Schneiden sich Parallelen?

Das ist das Tolle an der Geometrie, alles nur theoretische, idealisierte, virtuelle Konstrukte :D

@interpreter

oki sagen wirs anders
nur mal theoretisch: wenn wir zwei parallele geraden in ein schwares loch stecken ( wie gesagt theoretisch), werden sie dann nich stark verformt?

@Fabiano
". Das sind alles nur rein mathematische Konstrukte."

So wie die Zahl 2 ein rein mathemtisches Konstrukt ist
Weil du niemals zwei genau gleiche Objekte finden kannst...
Du musst dich schon dazu herablassen die unterschiede der Objekte zu ognorieren
um zb aus einem Hund und einem anderen Hund
Zwei Hunde zu machen....

Und genauso muss du die endliche Ausdehnung einer Bleistiftlinie ignorieren wenn du das Konzept der gerade in ihr wiederfinden willst....

"Der Radius muss immer die Hälfte des Durchmessers betragen."
Ja und

"Wenn der Radius also schon unendlich ist, was soll dann der Durchmesser betragen? etwa zwei mal Unendlich? Und was gibt das? Ebend."

schau mal wenn du unedlich sagts verbindest du damit doch gar keine Bedeutung...
Du koenntest dhc genauso gut beschweren dass du nicht ausrechen kannst was zweimal blau ist...

Der Vernuenftige Unenlich begriff ist der des Grenzwertes....

Und wenn man in Ordnungen rechen

Gibt es uebrhaupt kein Problem damit...

"Es gibt nur eine Unendlichkeit, weil sie ja schon unendlich ist. "
Nein
In der realitaet exiteir da wir in einem endlcihen Universum leben uebrhaupt keine Unedlichkeit.

In der Mathemtik gibt es verschiedene Arten von Unendlich
Dass du das nicht weist ist dein Problem nichtd as der Mathematik.

Aber vielleicht mal was ganz einfaches

du hast ein 2 dim koordinatensystem...
Wenn du jetzt in richtung der x Achse weglauefts oder in richtung der y Achse dann kannst du doch nicht allen ernstes behauptet das waere das gleiche....
In beiden faellen koennte man sage man laeuft nach unendlich aber das heist doch nicht das das das gleiche waere...

Die Geschwindigkeit in die man gegen unedlich strbet muss auch nicht immer gleich sein...
Der Durchmesser strebt eben mit doppelter Geschwindigkeit gegen unendlich wie der Radius...

Wenn du das alles ignorierts und platt sagts unendlich ist unendlich ,achts du dir nur selbstd as lebn schwer...


"natürlich kann man auch sagen, wir denken uns einen Kreis mit einem unendlichen Durchmesser. Aber den gibt es auch nicht. "

Wir setzen uns auf einen Punkt des Kreisumfangens lassen jetzt den radius immer greosser werden

Was sehen wir....

In unerer naehe sieht der Kreis immer mehr wie eine Gerade aus.....

Wir stellen fest wenn wir nur endlich weit sehen koennen laesst sich der unterscheid zwischen einem Kreis mit Radius viel groesser als unsere Sichtweite und einer Gerade fast nicht mehr erkennen...

Das ist die Sichtweise in der eine Gerde ein Kreis mit Krummung null ist...
Im Sinne des Grenzwetbegriffes durchaus beweisbar....

Ich koennte es dir in Formel aufschreiben aber wuerdest du es dann besser verstehen?

"In Wahrheit müsste man sagen, eine Gerade ist ein Kreis mit der Krümmung Null. Ja, aber dann ist es kein Kreis mehr. Und eine Gerade mit einer bestimmten Krümmung wäre dann keine Gerade mehr."

Sie unterscheiden sich aber nur in dieser eigenschaft alle anderen Eigenschaften wie die Radius durchmesser reation sind von dieser abgeleitet


"Aufgrund dieser Annahme eines Kreises mit unendlichem Radius müssten sich sogar die zwei Geraden, die nicht parallel zueinander liegen, sondern im Koordinatensystem den jeweiligen Radius am Viertelkreis bezeichnen, also um 90° versetzt sind, berühren"
???

Wie ich schon sagte es gibt verschiedene Arten von unendlich ...Wenn du das nicht erkennst bekommst du natuelrich jede denkbare art von Bloedsinn dabei raus..

Du willst um den jeweilige radius versetzen?

Die zweite versetzte Gerade hat dann keinen einzigen Punkt im endlichen....
Und damit willst du was zeigen oder wiederlegen?

LOL um das noch weiter zu machen. Kennt wer die Zahl die größer als Unendlich ist?

@JPhys

wie isn das mit metrischen räumen die nicht flach sind? wenn wir zwei geraden haben die in einem punkt parallel zueinander sind, d.h. die einen gewissen abstand voneinander haben, dann ändert sich dieser im allgemeinen, aber können die sich auch schneiden? wenn ich mir die kugeloberfläche als koordinatensystem nehme, dann müsste das eigentlich der fall sein.

@Spöckenkieke

Allein der Gedanke Unendlich sei eine konkrete Zahl ist, meiner Meinung nach, Falsch!
Folglich kann es auch keine Zahl geben die größer als Unendlich ist.

@interpreter

Nun das stimmt schon aber auch nur wenn ich den Schnittpunkt verschiebe.
Wenn ich jedoch den Winkel der Geraden zueinander von, sagen wir, 90° gleich auf 0° setze habe ich im grunde nur den Schnittpunkt verschoben und ihr könnt sagen was ihr wollt, aber der Schnittpunkt verschwindet nicht einfach und er verdoppelt sich auch nicht ich hab also bei parallele Geraden auch nicht jeh einen Schnittpunkt in jeder richtung sondern nur einen. Noch dazu kommt, dass wenn man den Winkel weiter in diese Richtung verändert der Schnittpunkt von der anderen seite wiederkommt und da ist es doch durchaus logisch anzunehmen, dass diese Parallelen jeweils einen Kreis / bzw da sie sich ja schneiden eine zusammengeklappte 8 Bilden

@drecksbängel
"wie isn das mit metrischen räumen die nicht flach sind?"

Wenn der raum selbst gekruemmt ist kann es Geraden im eigentlichen Sinne des Wortes natuerlich nicht geben....

Was es aber gibt sind Geodeten.

(Wenn man eine Metrik hat kann man Laengen von Kurven messen und aus der Menge aller Kurven die zwei Punkte verbinden kann man die mit der kleinsten Laenge bestimmen und das sind dann die Geodethen...)
(Damit es Geodeten wirklich gibt braucht man natuelrich sowas wie eine Volsatendigkeit des Raumes..und vor allem der Menge der Stetigen Funktionen im Raum)

Im Fall einer Kugel waeren das die Grosskreise

Und Grosskreise schneiden sich.

Also kann es einem passieren das lokal parallele Geodeten sich anderenorts schneiden...

Wobei um sagen zu koennen das die Geodethen lokal parallel sind braucht man natuelrich Tangetialvektoren also wird man wohl nicht darum herum kommen mindestens differenzierbare Manigfaltigkeiten zu benutzen....

drecksbängel schrieb:wenn wir zwei geraden haben die in einem punkt parallel zueinander sind, d.h. die einen gewissen abstand voneinander haben, dann ändert sich dieser im allgemeinen, aber können die sich auch schneiden?

Es gibt zwei grundlegende Möglichkeiten: elliptische und hyperbolische Geometrie. In beiden gilt das aus dem euklidischen Raum bekannte Parallelenaxiom nicht mehr.

Bei einer elliptischen Geometrie, also beispielsweise auf einer Kugeloberfläche, gibt es keine Parallelen.

@Tommy137
"die in einem punkt parallel zueinander sind,"

Das interpretierte ich mal als parallele Tangetialvektoren...

@print

wenn du den Winkel zweier graden auf Null setzt hast du zwei graden die sich sowohl schneiden als auch paralell sind, weil sie die gleiche Grade sind.

@print
Es zählt halt hier nicht die Meinung eines Menschen sondern die Mathematik. Sicher ist es etwas schwerer damit klar zu kommen, aber eigentlich sollte man sich vor solchen Dingen nicht verschließen. Zumindest im Abi kommt sowas vor.

Ich bin die Zahl N, bin edel und frei,
mit Recht von stolzestem Sinn,
ich stehe sehr hoch in der Zahlenreih
und weiß, wie groß ich bin.

Es ist die Zahl der Atome im All
ein Epsilon nur gegen mich,
ich bin ein ganz besonderer Fall,
das große N, eben ich!

Nur eines frisst am Nerv meines Seins
und quält mich mit ständigem Stich:
Die Nachbarin nämlich, die N + 1,
ist leider noch größer als ich.

@JPhys
@Tommy137

durch die diff' mannigfaltigkeit mach ich mir den raum doch lokal euklidisch. das heißt ich habe eine menge von tangentialebenen die den raum aufspannen. wenn jetzt zwei geodäten in einem punkt zwei parallele tangentialvektoren haben, dann werden sie sich niemals schneiden (nur beliebig nahe kommen), ganz einfach weil sonst das variationsprinzip verletzt wäre. oder nicht? deshalb kann ich momentan

JPhys schrieb:Also kann es einem passieren das lokal parallele Geodeten sich anderenorts schneiden...

nicht ganz glauben.

Tommy137 schrieb:Bei einer elliptischen Geometrie, also beispielsweise auf einer Kugeloberfläche, gibt es keine Parallelen.

auch nicht lokal? wie definiert ihr denn in der mathematik parallelen?

drecksbängel schrieb:wie definiert ihr denn in der mathematik parallelen?

Gerade 1 y=m1*x+b1
Gerade 2 y=m2*x+b2.

Sie sind dann parallel wenn sie im endlichen Raum keinen Schnittpunkt haben.

@interpreter

nur wenn du keinen festen abstand zwischen den Geraden vorgibtst...
Parallelen haben wohl den gleichen Schnittwinkel wie identische Geraden.

@Spöckenkieke

naja in dem Sinne spricht nicht der Mensch aus mir, im gegensatz du vielen hier, sondern allein logische schlussfolgerung und Unendlich nimmt im gegen satz zu n keinen
wert ein wenn man versucht damit zu Rechnen.

@drecksbängel
"durch die diff' mannigfaltigkeit mach ich mir den raum doch lokal euklidisch"

Aehm nein..
Wenn man eine riemansche diferenzierbare Manigfaltigkeit nimmt dann macht man den raum local euklidisch...

Und eben nur lokal....

Wie schon gesagt die Geodeten des der Kugel sind Grosskreise und zweiGrosskreise schneiden sich....

Bedenke bitte dass die Geodeten die an einem Punkt lokal Parallel sind sich die halbe Kugel entfernt erst schneiden....

"ganz einfach weil sonst das variationsprinzip verletzt wäre. oder nicht?"

Welches Variantionsprinzip?

Ja ich denke schon dass sich 2 Parallelen
im ~ schneiden zumindest in der optischen Perspektive
und da wir das Unendliche praktisch nie erreichen
können wir ohnehin nur mit der geometrischen Optik das Unendliche beschreiben.

@Spöckenkieke

das ist klar, außer das m1 identisch m2 sein muss. ich habe gedacht das die mathematiker ne ganz allgemeine definition davon haben was parallelen sind unabhängig vom raum in dem man sich befindet.

@JPhys

JPhys schrieb:Wenn man eine riemansche diferenzierbare Manigfaltigkeit nimmt dann macht man den raum local euklidisch...

wo ist der unterschied?

egal, ich war mir einfach nicht sicher ob deine forderung durch LOKAL parallele tangentialvektoren erfüllt ist. das sich geodäten schneiden können ist klar, nur war ich mir nicht so sicher ob auch geodäten die lokal die gleichen bedingungen haben die gelegenheit dazu kriegen, da sonst

JPhys schrieb:Welches Variantionsprinzip?

meines erachtens die forderung des kürzesten weges ungültig wird. vielleicht hab ich mich grade auch einfach nur verrannt. danke trotzdem.

anmerkung: normalerweise kann man doch auf einer kugeloberfläche (vernachlässigt man jetzt infinitesimal kleine abstände) keine identischen tangentialvektoren finden. das heißt gleiche richtung + parallel zueinander??

Unendlich-das sagt doch schon alles. Das ist eine virtuelle Geschichte-eine optische Täuschung. Man kann halt auch nicht zum Regenbogen gehen. Kein Streit nötig. Wenn man eine Eisenbahnstrecke um den Äquator legen könnte und diese Strecke dann abfährt, wird man nie den Punkt erreichen, wo sich die Schienen treffen. In der Entfernung laufen die Schienen scheinbar zusammen, aber vor den eigenen Füßen bleibt der Abstand immer gleich. Wäre es nicht so, würde der Wagen entgleisen.

@print
Sind die Längengrade der Erde Parallelen in Deinem Sinne ?

Wenn ja, dan schneiden sich diese Parallelen an den Polen.

Ein Dreieck aus einem Breitengrad und zwei Längengraden der Erde hat stets eine Winkelsumme, die größer als 180 Grad ist.

Wenn nein, vergiss es.

Ich möchte nochmal auf den Kreis zurück kommen. Mal angenommen ich zeichne einen kleinen Kreis und einen großen. Dann unterscheiden sich die beiden Kreise nur aufgrund ihrer Größe, ansonsten sind sie nämlich völlig gleich.

Wenn ich nun den kleineren Kreis näher an mich heranführe und den größeren weiter von mir weg, so dass die jeweiligen Entfernungen den Größenunterschied ausgleichen, dann habe ich im Prinzip zwei gleiche Kreise und ich sehe sie auch gleich groß.

Unter dieser Voraussetzung kann man dann aber nicht mehr sagen, dass bei dem größeren Kreis die Krümmung kleiner ist als bei dem kleineren Kreis. Denn die Krümmung des Kreises ist immer gleich, sonst gäbe es keinen Kreis.

Der Krümmungsradius ist freilich abhängig von der Größe des Kreises, das ändert aber nichts an der eigentlichen Krümmung.
Will sagen, es gibt eigentlich keine Annäherung an den Winkel Null.
Das hängt lediglich vom Betrachtungsausschnitt ab. Ich kann auch mit einem Mikroskop einen kleinen Kreis so weit immer mehr vergrößern, dass ich mich dem Schnittpunkt mit einer Tangente immer mehr annähere, wobei natürlich der Winkel zum Kreis immer kleiner wird. Aber ich sehe dann auch nicht mehr den ganzen Kreis, sondern nur noch einen kleinen Ausschnitt.

Der gleiche Effekt tritt auf, wenn man immer größere Kreise zeichnet. Aber die Krümmung an sich, jedenfalls wenn man sich diese zumindest immer auf einem Viertelkreis betrachtet, ist immer die gleiche, denn sonst kann man keinen Kreis zeichnen.

Nur, dass eben die Betrachtung, je größer der Kreis wird, immer mehr auf einen dann auch immer kleiner werdenden Ausschnitt verlagert würde. Also einen Kreis mit einem Radius = Unendlich, den gibt es einfach nicht. Logisch wäre es zwar mathematisch, wenn der Radius = Unendlich ist, dass der Krümmungswinkel = Null sein müsste, nur ergibt dies niemals einen echten Kreis.

Eine Gerade mit Krümmungswinkel = Null bleibt immer eine Gerade und kann daher wohl kaum eine parallel verlaufende Gerade oder eine um 90° versetzte Gerade schneiden. Auch nicht in der Unendlichkeit.

Und wenn die Gerade einen Krümmungswinkel hätte, der aber erst in der Unendlichkeit messbar wäre, also nur eine gewisse Strecke hindurch als Gerade erscheint, weil man eben nur einen kleinen Ausschnítt ( wie ich eben beim Kreis schon bemerkt habe ) sieht, dann ist es in Wirklichkeit aber eben keine Gerade mehr.

Ausser eben, es gibt so gesehen in Wirklichkeit gar keine echte Gerade, sondern nur eine so gedachte Gerade und in Wirklichkeit ist jede Gerade nur eine Teilbetrachtung eines unendlichen Kreises...

Aber einen unendlichen Kreis (wie schon bemerkt) gibt es nicht.
Denn dann wäre er kein Kreis. Es gibt zwar theoretisch eine unbegrenzt große Fläche, aber da sie keine Begrenzung hat, hat sie auch keine geometrische Struktur, oder sie könnte im Prinzip jede x-beliebige geometrische Struktur haben.

Wenn wir uns zwei Tangenten denken, die jeweils an dem Kreisumfang anliegen und zu 90° versetzt sind und sie umschließen diesen Kreis zu einem Viertel, also bilden einen Viertelkreis, dann ist es ist völlig gleich, wie groß dieser Kreis nun ist, die Krümmung innerhalb dieses Viertelkreises ist bei allen Kreisen die gleiche.

Die Annäherung einer Tangente zum Kreisumfang (es ist ja wegen der Krümmung kein konstanter Winkel) geht zwar gegen Null, aber das hat mit der Größe eines Kreises nichts zutun, dass ist bei allen Kreisen gleich. Nur die Größenverhältnisse ändern sich. Das Prinzip bleibt immer gleich. Und eben auch die Krümmung im Verhältnis zur Größe ist immer gleich, denn sonst ergäbe es niemals einen Kreis.

Wo aber bitte sollen sich diese beiden um 90° verschobenen am Kreisumfang angelegten Tangenten jemals im Unendlichen berühren? Sie berühren sich aber mathematisch im Unendlichen !

Wenn Tangente A auf der X-Achse liegt, dann liegt deren Unendlichkeit im Bereich X. Wenn Tangente B auf der Y-Achse liegt, dann liegt deren Unendlichkeit im Bereich Y. Solange es sich immer um eine Gerade handelt, wo berühren sie sich denn dann?

Es müssten sich entweder die X-Achse und die Y-Achse entweder irgendwann annähern, oder schneiden, aber dann wären sie keine Geraden mehr. Sonst müsste man die Koordinaten X=0 und Y = 0 ändern, je länger die jeweiligen Strecken sind. Aber dann sind es eben keine Geraden mehr.

Ausser eben, es gibt keine wirkliche Gerade und jede Gerade ist nur ein Ausschnitt eines unendlichen Kreises. Aber einen unendlichen Kreis, habe ich ja schon dargelegt, den gibt es auch nicht. Unlösbar?