreine Arithmetik in der Binärdarstellung aufstellen und addieren, subtrahieren, etc.
Das ist unter anderem dadurch begründet, dass der Binärdarstellung der endliche Körper mit 2 Elementen (namentlich 0 und 1) zu Grunde liegt.

Wenn ich dagegen den Restklassenring betrachte, so gibt es eben eine ganze Menge an Zahlen, die in der Restklasse 1 von Z/6Z liegen und man eben nicht eindeutig sagen kann, welche Zahl ich meinen könnte, wenn ich sage, dass ich an eine Zahl aus dieser Restklasse denke - denn ich könnte sowohl die 13 als auch die -19 oder die 1 selbst dort wiederfinden.

Es ist zwar möglich auf diesen Ringen eine Arithmetik zu erklären, aber die Rückinterpretation in die ganzen Zahlen klappt halt nicht mehr eindeutig.


Gibt es dadurch weniger Primzahlen? Nein, denn beispielsweise in den Restklassenringen ist gar nicht erklärt, was eine Primzahl ist, da sie ja nur für die natürlichen Zahlen eingeführt wurden.

Fazit: Primzahlen verschwinden also nicht. Sie sind in den natürlichen Zahlen erklärt und bleiben dort auch stets erklärt.
Ändert man die Darstellung der Zahlen, dann ist eben ein Vergleich von Äpfeln und Birnen, wenn man in der Menge der anders dargestellten Zahlen immernoch die selben Primzahlen sucht.

In deinem Versuch

UNSER Zahlensystem (dezimal)
Der Einfachheit halber nehme ich ein Zahlensystem mit nur 6 Zahlen
0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21
Primzahlen:
1 2 3 5 11 13

gibt es die ursprünglichen Primzahlen also gar nicht mehr, weil sie anders codiert sind.
1 -> 1
2 -> 2
...
4 -> 4
5 -> 5
6 -> 10
7 -> 11
8 -> 12
...
11 -> 15
12 -> 20
...

Die Primzahl 7 ist also nach wie vor noch Primzahl und existiert nach der Abbildung zwar nicht mehr als eigenständiges Symbol, sondern wir jetzt eben durch die "11" repräsentiert.
Selbst wenn ich jetzt obige Übersetzung hernehme und die Zuordnung an manchen Stellen ändere, beispielsweise so:
7 -> 15
15 -> 7

Dann ist in der Menge, die man nach der Übersetzung, das Symbol "7" keine Primzahl mehr, weil man damit die 15 codiert hat und das Symbol "15" ist durch die Primzahl 7 codiert.
In dieser Menge der übersetzten Zahlen gibt es keine herkömmlichen Primzahlen, weil wir eben gar nicht auf dem Zahlbereich der natürlichen Zahlen sind.

Es gibt eben einen gewaltigen Unterschied zwischen Wert und Darstellung - aber das wurde dort im Forum glaube ich auch schon erwähnt und hier noch einmal von mir ausgeführt, wohin es führen kann, wenn man diesen Unterschied übersieht/ignoriert.

Und in ähnlich kritischer Weise hatte ich auch die ganze Zeit die Übersetzung in die Simplexe betrachtet.

@BlackFlame
Die "gute Fragestellung" stammt ja nicht von mir. Es ist ja nur eben jene Fragestellung in diesem Forum, auf welche auch direkt eine einigermaßen zufrieden stellende Antwort am Ende dieses Themas gegeben wurde. Und nur das macht sie in diesem Fall "gut".

Mir kam es ja auf die entsprechende Antwort an, mit der ich auch Deine Frage beantworten wollte
und die mit folgendem Satz endet:

.......Die Primzahl ergibt sich aus den Steichhölzern, die du besitzt, egal in welche Schubladen und Schränke Du sie aufteilst.

Aber schön wie Du das mit den Restklassen erklärt hast.
Und klar: Es gibt eben einen gewaltigen Unterschied zwischen Wert und Darstellung – absolut!
Wir sind da völlig einer Meinung, genau so sehe ich das auch.

Du schreibst:

BlackFlame schrieb:Und in ähnlich kritischer Weise hatte ich auch die ganze Zeit die Übersetzung in die Simplexe betrachtet.

Das Spannende an den Simplexen ist genau das: Wert und Darstellung sind identisch, eine Linie bleibt der Mengenwert 2 ein Dreieck der Wert 3, egal wo und wie diese Figur im jeweiligen Simplex bzw. der Divisionstabelle zu finden ist. Mit den Punkte-Intervallen der Divisionstabelle ist das selbstredend ebenso.
Mit figurierten Zahlen umgeht man ja genau dieses Verständnisproblem, welches in diesem Forenbeitrag thematisiert wurde. Da wurden dann eben statt Punkteraster und Polygone Streichhölzer hergenommen..... auch Ok.

5.
Wichtige Frage:
Was hältst Du von jenen Übereinstimmungen zur Ziffer 10 an Hand von drei völlig verschiedenen Geometrie-Beispielen?
http://tetraktys.de/einfuehrung-2.html
und zu den Simplexen selbst:
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf

Auf die Frage, was ich davon halte, muss ich wieder so antworten wie bisher auch immer:
Ohne eine Erläuterung über den Zusammenhang, ist es (zumindest für mich erstmal) nicht viel wert.

Das 1. Beispiel mit den Punkten beschreibt ja lediglich, die sogenannten Dreieckszahlen: Wikipedia: Dreieckszahl , die man dann mit den Tetraederzahlen Wikipedia: Tetraederzahl in Verbindungen bringen kann oder allgemein ein Spezialfall der Polygonalzahlen Wikipedia: Polygonalzahl sind.

Auch wenn du mir deswegen vielleicht wieder böse sein wirst, aber ich möchte dennoch ehrlich sein.
Das was ich dort sehe, sind zwar 3 Möglichkeiten, irgendwas mit der Gleichung "1+2+3+4=10" in Verbindung zu bringen, aber es hat so momentan für mich auch keine tiefgehende Aussagekraft.

Das wirkt momentan leider wie das, was wir damals in Radosophiethread kritisiert hatten.
Aus irgendwelchen Parametern Naturkonstanten herausrechnen zu können, bedeutet eben noch längst nicht, dass dadurch irgendwas tiefgehend erklärt worden wäre.
Eben weil selbst gänzlich unterschiedliche Parameter mit entsprechend gewählten Rechenoperationen zum selben Ergebnis führen können, so braucht es die Erklärung, was jeweils hinter den Rechnungen steckt und warum das jetzt im Zusammenhang steht.

Die Pythagoräer haben die Zahl 10 vielleicht glorifiziert, aber jetzt überall nach der Zahl 10 zu suchen und dann schlagartig von tiefgehenden noch unverstandenen Zusammenhängen sprechen zu wollen, das ist ein gefährlicher Weg, der zumindest in der Radosophie nur selten irgendwohin geführt hat.

Und ich bitte dich, das als ernsten Hinweis, vielleicht auch als Warnung zu verstehen.
Wenn du dich in solchen einem Denkmuster verrennst, ist das Motiv hinter deiner Arbeit/Fragestellung in ernsthafter Gefahr.

Dazu vielleicht noch eine kleine Anekdote vom Anfang meines Studiums.
Da fragte ein Übungsleiter: "Was ist eine lineare Abbildung?".
Ein Student meldete sich und begann, eine lineare Funktion zu beschreiben. Das war immerhin ein Begriff, den man aus der Schule kannte, und ob hinter dem "lineare" nun Abbildung oder Funktion steht, wurde offenbar erstmal ausgeblendet.
Was ähnlich klingt oder gleich aussieht, das muss ja mehr oder weniger direkt zusammenhängen, meint der ein oder andere.
Aber Obacht!

So wie man 10 Mathematiker fragen kann, was der Unterschied zwischen "Abbildung" und "Funktion" ist, und man neben einem schlichten "Das sind Synonyme." auch bis zu 10 minütigen Antworten erhalten kann, so ist eben immer die Frage, in welchem Kontext man einen Begriff betrachtet.
Denn gerade in der Mathematik lernt man mit der Zeit immer wieder, dass in unterschiedlichen Bereiche der gleiche Begriff oder das gleiche Symbol für völlig unterschiedliche Dinge verwendet werden - auch dann, wenn die nicht einmal etwas miteinander zu tun haben.

Und hier bei der 10 möchte ich dich eben auch bitten vorsichtig zu sein.
Die 10 eine hübsche Zahl und wie wir feststellen, so taucht sie auch in vielen Folgen auf. Aber da man prinzipiell unzählbar viele Folgen konstruieren kann, deren 4. Glied die 10 ist, so sollte man sich immer fragen, warum die 10 überhaupt dort auftaucht.
Also: Wie lautet die Folge? Was beschreibt sie? Was konkret beschreibt die 10 an dieser Stelle?


Wenn ich eine Sekunde die Gedanken schweife lasse, so könnte ich mir vorstellen dass mancher vom Stuhl fällt vor Begeisterung, dass die 10 eine Dreieckszahl ist, also man wie im Wikiartikel 10 kreisförmige Objekte verwenden kann um ein Dreieck zu legen; und dannder 10-Eck-Simplex gerade gerade 10 Vollkreise beschreibt... oh mein Gott, oh mein Gott.....
Aber bei all der Euphorie:
Warum denn gerade 10 Objekte? 6 oder 3 oder 15 ergeben doch genauso ein astreines Dreieck.
Warum überhaupt kreisförmige Objekte? Legosteine oder Dreiecke oder Spielfiguren oder Punkte auf einem Blatt Papier würden es doch auch erledigen.
Was hat jetzt das legen eines Dreieck überhaupt mit dem Simplex zu tun?

Wie gesagt:
Dass die 10en auftauchen ist an sich völlig belanglos. Relevant ist die Frage, warum sie dort auftauchen bzw. durch was sie entstehen.
Und wenn man eben das kritisch analysiert, so hat die Dreieckszahl 10 keine tiefere Bedeutung als die 6 oder 15 oder sonst eine dieser Zahlen.
Und die 10 im Kontext der Simplexe ist eben eine ganz andere 10 als bei den Dreieckszahlen, so dass letzte Aussage davon unberührt bleibt.


Ich hoffe ich konnte vermitteln, worum es mir geht, und dir für den Moment erst einmal nur die Frage 5 eine Antwort geben.

@BlackFlame
Danke für Deine Antwort zur Frage:
Was hältst Du von jenen Übereinstimmungen zur Ziffer 10 an Hand von drei völlig verschiedenen Geometrie-Beispielen?
http://tetraktys.de/einfuehrung-2.html
und zu den Simplexen selbst:
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf

Sorry, leider habe ich hier die Frage nicht konkret genug gestellt. In den entsprechenden Links wird dann aber ja beschrieben um was es geht:
In allen drei sehr unterschiedlichen Geometrie-Beispielen:
1. Dreieckzahlen
2. Simplexe
3. Fraktale
(es gibt noch mehr davon) geht es um die Aufkumulierung natürlicher Zahlen.
Dabei ist festzustellen, dass es bei Menge 10 zu einem Gleichstand zweier Parameter kommt, die in einer engen Wechselbeziehung stehen.
Es geht also nicht vordergründig darum, dass die 10 in allen drei Beispielen die Nummer 4 einer unendlichen Folge ist, das allein wäre in der Tat zu wenig.


Bitte gib mir noch mal ein Feedback zu dem Streichholzschachtel-Thema.
Da schreibst Du zum Schluss:

BlackFlame schrieb am 19.07.2014:Es gibt eben einen gewaltigen Unterschied zwischen Wert und Darstellung - aber das wurde dort im Forum glaube ich auch schon erwähnt und hier noch einmal von mir ausgeführt, wohin es führen kann, wenn man diesen Unterschied übersieht/ignoriert.
Und in ähnlich kritischer Weise hatte ich auch die ganze Zeit die Übersetzung in die Simplexe betrachtet.

Ich meine:
Für genau diesen von Dir betonten Unterschied kämpfe ich ja mit meinen figurierten Zahlen + Divisonstabelle als Punkteraster, darum geht es mir ja! Und genau das wurde ja in diesem Forum mit den Steichhölzern beschrieben.
Und selbstverständlich kann man auch Dreieckszahlen mit anderen Gegenständen darstellen usw...
Ich würde da nie was anderes behaupten wollen.

...und da möchte ich noch mal an die von Dir gestellte Frage erinnern, mit der Du diesen Tread eröffnet hast:

BlackFlame schrieb am 30.05.2014:Zu diskutierende Kernfragen:
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Polyedern/Simplexen?
Was motiviert diese Modellierung und ist sie konsistent?

Antwort zumindest von mir und allen Lesern die uns bis hierher folgen konnten:
Ja, diesen Zusammenhang gibt es.
Aber gut, das ist ja nicht meine Frage gewesen, denn das allein wäre mir zu wenig.

philolaos schrieb am 19.07.2014:Was hältst Du von jenen Übereinstimmungen zur Ziffer 10 an Hand von drei völlig verschiedenen Geometrie-Beispielen?

Zuerst zum Beispiel 3 (Fraktale):
Kennst du hierzu eine genaue Konstruktionsvorschrift?
Mir ist etwas schleierhaft wie diese n-Ecke in der Animation entstehen sollen.

Ansonsten weis ich damit für den Moment nichts anzufangen.
Innerhalb eines 10-Ecks Vierecke regelmäßig anzuordnen, dass gerade stets 10 von denen wieder die Form eines 10-Ecks annehmen klingt eher nach einem Parkettierungsproblem.

Da frage ich mich nämlich sofort:
Gibt es noch weitere Möglichkeiten, die oben genannte Problematik zu konstruieren?
Was hat die Anordnung dieser 40 Vierecke nun mit den Simplexen zu tun?
Was hat diese Problemstellung überhaupt noch mit Zahlentheorie zu tun - schließlich ist es doch ein rein geometrisches geworden?

Also das wirfst mehr Fragen auf, als es antworten liefert.


Zu Beispiel 1:
Auch hier weis ich nicht, was für "Übereinstimmungen" du meinst?
Was sollen denn die Dreieckszahlen mit den Teilstrukturen eines Simplex zu tun haben?


Was mich generell mal interessieren würde:
Wie sieht es mit den vermuteten Querverbindungen aus, wenn du dir einmal andere Simplexe hernimmst?

Dass es mit der 10 zu funktionieren scheint ist ja eine Sache, aber für einen handfesten Zusammenhang würde ich eine deutlich größere Schnittmenge erwarten.
Die Dreieckszahlen haben dahingehend ja nur eine begrenzte Zahl an möglichen Übereinstimmungen, aber wie sieht es denn beim Simplex zu n=15 oder n=22 aus?
Selbige Frage hinsichtlich dieses Fraktal-Beispiels?

Erst mal nur kurz:
Die Konstruktionsvorschrift für die Fraktale ist das Sierpinski-Dreieck. Hier ist alles genau beschrieben:
http://tetraktys.de/geometrie-9.html

Da das Sierpinski-Dreieck dem Pascalschen Dreieck entspricht und eben dieses Pascalsche Dreieck ein lückenloses Diagramm zur Darstellung der Multidimensionalität von Simplexen ist, wäre das ja schon mal eine direkte Beziehung, sowohl zwischen Simplexen als auch der Zahlentheorie, aber ich meine tatsächlich eine andere zahlentheoretische Beziehung, dazu später.

Und mit "Übereinstimmungen" ist gemeint, dass unterhalb von 10 der Wert 1 kleiner ist als Wert 2. Bei 10 sind beide Werte = 10 und oberhalb von 10 geht die Schere dann bis unendlich auseinander. Somit erübrigt sich dann auch die Frage nach höheren Simplexen.

Zu Deiner Frage noch mal, was Dreieckszahlen mit Simplexen zu tun haben, obgleich sich diese Frage nach obiger Antwort nicht mehr wirklich stellen sollte, und bitte über nun folgendes erst mal nicht grübeln, da kommen wir später drauf zurück:
Prinzipiell erweitern sich Simplexe mit jedem Punkt um ein Dreieck, bzw. um einen halben Kreis.
Dreieckszahlen sind ja eine sehr einfache Struktur, die man fast überall finden kann, so auch in den Simplexen, ganz unten auf dieser Zeichnung:
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf
Oder noch besser auf dieser Zeichnung, allerdings schwer zu verstehen, aber da kann man sehen, dass gerade und ungerade Figuren gleiche Eigenschaften haben. Den wichtigsten Zusammenhang sehe ich aber im Punkte-Raster der Divisionstabelle zum Thema Primzahlen, das ist aber jetzt zu komplex und schwer vermittelbar, weshalb ich das auch noch nicht auf meiner Seite habe.

Aber wie gesagt, es geht ja erst mal nur um die bei Wert 10 "auseinander gehende Schere".

Oh ein Link hatte ich vergessen wo ich schrieb: "Oder noch besser auf dieser Zeichnung, allerdings schwer zu verstehen" – hier also der Link:
http://tetraktys.de/bilder/tetraktys.gif
hier die Beschreibung:
http://tetraktys.de/geometrie-1.html

Aber bitte nur überfliegen, das ist wirklich harter Tobak ;-)

@philolaos
Also irgendwie müssen wir das hier mal etwas sortieren, denn irgendwie scheinen mit jedem Beitrag mehr neue Fragen zu entstehen als alte wirklich hinreichend diskutiert worden.

Neben den Primzahlen und Simplexen sind jetzt auch noch die Dreieckszahlen und Fraktale dazugekommen.
Diese schiere Masse an Informationen ist einfach zu viel, weil man das gar nicht alles auf einmal diskutieren kann - also ich zumindest nicht.

Statt jetzt wieder einen ganzen Fragenkatalog zu formulieren bzw. den ursprünglichen noch mehr zu erweitern, wäre es mir lieb, wenn du dir erstmal einen Punkt oder eine konkrete Frage rausgreifst über den/die wir dann sprechen.

Momentan weis ich nämlich nicht, auf was ich überhaupt noch antworten soll und dem letzten Beitrag entnehme ich, dass ich so manche Antwort gar nicht mitgeschnitten habe.

@BlackFlame
Wir fassen mal etwas zusammen:
Ich hatte Dir acht Fragen gestellt, die Du ganz nach Belieben beantworten kannst, wie es halt Deine Zeit erlaubt. Da hast Du Dir dann zuerst folgende recht anspruchsvolle Frage rausgegriffen:

Was hältst Du von jenen Übereinstimmungen zur Ziffer 10 an Hand von drei völlig verschiedenen Geometrie-Beispielen?
http://tetraktys.de/einfuehrung-2.html
und zu den Simplexen selbst:
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf

Ergänzung dazu:
Mit "Übereinstimmungen" ist gemeint, dass unterhalb von 10 der Wert 1 kleiner ist als Wert 2. Bei 10 sind beide Werte = 10 und oberhalb von 10 geht die Schere dann bis unendlich auseinander. Somit erübrigt sich dann auch die Frage nach höheren Simplexen oder Fraktalen.
Die drei Beispiel sind:
1. Dreieckzahlen
2. Simplexe
3. Fraktale
(es gibt noch mehr davon) Es geht um die Aufkumulierung natürlicher Zahlen und jene beschriebene Gesetzmäßigkeit bei Wert 10.

Dabei haben wir festgestellt, dass die Beantwortung dieser Frage eben doch einen Rundumschlag an Backroundwissen erfordert, welches in dieser kurzen Zeit vermutlich nicht zu erbringen ist.
Leider handelt es sich dabei nun aber auch um eine sehr wichtige Frage an Dich.
Die Verbindung zwischen dem Sierpinski-Dreieck, dem Pascalschen Dreieck und den Simplexen kann man eigentlich in recht kurzer Zeit erfassen, wenn man zumindest diese Beiden Seiten gelesen und verstanden hat:
http://tetraktys.de/geometrie-4.html (oberes Drittel dieser Seite reicht erst mal)
und:
http://tetraktys.de/geometrie-9.html

Zumal es keine "Spitzfindigkeiten" von mir sind, sondern teilweise Standardwissen, welches man auch in Wikipedia und anderswo abrufen kann. Die entsprechenden Links dazu habe ich ja auch in den jeweiligen Themenbereichen integriert.

Aber zur Not kannst Du Dir ja diese wichtige Frage für später aufheben, auch wenn dieses Thema für das Verständnis der restlichen Fragen doch schon nötig wäre. Nimm halt die restlichen 7 Fragen und lasse Dir ruhig etwas mehr Zeit dabei.

Auf jeden Fall erst mal Respekt, dass Du die Möglichkeit in Betracht ziehst, dass an den Gedankengängen eines Nicht-Mathematikers etwas dran sein könnte.
Danke also auch für Deinen guten Willen und Deine Geduld bis hierher.
Aber ich betone trotz allem noch einmal: Es geht nicht nur um Geometrie, sondern um figurierte Zahlen.