Der Lehrsatz des Pythagoras in der 3. Potenz

Hier mal der Link zu einer Quelle für die Formeln von Euler und Vieta.

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

2 Fragen:
Was ist ein n-polynominator?
was ist eine "Folge 3. Grades"

Also, ein n-Polynominator ist eine Formel mit einer unbekannten variablen (n).

Für die erste Tabelle ist die Formel:

A=1
B=9n^3-1
C=9n^4-3n
D=9n^4

Für n kannst Du jede rationale Zahl einsetzen, das Ergebnis ergibt immer einen Quadrupel (n=25 - 1 / 140624 / 3515550 / 3515625). So erhält man Quadrupel in einer Grösse, die ein herkömmlicher Computer mit einem Programm nicht mehr rechnen kann.

1 8 6 9
1 71 138 144
1 242 720 729
1 575 2292 2304
1 1124 5610 5625

Eine arithmetische Folge ist eine Folge von Gliedern, die auf eine ganz bestimmte Art und Weise additiv miteinander verknüpft sind.

Triviale Folge

1
1
1
1

Folge 2. Grades

1
2
3
4

Folge 3. Grades

1
3
6
10

Folge 4. Grades

1
4
10
20

etc.

@Niselprim

Entschuldigung, hab Dich übersehen. Die 4. Zahl pro Zeile ist D, die hinterste Zeile also. Leider kann ich die Zahlen hier (noch) nicht schöner gliedern. 1/6/8/9 -> D=9
1/6/8/9 -> 1 + 216 + 512 = 729

@Fuchs76
Über Nacht liess ich mal noch das Matlab-Skript durchlaufen und hier ist A=2 bis 10000 (ungefiltert, Doubletten sind noch drin).
Das Skript ist natürlich viel zu langsam, deshalb schreibe ich nach der Kaffeepause mal noch schnell das Programm so um, dass ich keine Mathefunktionen benötige, denn die können mit grossen Zahlen nicht umgehen.
Die Arbeit, darin Gesetzmässigkeiten zu erkennen und abzuleiten (sofern es die gibt) überlasse ich aber gerne Dir :D

2 12 16 18
2 16 12 18
2 17 40 41
2 40 17 41
2 142 276 288
2 270 276 344
2 276 142 288
2 276 270 344
2 472 2414 2420
2 484 1440 1458
2 514 947 995
2 601 2831 2840
2 744 852 1010
2 852 744 1010
2 852 972 1154
2 947 514 995
2 972 852 1154
2 1132 1646 1808
2 1150 4584 4608
2 1440 484 1458
2 1582 1624 2020
2 1624 1582 2020
2 1646 1132 1808
2 1987 2526 2883
2 2414 472 2420
2 2526 1987 2883
2 2831 601 2840
2 3876 5640 6194
2 4584 1150 4608
2 5352 6460 7506
2 5640 3876 6194
2 6460 5352 7506

Anhang: gw48533,1231674906,quadruples.txt


Hab hier auch ne Liste mit A<20, B<10000, C<10000, alle Lösungen sind primitiv.

@emodul

Und nochmals danke. Wie ich zu Beginn gschrieben hatte, ist es ein Ansatz, alle Zahlen sortiert nach A darzustellen, also zuerst alle Quadrupel beginnend mit 1, dann 2 etc.
Die meisten Tabellen habe ich aber gefunden, indem ich als erstes Kriterium die Differenz von C zu D nehme, das heisst alle Quadrupel mit dem gleichen Abstand zwischen C und D.

3 4 5 6
1 6 8 9
3 10 18 19
2 17 40 41
12 19 53 54
14 23 70 71
12 31 102 103
3 34 114 115
21 46 188 189
27 46 197 198
16 51 213 214
4 57 248 249
22 57 255 256
9 58 255 256

Es gibt eine elegante Möglichkeit alle Ergebnisse bis D=256 im Excel zu rechnen. Da bei dieser Art der Sortierung, und das hat für mich zum Glück im Netz bisher noch niemand so gemacht, die Abstände in den Folgen der verschiedenen Spalten kleiner sind, ist es einfacher, Tabellen als Grundlage für Formeln zu finden. Aus obenstehender Liste kann man folgende Tabelle(n) generieren:

1 6 8 9
2 17 40 41
3 34 114 115
4 57 248 249

und weiter...

0 1 0 1
1 6 8 9
2 17 40 41
3 34 114 115
4 57 248 249
5 86 460 461
6 121 768 769
7 162 1190 1191
8 209 1744 1745
9 262 2448 2449
10 321 3320 3321


Auch die Spalte B ist interessant, weil die Folge den Hexagonial-Zahl entspricht, wenn ich mich nicht irre.

@emodul

Wäre es also möglich, das Programm auch so zu schreiben, dass es Quadrupel mit der gleichen Diffenz von C zu D liefert?

@Tommy137

Danke vielmals. Ich bin gespannt, ob ich nochmals eine Tabelle finde in den neuen Zahlen. eine Vermutung ist, dass ich eventuell Tabellen finde bginnend auf 8 und 27 oder den Teilern von 27. Wenn man jeweils eine Tabelle hat, die nur noch aus primitiven Quadrupeln besteht, kann man diese in den richtigen Schritten multiplizieren (1, 8, 27, 64...) und ergänzen. So ist es auf alle Fälle, wenn man nach D-C sortiert, und man erhält so eine Grundlage für die Paarformeln.

@Tommy137

Hast Du auch ein Programm geschrieben? Du wirst natürlich auch als Quelle für Quadrupel angegeben, die ich noch nicht hatte.

@emodul

Folgende Quadrupel waren neu (primitiv) und werden von mir Dir angerechnet:

2 601 2831 2840
2 1987 2526 2883

3 509 1156 1188

4 963 972 1219

5 1059 1282 1488

6 865 1119 1270

7 569 1288 1324

8 786 955 1107

10 783 953 1104
10 723 1277 1350

Bitte beachte den Post von Tommy137, bevor Du den Rechner wieder startest

Anhang: gw48533,1231676833,quadruples2.txt


Hab jetzt das Programm umgeschrieben für Lösungen mit einer bestimmten Differenz D-C.

Hast du da irgendwelche bestimmten Werte im Kopf für D-C?

In der twbelle lauten die Parameter D-C<20 und D<=10000, wieder wurden nur primitive Ergebnisse ausgegeben.

@Fuchs76
Ich sehe Du bist da ziemlich "drin" bei dieser Zahlensache.

Und ja, man kann das Programm natürlich auch auf die Differenz von C zu D programmieren. Das Programm von mir ist sowieso ein unoptimierter Brute-force-Ansatz, da kann man eigentlich machen was man will.

Den Post von Tommy137 und seine Tabelle habe ich natürlich gesehen :D

Emodul

Du bist genial :-) Super, Sensationell!

Für den Anfang ist das schon toll. Ich werde mal schauen, ob ich auf die Schnelle Tabellen find. Bei D-C=1 hatte ich die Ergebnisse bis 4000 noch von Hand im Excel gesucht! Ich habe Tabellen bei den unterschiedlichsten Diffenzen gefunden, viele aber in 7er, 13er, 19er-Schritten etc. (7,14,21,28,35,-,52,65,-91...). Grundsätzlich ist es aber richtig mit D-C=1 anzufangen und dann einfach die Differenzen und steigern. Wenn man beispielsweise eine 35er-Tabelle nimmt, deren Folgen relativ kleine Unterschiede aufweisen, kann man diese durch sieben dividieren und erhält so zwei "Stränge" mit 5er-Tabellen, deren Zahlen schneller grösser werden. Nur so konnte ich viele Tabellen mit kleiner Differenz von C zu D finden. Das heisst, es sind eigentlich alle Differenzen willkommen.

@Tommy137

Ich muss die ganzen Zahlen erst verarbeiten, aber mindestens einen Ansatz konnte ich bereits erkennen. Hier noch ein Beispiel einer Differnez 1 Tabelle, die ich aus der Divison einer 91er Tabelle erhalten habe, Es ist ersichtlich, dass die grossen Differenzen von C zu D sehr nützlich sind. Trotzdem finde ich es der Vollständigkeit halber besser, das Feld von unten aufzurollen, weil so die vorhandenen Quadrupellisten für ihre Parameter vollständig sind. Gibt es eine Möglichkeit hier eine Excel-Tabelle zu verlinken oder per PN zu verschicken?

149 212 2068 2069
1666 2265 73584 73585
4821 6502 359132 359133
9614 12923 1007770 1007771

Man sieht gut, dass man diese Tabelle nicht mehr einfach aus einer Liste herausrechnen kann. Die 91er Tabellen haben dann aber doch einige Ränge bis C=1000. Diese 91er Tabelle kann man endlos erweitern und durch Division durch 7, 13, oder 91 erhält man Tabellen mit kleineren Differenzen aber grösseren D.

Anhang: gw48533,1231680940,Erste_n-Polynominatoren.xls


Ich versuche mal, eine Excel-Tabelle als Anhang zu posten...

Das mit den Excel-Dateien funktioniert ja, dann kann ich also problemlos Daten in Anhängen übermitteln, man braucht sie dann bloss zu kopieren.:-)

Also, aus den ersten Tabellen lassen sich n-Polynominatoren rechnen/konstruieren. Für die einfachen Tabellen hat Herr J. Zinn, Mathematiker, folgende Formeln erstellt:

A=n
B=3n^2+2n+1
C=3n^3+3n^2+2n
D=3n^3+3n^2+2n+1


A=3n^2
B=6n^2-3n+1
C=9n^3-6n^2+3n-1
D=9n^3-6n^2+3n


A=3n^2
B=6n^2+3n+1
C=9n^3+6n^2+3n
D=9n^3+6n^2+3n+1

Diese Formeln waren bis anhin nicht bekannt, beispielsweise auch nicht auf der Power Page von Steven Dutch. Die Formel liefern entsprechende Tabellen. Für n kann man alle rationalen Zahlen einsetzen, die Gleichung A^3+B^3+C^3=D^3 wird immer erfüllt.

Man kann für jede Tabelle einen n-Polynominator konstruieren.

Diese Formeln waren bis anhin nicht bekannt, beispielsweise auch nicht auf der Power Page von Steven Dutch.


Entweder waren sie nicht bekannt oder ihnen wurde nicht der mathematische Wert beigemessen, den du da hineininterpretierst. Ich tendiere eindeutig zu letzterem.

Dass n³ + (3n^2+2n+1)³ + (3n^3+3n^2+2n)³ = (3n^3+3n^2+2n+1)³ gilt, lässt sich ja von jedem schnell nachrechnen, ebenso die anderen Parametrisierungen.


Interessant wird es erst, wenn du eine Parametrisierung findest, mit der sich alle primitiven Lösungen konstruieren lassen (s. Pythagoräische Tripel mit der Parametrisierung x=u²-v² , y = 2*u*v , z = u²+v², liefert alle primitiven Tripel falls gcd(u,v)=1 und u oder v gerade).

@Tommy137

Das ist ja eigentlich das grosse Fernziel und ich bin der Meinung, dass es solch eine Formel geben muss. Auf der Site von Professor Dutch sind effektiv alle im Netz zugänglichen Informationen vereint, jedenfalls sicher das Meiste. Er hat einige Polynominatoren und Paarformeln veröffentlich. Die Paarformeln sind don Vieta, Euler und Ramanujan. Ich poste nachher eine die entsprechenden Excel-Anhänge. Solche Paarformeln kann man mit dem mir zur Verfügung stehenden Material zu Hauf konstruieren, wennn man den Dreh raus hat. Diese sind aber nur Teillösungen. Ich werde später anhand Euklid und Pythagoras illustrieren, warum ich an eine Fortsetzung des Prinzip auch in höheren Potenzen glaube. Die Tabellen von Vieta und Euler konnte ich in Tabellenform schon um eine Dimension erweitern. Wenn man also in dieser neuen Teillösung alle Ergebnisse für D aufzeigt, entsteht ein dreidimensionales Gebilde mit drei Achsen. Logischerweise hat die neue Formel, die es noch zu konstruieren gilt, drei unbekannte Variablen.

Ich habe bereits die Quadrupel mit der Differenz 1 bereinigt. Es sind 28 neue zwischen 4000 und 10000, die auch noch nicht in Tabellen aufgetaucht sind. Ich habe auch eine erste Tabelle erblickt. Ich brauche für eine Tabelle normalerweise drei bis vier passende Quadrupel, in Deiner Liste habe ich zwei lokalisiert, die zweifelsohne zusammen gehören. Vielleicht kann ich trotzdem eine passende Tabelle generieren, die dann ausschliesslich Dir zu verdanken ist. Ansonsten kann ich die Parameter sicher eingrenzen, falls mein Excel schlapp macht.

Es mag wirklich sein, dass dem ganzen geringe mathematische Bedeutung innewohnt. Spass machts mir trotzdem und sinnvoller als an magischen Quadraten rumzurechnen finde ich es auch.

@Fuchs76
Die 4. Zahl pro Zeile ist D, die hinterste Zeile also

Das ist mir schon auch klar.
Aber was ich eigentlich noch nicht begriffen hab ist, welche Linie das 'D' darstellt.
Da Du ja vom 'Lehrsatz des Pathagoras' ausgehst; da sind die Seiten a und b die Katheten und die längste Seite c ist die Hypothenuse.
Was ist nun im kubisch das 'D' oder welchen Sinn ergibt es, 'D' auszurechnen?