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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

46 Beiträge, Schlüsselwörter: Mandelbrotmenge, Apfelmann

Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:04
@Heizenberch

So hatte ich es mir ungefähr vorgestellt. (4D)

JuliaTransformation


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nocheinPoet
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:07
Moin,

Warum die Menge 4D ist?

Weil es vier Achsen gibt, Zr, Zi und Cr und Ci. Zu jedem Punkt in der Mandelbrotebene gibt es eine Juliamenge. So wie eine CT einen 2d Schnitt durch einen 3d Körper macht, mache ich eben einen durch ein 4d Körper. Spannender sind aber nachher 3d Schnitte.

Ich werde die einzelnen Schnitte später mal als Bilder einstellen.

Geplant ist vieles, wird sich zeigen, wie die Resonanz ist, wenn kaum wer mitmacht, wird es eben länger dauern. Am Ende soll es möglich sein, einen Flug durch die Menge zu rendern. Wird also später modular aufgebaut und die einzelnen Module können als jar Fiele eingebunden werden.

Hilft das erst mal?


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tic
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:09
kannste "Mandelbrotmenge" und "Juliamenge" mal genauer definieren @nocheinPoet?


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Heizenberch
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:12
@ThreadPolizist
Naja, das ist ja eine Folge von (pseudo) 3D Bildern. Es sind 3 Raumdimensionen plus eine Zeitdimension. Das ist etwas anderes, als 4 Raumdimensionen.

Man müsste wissen, was @nocheinPoet meint. 3D+t oder 4D.


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Heizenberch
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:12
nocheinPoet schrieb:Spannender sind aber nachher 3d Schnitte.
Genau das meinte ich.


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nocheinPoet
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:13
Wikipedia: Mandelbrot-Menge
Wikipedia: Julia-Menge

Ich mach eben mal Bilder.

Die Animation zeigt die 3d-Schnitte der Juliamenge durch den 4d Raum. Geht aber noch einiges mehr.


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:20
Hier gibts einiges:

http://www.bugman123.com/Hypercomplex/index.html

Wobei das natürlich wieder nur die Mengen selbst sind.

anim


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nocheinPoet
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:50
Hier mal alle Grundschnitte:

CrCi (Mandelbrotebene/Apfelmann)

qb4dfvl6.png 22 20width 22594

CrZr

an9htg5l.png 22 20width 22594

CrZi

3qw4p22v.png 22 20width 22594

CiZr

rq3lqfp4.png 22 20width 22594

CiZi

qgwcaxmy.png 22 20width 22594

ZrZi (Juliamenge)

z4nxowag.png 22 20width 22594

Zum Hintergrund, ein Kopf ist 3d, es gibt somit die Schnittebenen xy, xz, yz. Wobei es für jeden z-Wert ein xy-Schnitt gibt. Bei 4d gibt es die Achsen x, y, z, w und somit die Schnittebenen xy, yz, xw und yz, yw, zw also sechs Ebenen. Hier bestimmen nun die beiden anderen Werte zusätzlich den Schnitt. Die hier gezeigten sechs Schnitte sind schon üblich, wenn auch nicht Standard. Der Apf kann die Schnittebenen aber beliebig rotieren, wäre also ein schiefer Schnitt durch einen Kopf.

Nun gibt es viele Möglichkeiten das zu visualisieren, auch in 3d. Darüber hinaus gibt es aber auch noch eine andere Menge, die mit anderen Zahlen als einfachen komplexen Zahlen arbeitet. Da soll es dann hin gehen und natürlich muss am Ende auch ein Raytrace Algorithmus drin sein.

Mir geht es primär erstmal darum Leute zu finden, die da mit entwickeln wollen. Wir haben neben diesem Programm noch andere Projekte, ein Weltraumspiel wäre da nur eines. Das Programm ist mehr zum Lernen, damit unsere Entwickler lernen sauber in Java zu programmieren. Die Armen müssen also auch JavaDoc nutzen. Wir entwickeln in Eclipse. Wer Lust hat bekommt natürlich Hilfe beim einrichten der IDE.


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

27.12.2012 um 16:56
Was genau plottest du denn da für eine Menge?

alle c in C so dass z' = z²+c konvergiert ist ja eine Menge in einem zum R² homomorphen Raum, also zweidimensional. Was zeichnet ihr in den anderen Ebenen? Oder benutzt ihr nicht komplexe Zahlen?


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 02:18
Für mich sind die Fraktale und deren Formeln,ja nach wie vor ein "Beweis" ( oder eher ein hinweis ) dafür, dass das Universum eben doch gewisse fraktale Strukturen aufweist .
Ansonnsten würden sie nicht funktionieren !

Edit : Endlich mal wieder ein interessantes Thema im Wissenschaftsbereich , nur leider hab ich mich mit der "Herstellung" eines Fraktals,samt Software,leider noch nicht beschäftigt :( .

Hat mal jemand freundlicherweise ein paar Links zu empfehlenswerten Programmen und Homepages ?


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nocheinPoet
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 03:07
@HYPATIA

Hab Deine Antwort übersehen.

z' = z² + c

Ist richtig, ergibt die Mandelbrotebene. Aber Du hast Komplexe Zahlen:

zk = zr + zi und
ck = cr + ci

daraus folgt:

zr' + zi' = (zr + zi)² + cr + ci

(zr + zi)² ist ein Binom:

(a+b)² = 2ab + a² + b² => (zr + zi)² = 2zrzi + zr² + zi²

was zu:

zr' + zi' = 2zrzi + zr² + zi² + cr + ci

führt. Sortieren wir mal mal die real und imaginären Teile:

zr' = zr² + zi² + cr

und

zi' = 2zrzi + ci

Diese Werte werden immer wieder in die Gleichung eingesetzt. zr' ist ein Wert auf der x-Achse und zi' der auf der y-Achse. Nach jeder Iteration wird diese Bedingung geprüft:

Limit > √(zr'² + zi'²)

Es wird also geschaut, ob der Punkt einen bestimmten Abstand zum Nullpunkt überschreitet. Es ist bekannt, das ein Punkt der weiter als 2 von dem Nullpunkt entfernt ist gegen unendlich strebt. Es macht aber Sinn den Punkt ein wenig weiter zu beobachten, gibt „weichere“ Bilder.

Ich vermute mal stark, Dir ist dass alles bekannt, aber den anderen Lesern vermutlich nicht.

Der Algorithmus arbeitet nun so:

1. Es wird eine Fläche von Punkten definiert, zum Beispiel für x = -2 bis 2 und für y = -1.25 bis 1.25
2. Es wird eine Schleife für y laufen gelassen: (for y = -1.25 to 1.25 step [Anzahl der Pixel für y oder Bildhöhe])
3. In dieser y-Schleife läuft für x eine weitere: (for x = -2 to 2 step [Anzahl der Pixel für x oder Bildbreite])
4. Der x-Wert wird für Cr und der y-Wert für Ci genommen und in die Gleichung z' = z² + c eingesetzt.
5. Wird z' nun größer als das Limit wurde ein Punkt der Ebene gefunden der gegen unendlich strebt.
6. Die Schleifen (Iteration) wird dann abgebrochen und die Anzahl der Wiederholungen ergibt einen Farbwert.
7. Ist z' < Limit wird z' = z gesetzt und wieder z' = z² + c gerechnet.
8. Bleibt z' auch nach einer maximal vorgegebenen Anzahl an Wiederholungen < Limit wird auch abgebrochen und der Punkt wird schwarz eingefärbt.
9. Der nächste Punkt der Ebene wird ebenso berechnet.

Die „normale“ Mandelbrotmenge oder der Apfelmann beginnt eben mit z = 0 und das ist dieses Bild:

fssd22ts.png 22 20width 22594

Konkret ist z aber r + zi' wir haben also zwei Parameter die wir auf 0 setzen wenn die Berechnung startet. Und da sind die beiden anderen Achsen um auf einen vierdimensionalen Raum zu kommen. Zr ist nun die z-Achse und Zi die w-Achse.

Nun kann man über die y-Schleife noch eine z-Schleife legen, die dann für Zr auch einen bestimmten Bereich abläuft und so einzelne Schnitte liefert. Achte mal im Bild auf das pink hervorgehobene Eingabefeld (Parameter) const. Zr = 0,5:

32guwk7e.png 22 20width 22594

Man sieht hier also einen Schnitt der „höher“ liegt also auf der z-Achse höher geschnitten. Iteriert man nun für Zr über den Bereich 4 bis -4 bekommt man alle Punkte eines dreidimensionalen Raumes und den Körper darin. Aber wir haben ja auch noch Zi übrig und können auch für diesen Werte vorgeben und somit die w-Schleife laufen lassen, was dann viele dreidimensionale Schnitte oder Körper des vierdimensionalen Raums ergibt, das Bild sieht dem davor nur ähnlich, hier wurde aber nicht Zr sondern Zi auf 0,5 gesetzt:

yuf62chi.png 22 20width 22594

Dir sollte nun klar sein, wie man alle Punkte der vierdimensionalen Struktur im Raum finden und berechnen kann, ob der Punkt gegen unendlich strebt und einen Farbwert bekommt oder schwarz bleibt.

Der Trick ist es nun, die Punkte richtig zu greifen. So kann dann auch nur die ZrZi Ebene visualisiert werden, wobei da dann CrCi die beiden anderen „Konstanten“ sind, die sich für einen einzelnen zweidimensionalen Schnitt natürlich nicht ändern.

Bis hier hat man nur einen Mandelbrotgenerator der neben der Mandelbrotmenge auch die Juliamenge darstellen kann. Die Juliaebene ZrZi hat einen Schnittpunkt in der Mandelbrotebene CrCi. In vier Dimensionen können sich zwei Ebenen in einen einzigen Punkt schneiden in drei Dimensionen können sie das nur in einer Geraden.

Darüber hinaus ist aber der Algorithmus nun so aufgebaut, das er in der Lage ist nicht nur Punkte von zwei Achsen zu finden, sondern auch beliebig schräge Schnitte. Bis das funktioniert hat ist viel Kaffee aus der Maschine gelaufen. Somit ist es vom Algorithmus möglich nicht nur Schnitte über eine Achse zu generieren, wie bei einer CT Aufnahme wo man alle Schnitte durch den Körper rauf und runter „scrollen“ kann, sondern man kann die Schnittebene rotieren. Also von einem vertikalen zu einem horizontalen Schnitt. Somit kann vom Apfelmann zur Juliamenge gedreht werden.

Hoffe es hat mehr Klarheit als Verwirrung gebracht.


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 03:09
@netaa

Solche Programme findet man leicht im Internet, ich habe hier auch eines vorgestellt. Der erste Beitrag eines Thread sollte schon gelesen werden. ;)


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 09:22
@nocheinPoet
viel Erfolg!!!
ach ja - i love Mandelbrot!
wenn ich Dich richtig verstanden habe möchtest Du praktisch in unten folgende Darstellung eintauchen können?!


nur Julia Menge
http://www.google.de/imgres?q=4+dimensional+mandelbrot&hl=de&sa=X&tbo=d&rlz=1I7ADFA_de&biw=1680&bih=865&tbm=isch&tbnid=n...



aus dem 3D Drucker zum angreifen (;
photowithshadow
http://www.treblig.org/3dbrot/mandelbulb.html
AMIDE ist ein kostenloses Tool zum Betrachten, Analysieren volumetrischer, medizinischer
Bildgebungsdatensätze und läuft auf jedem System, das dieses Toolkit unterstützt (Linux, Windows, Mac OS X, etc.).


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 10:08
@therealproton

Danke für Deinen Beitrag. Der Mandelbulb ist mit das was an so schrauben kann. Die Idee die Daten so zu generieren, das sie von AMIDE zu lesen sind ist es wert mit als Ziel definiert zu werden. Man muss die Komponenten schon trennen. Einmal die Berechnung und einmal die visuelle Darstellung der Werte.


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 12:43
@nocheinPoet
nocheinPoet schrieb:Ich vermute mal stark, Dir ist dass alles bekannt, aber den anderen Lesern vermutlich nicht.
Jo, trotzdem danke ;) Hab erst gedacht du hast ein vierdimensionales Äquivalent zum Mandelbrot benutzt (in Quaternionen oder etwas dergleichen), was du da hast ist ja die allgemeine Juliamenge für quadratische Polynome.

In dem Zusammenhang find ich folgendes Bild immer sehr beeindruckend, das quasi eine echte vierdimensionale Karte von dem Fraktal ist =):

JuliaMap 02
JuliaMap 04b


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

28.12.2012 um 14:53
@HYPATIA

Nette Bilder, gute Idee.

"Hab erst gedacht du hast ein vierdimensionales Äquivalent zum Mandelbrot benutzt (in Quaternionen oder etwas dergleichen)"

Ist in Planung, solange gibt es da noch nichts..., war erst in diesem Jahr der Artikel im SdW.


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

04.01.2013 um 01:30
@nocheinPoet
nocheinPoet schrieb:Nun gibt es viele Möglichkeiten das zu visualisieren, auch in 3d. Darüber hinaus gibt es aber auch noch eine andere Menge, die mit anderen Zahlen als einfachen komplexen Zahlen arbeitet. Da soll es dann hin gehen und natürlich muss am Ende auch ein Raytrace Algorithmus drin sein.
soweit ich das sehe müsste doch ein Raytrace-Algorithmus der einen Lichtstrahlen berechnet, der auf einem Fraktal reflektiert wird, speziell im falle von mehrfach-Reflektionen prinzipiell unendlich komplex sein ( der algorithmus weiß ja im Grunde nicht wann genau er terminiert oder ob der Lichtstrahl je in Richtung kamera zurückgeworfen wird) oder irgendwo eine Grenze in der Berechnungstiefe setzen. Wie willst du das realisieren?


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nocheinPoet
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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

04.01.2013 um 01:54
Gibt es ja alles schon, ist recht einfach, Du berechnest ja nicht ein unendlich feines Bild. Stell es Dir so vor, ich habe einen "Datenbank" die für einen x, y, z Punkt einen Farbwert speichert. Ich sage zum ersten Teil des Programms, berechne alle Farbwerte für x von - 200 bis 200 und für y und z auch. gibt einen Haufen Zahlen, ist aber zu machen. bei 1000x1000x1000 Punkten im Raum sind es dann 1.000.000.000 Farbwerte. Kann auch Transparenz mit bei sein. Den Tracer lass ich dann auf dieses Punkte Array los. Gibt schon mit Poyray tolle Bilder, ich suche mal, auch mit buntem Glas habe ich schon Fraktale gesehen.

Gruß

neP


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Vierdimensionale Mandelbrotmenge

04.01.2013 um 02:04
@interpreter

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