Der Lehrsatz des Pythagoras in der 3. Potenz

Anhang: gw48533,1241171418,Formeln_und_Tabellen.xls


@emodul
@Tommy137
@alphawal

Hallo zusammen

Ich habe jetzt mal einige Wochen das Thema ruhen lassen. Einerseits habe ich eine Zahlenpause genossen, andererseits auch erst einmal wieder gründlich recherchiert. Da ich jetzt auch sattelfester im Thema bin, habe ich nochmals einiges an Material gefunden und etliche Formeln, unter anderem von Euler und Elkies. Ebenso hat ein Osteuropäer mit dem Namen Wroblewski im Jahr 2008 eine Zahlendatenbank veröffentlicht, die die Ergebnisse bis 1.000.000 umfasst. Deshalb werde ich Euch nicht mehr wegen Rohdaten angehen müssen. Eure Beiträge werde ich aber in die ganze Datenbank, die mir zur Verfügung steht, integrieren und kennzeichnen, da sie für mich ein Meilenstein waren. Ich habe mich damals wie auch heute noch darüber gefreut.

Leider musste ich feststellen, dass etliche meiner Tabellen, die ich zur Formelbildung heranziehen wollte, bereits von anderen Autoren gefunden wurden und von mir darum mathematisch ausgedrückt nur wiedergefunden wurden. Ich bin als mit einigen meiner Tabellen zu spät oder anders ausgedrückt, eben nicht der erste Mann auf dem Mond. Wie hiess doch gleich nochmals der Zweite?

Momentan bin ich noch an der Auswertung der Formeln, was Spass macht, weil ich schon weiss, wonach ich suche. Ich denke immer noch, dass man dem Thema noch einiges hinzufügen kann.

Um den Bogen zu spannen - ich bin Euch vor eingiger Zeit um Quadrupel beginnend mit 9, 16, 81 und 256 angegangen. Mit Hilfe dieser Quadrupel hatte ich ein Tabellenblatt gefertigt, einen "Tabellenstrang", der einerseits als Diagonale in der Verknüpfung meiner Tabellenblätter mit der Formel von Hardy & Wright enthalten ist. Leider habe ich nun bei der Recherche festgestellt, dass vor nicht allzu langer Zeit ein Japaner namens Kohmoto die entsprechende Formel bereits veröffentlicht hat, die auf unser gemeinsam erarbeitetes Dokument passt.

Ich nutze nun diese Gelegengeit zur Erstveröffentlichung eines Umstandes, den er nicht bemerkt hat, nämlich dass man das Negativ und das Positiv der Tabellen miteinander verknüpfen kann und daraus ein neues Tabellenblatt entsteht mit Komponenten der jeweils ersten beiden. Die Formel lässt sich dann von der Arbeit Kohmotos ableiten.

Ebenso ist die Quelle zu Kohmotos Formel in diesem Beitrag verlinkt.

Ich werde bei Interesse auf die anderen Formeln , die ich fand, zu einem späteren Zeitpunkt eingehen. Ich habe die Tabellenbilder die ich haben will teilweise schon herausgelöst. Mit etwas Glück gelingt es allenfalls, eine bessere Formel für die Lösung des Problems zu finden.

Ich grüsse Euch herzlich

Fuchs

http://euler.free.fr/identities.htm

Hmmm...

Zum Satz des Pythagoras fälltmir nur eine Frage ein...


a²+b²=c² aber a³+b³ =/ c³


(=/ -- Ist nicht gleich)


Warum ist das so....?

Das hat ein Mathematiker heraus gefunden und ein Buch darüber geschrieben. Es ist 200 Seiten dick!!!

Mindslaver schrieb:Hmmm...

Zum Satz des Pythagoras fälltmir nur eine Frage ein...


a²+b²=c² aber a³+b³ =/ c³


(=/ -- Ist nicht gleich)


Warum ist das so....?

Das hat ein Mathematiker heraus gefunden und ein Buch darüber geschrieben. Es ist 200 Seiten dick!!!

Ehm... ganz einfach, weil da eine Summe steht, das heißt, wenn du aus a² a³ machen willst, musst du beide summanden mit a multiplizieren. Das c natürlich auch, da es sonst nichtmehr gleich ist. Mit b und c das selbe.

Also würde da sowas rauskommen:
a³*bc+b³*ac=c³*ab

Mindslaver schrieb:Das hat ein Mathematiker heraus gefunden und ein Buch darüber geschrieben. Es ist 200 Seiten dick!!!

Andrew Wiles hat kein solches Buch veröffentlicht.

@Mindslaver

Die Formulierung A³ + B³ = C³ ist ein Teil der generellen Frage die Fermat in seiner Vermutung ausgedrückt hat (Fermats last theorem). Die Gleichung a^n + b^n = c^n hat, ausser bei den Quadratzahlen, keine Lösung. Es gibt aber Lösungen für a³+b³=c².

Lange Zeit haben viele Mathematiker versucht einen Beweis für Fermats Notierung zu finden, es ist aber erst vor einigen Jahren gelungen, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Es gibt eine Geschichte, in der überliefert wird, dass Fermat seine Vermutung aus Papiermangel am Rande eines Notizbuches festhielt. Der Beweis, dennn er dabei gefunden hatte, und nicht notiert, ist allenfalls eine elegantere und einfachere Version.

Wieso das jetzt aber genau so ist, kann ich nicht sagen, ohne vorher mich kundiger gemacht zu haben. Ich weiss einfach, dass es keine Lösungen gibt. Bei den Kubikzahlen-Quadrupeln gibt es aber eine Anzahl Lösungen a³+b³+1 = c² als grösste Annäherung. Wenn man sich mit den Quadrupeln beschäftigt, wird einem aber auch klar, dass es nicht aufgeht mit einer 3.1.2 equation.

In diesem Zusammenhang steht auch eine falsche Vermutung Eulers, die besagt, dass die Anzahl der Summanden im Minimum so hoch ist, wie der Grad der Potenz.

Es wurde aber ein Gegenbeispiel gefunden, die diese Vermutung widerlegt:

http://www.nzz.ch/nachrichten/wissenschaft/variationen_zu_einer_vermutung_eulers_1.732803.html (Archiv-Version vom 14.06.2008)

Liebe Grüsse aus der Schweiz

Korrigiere: a³ + b³ + 1 = c³

Übrigens gibt es mindestens eine Formel von Euler für eine 3.1.3 diophantine equation, die, wenn man sie ein bisschen anpasst, eine Reihe dieser Quadrupel, beginnend auf 1 enthält.

Leonard Euler

a = (1-(p-3q)(p2+3q2))r
b = ((p+3q)(p2+3q2)-1)r
c = ((p2+3q2)2-(p+3q))r
d = ((p2+3q2)2-(p-3q))r

In dieser Form kann man ignorieren, da der Ausdruck in der grossen Klammer nur multipliziert wird aus Gründen der Darstellung. Ein grundsäzlicher Aspekt ist die Suche nach ganzzahligen Lösungen. Wenn man diese Formel einfach mit ganzen Zahlen für p + q anwendet, erhält man nicht das vollständige Zahlenbild, das möglich ist; man muss sich in Schritten von 0,5 innerhalb der "Parameter" bewegen. Ich stelle den Dateianhang mit der Formel von Euler später hier rein.

kann man r ignorieren...

Hehe, ich freu mich schon auf mein Mathe-Studium.... :D


Naja, ich wollte es halt mal angesprochen haben... Lg

@Mindslaver

Schon einmal verlinkt, aber vielleicht hilfreich als Einstieg:

http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/rmpowers.htm (Archiv-Version vom 21.04.2009)

Freundliche Grüsse

@emodul
@Tommy137

Zitat emodul: "Habe mir da gerade schnell ein Progrämmchen gestrickt, das die Zahlen für mich berechnet, da ich zu faul bin, um da jetzt irgendwelche Gesetzmässigkeiten herzuleiten. Wenn Du willst, stelle ich den Quelltext hier rein. Oder besser ich schicke ihn Dir per PN, da es ziemlich übel codiert ist ..."

Ich habe bei meiner Recherche etwas gefunden, dass Euch mehr bringt als mir, da nicht weiss, wie man Programme schreibt. Bin halt bald schon ein altmodischer Gruftie.

http://boat.zero.ad.jp/~zbi74583/four.htm

Anhang: gw48533,1241810821,Euler.xlsx


@emodul
@Tommy137

Die Formel von Euler in Tabellen:

Ich habe mich noch nicht abschliessend damit auseinandergesetzt. Das hier ist die momentane Arbeitsdatei. Es sind bei den tiefen Zahlenpaaren zwei farbig markierte Tabellen dabei, die ich ganz zu Beginn meiner Arbeit eben nur wiederentdeckt habe. Die Blaue Tabelle ist die Verknüpfung der beiden Tabellen beginnend auf 1 und -1, die wir zusammen erarbeitet haben. Diese beiden 1er-Tabellen, hierfür hat ein Japaner, Kohmoto, eine Paarformel geschrieben, ergeben kombinert eine von Eulers Tabellen. So wie es aussieht, hat das aber niemand gemerkt. Und wie schon beschrieben, wenn man die Formel nicht nur in ganzen Zahlen anwendet, was eigentlich Vorschrift für diese Art von Gleichungen ist, erhält man eben diese 1er-Quadrupel-Tabelle ebenfalls mit Eulers Formel. Diese ist somit eigentlich ablesbar, da sie ins Auge sticht. Auch bei meiner weiteren Arbeit ist ersichtlich, dass diese drei Tabellen, die farbigen und die 1er-Tabellen für die Zahlenbildung enorm wichtig sind. Es lassen sich zu den Zahlen einige Auffälligkeiten anfügen, mehr dazu später.

@emodul
Ich lass Dich jetzt mal stöbern. Wenn Du bei den Tabellen die untersten beiden Zeilen fasst, kannst Du die Tabellen verlängern.

Hier einmal der Link zu der besten und umfangreichsten Quelle zu dem Thema:

http://www.geocities.com/titus_piezas/RamCube.htm

@emodul
@Tommy137

ich bewundere ja immer die, die können was ich nicht kann!:)
Das einzige woran ich mich erinnere ist, daß Pythagoras schon irrationale Zahlen vorraussetzte ohne daß dies bewußt war, oder so ähnlich.
Ich finde das toll wenn man soweit denken kann das alles zu verstehen.Hut ab!

Anhang: gw48533,1241813441,Euler.xls


@emodul

Sorry, habe die Excel Datei .xlsx gespeichert, so gehts wohl nicht...

Liebe Leute

Ich danke allen für Ihre Beiträge zu diesem Thread. Insbesondere Euch emodul und Tommy137, für Euer langanhaltendes Interesse und Eure Zahlen, die mich wirklich weiter gebracht haben. Ich werde die Verwaltung bitten den Thread zu schliessen und dafür einen Neuen eröffnen unter dem Arbeitstitel "Diophantische Gleichungen". In diesen werde ich die Ergebnisse dieses Threads, die 3. Potenz, einfliessen lassen. Die erarbeiteten Tabellen werde ich sukzessive zur Verfügung stellen. Ich erhoffe mir vom neuen Thread einerseits Einblick auch in höhere Potenzen und das könnte eine ganz interessante Sache werden, andererseits möchte ich das Ganze selber klarer strukturieren, damit es einfacher wird, ein Muster zu erkennen,

Auf Wiedersehen im neuen Thread und nochmals herzlichen Dank.

@kore
@Mindslaver
@Tommy137
@light
@alphawal
@emodul