e^x wächst schneller als jede Potenzfunktion

chen schrieb:Wenn ihr Superscript benutzt, könnt ihr auf die ^ - Zeichen verzichten.

^ geht schneller!

Und so kompliziert waren die Exponenten ja nun wieder auch nicht, aber ok... wenn du alter Herr das dann besser lesen kannst, mach ichs eben so :D

Halbvampirroni schrieb:Einen Grafen zur veranschaulichung oder so?
kann man da irgendein Beispiel nehmen?

Das Standardbeispiel wäre natürlich x² und e^x.

x³ und e^x ist noch eine Spur interessanter, da dort die Potenzfunktion für kleine Werte (~ 1,85 < x < 4,54) einen höheren Funktionswert besitzt als die Exponentialfunktion.

Noch größere Parameter für den Exponenten verschieben den zweiten Schnittpunkt weiter nach oben, das wird dann schnell unübersichtlich.


Vielleicht wird so klar, was ich meine:







Für x⁴ hat der obere Schnittpunkt dann einen y-Wert von ~ 5500, das ist auf einer Grafik nicht mehr gut darstellbar.

okay, danke,
ich finde diese Beweise zu führen total blöd.
Ich weiß auch nicht.
kannst du vielleicht noch mal sagen, woran man erkennt, das e^x schneller wächst als die Potenzfunktion. @Tommy137

Vielleicht ist das ja ganz einfach aber für mich noch nicht so klar.

Und ich dachte, als ich die Überschrift des Threads laß, dass es hier versaut zu geht :D

Noch mal eine andere Frage.
Was ist mit Potenzfunktionen wie x^ -2 oder x^ -3, also negativen Exponenten, trifft da die Aussage "e^x wächst schneller als jede Potenzfunktion" auch zu!
Weil bei den allgemeinen Formel war ja nur von natürlichen Zahlen die Rede.

und hat zum Beispiel irgendeine Zahl die vor dem x^n steht einen Einfluss auf die Aussage oben oder wächst e^x immer noch schneller an?
der obere schnittpunkt der beiden Funktionen liegt dann einfach nur bei höheren y-Werten oder?
@Tommy137
@canpornpoppy

@Halbvampirroni

die mit negativen exponenten laufen für x -> &infin; eh gegen null, da x^-n = 1/x^n

eine zahl vor dem x^n hat keinen einfluss, da das produkt nach n ableitungen nach wie vor endlich ist

und man sieht das e^x schneller wächst daran, weil der Grenzwert unendlich ist (im Zähler oder im nenner) ?
oder woran sieht man das,
mit dem Grenzwert kann ich mir das irgendwie nicht vorstellen.@canpornpoppy

jemand, der anonym bleiben will hat geschrieben:


Du musst die Exponentialfunktion als Potenzreihe schreiben. Dann siehst du sofort, dass du eine Abschätzung angeben kannst. Es ist dann für ein positives x und ein n aus den natürlichen Zahlen:

exp(x) ist echt größer als (x^n+1)/(n+1)!

Daraus folgt aber, im Sinne einer echten Implikation, dass exp(x)/x^n echt größer ist als x/(n+1)!

Wendet man nun den Grenzwert x gegen Unendlich an, dann folgt daraus sofort deine Aussage. Fertig.

kann da jemand noch kurz was sagen, so dass es jeder versteht?!

@Halbvampirroni

:D Verstehen tue ich da gar nichts, aber das ist auch net so schlimm. Ich gehe jetzt in die 9. Klasse auf einer Realschule, möchte danach aber mein Abi machen...
Wird mir dann auch so etwas kompliziertes vorgesetzt? o.O

ich glaube nicht so doll, weil du Mathe-Leistungskurs nicht unbedingt nehmen musst.
Ich habe auch keine Ahnung, wie das dann bei dir funktioniert, musste mal nachfragen

@Halbvampirroni

Ich habe zwar keine Lösung, bewundere aber das Problem :)

Hier mal ein Link der dir vielleicht weiterhilft.
http://www.matheboard.de/archive/160225/thread.html
Ich versteh da natürlich nur Bahnhof aber vielleicht wirst du daraus schlau ;)

mfg

Ask & Embla

mein Mathelehrer meint ich soll die Funktion
g(x) = x^(n+1) / e^x betrachten, also Ableitung, Extrema, Einschachtelung

ich verstehe aber nicht was das mit der Behauptung zu tun hat,
e^x^wächst schneller als jede Potenzfunktion

könnt ihr mir helfen, ist wirklich dringend!!!
@canpornpoppy
@Tommy137
@Bettman

@Halbvampirroni

Gibt es für sowas keine speziellen Foren? Da wird dir bestimmt besser geholfen. :ok:

Ich komme mir gerade vor, wie ein Vollidiot... Habe auch eine höhere Schule mit großteils technischer Mathematik besucht.

naja aber das obere habe ich jetzt verstanden nur das neue nicht.
ich soll das Extrema bestimmen
er meinte aber es ist anspruchsvoller und ich komm nicht weiter
und ich weiß auch nicht wozu das gut ist

weiß jemand wie ich die Einschachtelung mit dieser Funktion g(x) machen soll?

@Halbvampirroni

also sieht das so aus?

[e^(n+1)]
________
e^x

oder wie?

schreib die aufgabe mal auf nen Zettel und scan den ein. mit tastatur kann man so besch*** schreiben

das ist zu aufwendig,
die Funktion lautet so:

(x^(n+1))
________
e^x

ich soll die Ableitung zeigen und Extrema bestimmen, und Einschachtelung,
aber ich weiß nicht was das bringt?

@Halbvampirroni

ähm.. ich weiß grad nichts mit der einschachtelung anzufangen.. aber wo genau ist jetzt das problem? die ableitung? die bestimmung des extrempunktes?

ableitung ist doch ganz normal (u'v - v'u)/v² mit v = e^x

also

f'(x) = ((n+1)x^n * e^x - x^(n+1) * e^x)/e^2x

e^x ausklammern und kürzen

f'(x) = ((n+1)x^n - x^(n+1))/e^x

fürs extrema nullsetzen, ist jetzt auch nicht der hit, das sieht man eigntlch schon

(n+1)x^n - x^(n+1) = 0

x^n ausklammern

x^n * (n + 1 - x)

wird die klamemr null wird alles null, logo

x = n + 1

dort ist die extremstelle, y-wert kannste selber machen ;p

kann auch nur nen maximum sein, weil keine negativen werte (für alle positiven x) auftreten

nullstelle gibt es auch nur eine bei x = 0

und je nach dem ob der exponent (n+1) gerade oder unegrade ist, verläuft die funktion für negative x bei + oder - &infin;

aber was das mit der einschachtelung soll, weiß ich nicht

danke erst mal,
ich habe aber mal noch ne Frage, ich verstehe den Zusammenhang nicht, was bringt mir diese Betrachtung, wie kann ich damit beweisen das e^x schneller wächst?
@canpornpoppy

@Halbvampirroni

na weil dein extrempunkt bei n + 1 liegt, also beim exponenten der potenzfunktion

nach diesem punkt fällt die funktion und läuft immer gegen null, dein exponent n + 1 ist ja ein fester zahlenwert und somit endlich

weiß nicht ob das ausreicht.. aber mehr fällt mir dazu nicht ein ^^