Rauminhalt - oder n-dimensionale Volumina!

hi

ich hab mir gerade was überlegt, wo für ich keine antwort weiß (keine sorge, hab die sufu benutzt, sie spuckt auch was aus, allerdings nix was mir hilft)

hmm... wo fang ich an... es geht um volumen bzw. um rauminhalt

das problem welches ich nun habe ist die anzahl der dimensionen im zusammenhang mit dem volumen, denn betrachten wir ein quadrat, dann beträgt das volumen (flächeninhalt) v = a * a = a²

betrachten wir einen hexaeder (würfel), dann beträgt das volumen v = a * a * a = a³

betrachten wir nun ein tesserakt (hyperwürfel), dann v = a⁴

seht ihr wo das hin führt? für n-dimensionale würfel gilt v = aⁿ

auf gut deutsch, je mehr dimensionen, je mehr "raumangebot" steht zur verfügung, is ja eigentlich logo, ich wird zwar nich meine hand für ins feuer legen aber ich schätze das gilt für so ziemlich alle körper... aber moment! ich hab es zwar heut nich zum ersten mal gelesen, aber dennoch frage ich mich heut, warum! hat die n-dimensionale kugel bei der dimension 5,26 ihren größten rauminhalt... den das volumen strebt bei unendlich vielen dimensionen gegen null!

okay... blabla, gebrochene, unkrumme und 2-stellige dimensionen sind nich wirklich relevant in unserem universum und sind eher mathematischer natur, aber liege ich mit meiner menschlichen vorstellung so falsch? "mehr dimensionen = mehr platz"

ps: ich hätte euch ja nen link gelinkt, allerdings find ich gerad auf die schnelle nix, dachte sowas stand auch mal in der wiki... wenn interesse besteht, ich hab hier noch ein *.pdf rum liegen, da steht auch die formel für das volumen der n-d-kugel drin

hmm... danke ersma im voraus... vllcht is es ja wirklich nur mathematisch, aber ist mit menschlicher logik kaum zu vereinbaren...

Tut mir leid, ich bin bereits beim Thema Doppelbrüche ausgestiegen und als dann auch noch Buchstaben ins Spiel kamen, habe ich das Thema Mathematik abgeschlossen...die sollen sich mal entscheiden entweder Zahlen oder BUchstaben. Isja verwirrend sonst.

geht ja nur darum das mit steigender dimension das volumen steigt... bei einer kugel geht das nur bis zu einer gewissen dimension danach nimmt das volumen ab... aber why?

Wieviele Diensionen braucht es den für den Rauminhalt? Drei wenn ich mich nicht irre .

ne fläche is vom prinzip her auch ein volumen... hat sich halt sprachlich extra etabliert... heißt ja raum-inhalt oder fassungsvermögen oder sowas ;)

Geometrie?!?
Na das ist doch einfach.

Wir Denken, Fühlen, und Leben in 3 Dimensionen.

Mathematisch, ist die 3teD keine Grenze.

Sie ist nur ein Faktor.

Gut, fangen wir von Unten an.

Ausgehen, tut Alles von einem Punkt.

Die erste Ausdehnung, ist eine Linie.
Darauf haben unzählig viele Punkte Platz!

Die zweite Ausdehnung, ist eine Fläche.
Darauf haben unzählig viele Linien Platz!

Die dritte Ausdehnung ist ein Körper.
Darin haben unzählig, viele Flächen Platz.

Die vierte Ausdehnung, ist ein ???.
Darin(Dadurch, Deshalb) haben unzählig viele Körper (darin, darauf, drüber ) Platz, u.s.w.

Ihr merkt worauf ich Hinaus will?

Computer können bis in die 12te Dimension ( und weiter ) rechnen.

Die Welt ist nicht bei unserer Auffassungsgabe zuende!

@canpornpoppy

auf gut deutsch, je mehr dimensionen, je mehr "raumangebot" steht zur verfügung, is ja eigentlich logo, ich wird zwar nich meine hand für ins feuer legen aber ich schätze das gilt für so ziemlich alle körper... aber moment! ich hab es zwar heut nich zum ersten mal gelesen, aber dennoch frage ich mich heut, warum! hat die n-dimensionale kugel bei der dimension 5,26 ihren größten rauminhalt... den das volumen strebt bei unendlich vielen dimensionen gegen null!

Ein Volumensangabe besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Bei verschieden dimensionalen Volumina kannst Du nicht einfach die Zahlenwerte miteinander vergleichen, da hier die Einheiten verschieden sind, auch wenn alle Längen z.B. immer in Meter gemessen werden.

Dass sich für die n-dimensionale Einheitskugel bei 5,26 Dimensionen vom Betrag her das grösste Volmen ergibt, sagt nichts über das "Raumangebot" aus.

Wenn ich z.B. einen Würfel mit der Seitenlänge a=0,5 m nehme, dann nimmt der Betrag der Volumens mit steigender Anzahl der Dimensionen ab.

Messe ich die Seitenlänge in cm, also a=50 cm, dann nimmt der Betrag der Volumens mit steigender Anzahl der Dimensionen zu.

Aber der Würfel selbst stellt immer das selbe "Raumangebot" zur Verfügung, egal ob ich seine Seitenlänge in m oder cm messe.

Vielleicht gelten die Formeln nur, wenn die Dimensionen derselben Art sind ...

Du meinst sicher das:

Wikipedia: Sphäre (Mathematik)

Die Tabelle zeigt das Volumen von jeweils Einheitskugeln einer bestimmten Dimension.




Und über die Formel lässt sich das sicher herleiten, wenn man genug Zeit hat.

wieso, jegliche Formeln lassen sich phänomenalerweise auch Dimensionsübergreifend er-finden.......

Anhang: gw43015,1204811774,kugel.pdf

@Mailo

thx... is aber nich genau das worauf ich hinaus will ;)

@ilchegu

quadrat:

0,5 m = 0,25 m²
50 cm = 2.500 cm²

umrechnung von m² zu cm² -> durch 10.000 demnach ist das volumen doch gleich?! bzw. das raumangebot... aber mir geht es eher darum:

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel (also der Kugel vom Radius R = 1) in Abhängigkeit von der Raumdimension n bis n = 5 zunächst zunimmt um dann wieder abzufallen - und sogar für n gegen unendlich gegen 0 zu gehen:

(thx tommy)

also scheint es ja ein paradoxon oder eine eigenheit der kugel zu sein...

hier mal die umgestellte volumen-formel:

r = radius
n = dimension

und hier die volumen-kurve:

weil man kann doch auch den inhalt oder das volumen in liter rechnen, demnach müsste ja dann die kugel bei der dimension von ca. 5,26 das größte fassungsvermögen haben oder ist die einheit liter auf die dritte dimension beschränkt?

ich kann es mir irgendwie nich erklären

aber ersmal thx für eure gedanken

gruß TOOM

ps: hier noch der link zum pdf

Zur Herleitung:

http://www.mathe-seiten.de/kugel.pdf

Ok, eine Minute zu spät :D

@ TOOM

1 Liter = 1 dm³

Du betrachtest hier ja einen allgemeineren Volumenbegriff, der auch Flächen (im zweidimensionalen) und höherdimensionale "Volumen" einschließt.

@canpornpoppy

quadrat:

0,5 m = 0,25 m²
50 cm = 2.500 cm²

umrechnung von m² zu cm² -> durch 10.000 demnach ist das volumen doch gleich?!

Natürlich ist es das selbe Volumen. Aber geht das Volumen dieses Würfels für unendlich viele Dimensionen jetzt gegen unendlich oder gegen Null?

@tommy :D

Tommy137 schrieb:Du betrachtest hier ja einen allgemeineren Volumenbegriff, der auch Flächen (im zweidimensionalen) und höherdimensionale "Volumen" einschließt.

hmm... und das heißt?

okay... vllcht gibt es auch einen unterschied zwischen volumen und fassungsvermögen... ich hab vllcht auch nen denkfehler... oder ist das einfach so mit der kugel, einfach hinnehmen, mathematisch passt es und gut, aus, basta?

ka

ilchegu schrieb:Natürlich ist es das selbe Volumen. Aber geht das Volumen dieses Würfels für unendlich viele Dimensionen jetzt gegen unendlich oder gegen Null?

hmm... is also einheiten bedingt? beim einheitswürfel bleibts ja 1 :D

ich weiß es nich... keine ahnung, vllcht hab ich auch den begriff volumen nicht richtig verstanden, werde da noch ein bissel nachlesen

Also was die Kugel betrifft, finde ich das Verhalten durchaus interessant.

Wenn man das Volumen einer n-dim. Kugel mit Radius 2 mit dem Volumen eines n-dim. Würfels mit Seitenlänge 1 vergleicht, dann wird das Volumen der Kugel ab einer bestimmten Anzahl an Dimensionen irgendwann kleiner als das Volumen des Würfels.

Liegt vielleicht daran, dass durch die ganzen "Rundungen" in n Dimensionen immer mehr Volumen im Vergleich zur eckigen Struktur der Würfels verloren geht.

hmm... is also einheiten bedingt? beim einheitswürfel bleibts ja 1

Also ich würde sagen, dass das Volumen eines Unendlich-Dimensionalen Würfels immer gegen unedlich geht.

Wenn die Seitenlänge <= 1 ist, dann überwiegt der unendliche Wert in der Dimension. z.B: Meter hoch Unendlich

wa sein zufall :)
habe gerade erst gestern das volumen einer beliebig dimensionalen kugel bestimmen sollen. allerdings ist mein ergebnis nicht so kompakt... na ist ja auch egal.

zum würfel. meines erachtens muss man ne fallunterscheidung machen. zum einen mal mit der kantenlänge zwischen null und eins und einmal zwischen null und unendlich. einen n-dimensionalem würfel könnte man als lineare hülle von n (kanonischen) einheitsvekotren darstellen, also vektoren der form (x,0,...0), (0,x,0...0 , ..., (0,...,0,x). das x steht jetzt für die kantenlänge (norm des vektors).
so, die determinante dieser vektoren in einer matrix geschrieben ist dann x^n. und dieser ausdruck konvergiert gegen 0 für eine kantenlänge zwischen 0 und 1, ist 1 für eine kantenlänge von 1, und divergiert für größere kantenlängen.

Also nomma:

Man kann nicht einfach "Volumen" verschiedener Dimensonen miteinander vergleichen und dann sagen, dass Volumen von nem Würfel läuft bei hochsetzen der Dimensionen gegen 0 oder wat. Das ist quatsch.

Zunächst ist ne Kugel in 4D auch keine "Kugel" mehr, wie man sie sich vorstellt.

Nene Kreis bezeichnet ja auch keiner als "Kugel".



Beispiel Quadrat, Würfel ....

Quadrat mit Seitenlänge 5m hat nen Inhalt von 25 Quadratmetern.
Ein Würfel mit Kantenlänge 5m hat nen Inhalt von 125 Kubikmetern.

Und jetzt kann man nicht hingehen und sagen, 25 Quadratmeter sind weniger als 125 Kubikmeter, nur weil die Zahl kleiner ist. Da läuft nicht gegen unendlich, wenn man die mehr Dimensionen nimmt.

Genau so wenig kann man sagen, dass 125 Kubikmeter weniger wären als 625 m^4.
Das sind einfach völlig unterschiedliche Dinge. In der vierten Dimension kann ich unendlich viele 3-D-Würfel in ein 4D-Volumen packen. Trotzdem ist das nicht vergleichbar a la 125 m^3 < 625 m^4.