Zwischen null und eins liegt die Unendlichkeit...

psykodellic schrieb:Dann musst mir aber idealerweise sagen wo du die Lampe/Birne her hast. So eine hol ich mir dann auch ;)

Ach, das ist bloß ein billiges Chinaplagiat, aber hält wie sau. ^^

@Gamma7

Gamma7 schrieb:Aber bitte immer komplett zitieren und nicht nur einen Teil,
das verfälscht nämlich die Aussage !

Naja, war ja keine Erwiderung auf deine Aussage, sondern ein Überleiten zu was anderem. Aber das hast du ja schon gemerkt. Ich versuche nur immer so kurz wie möglich zu zitieren, da vielen Leuten zu viel Text ein Greuel ist :-)

@Heizenberch

Heizenberch schrieb:Die Anzahl der sogenannten transzendentalen Zahlen ist jedoch überabzählbar und damit eine größere Menge, als die der anderen Zahlen.

Darauf wollte ich hinaus...

Zäld

Andere Frage: Was unendlicher, die Menge der Brüche oder die Menge der Reellen Zahlen zwischen 0 und 1?

McMurdo schrieb:Andere Frage: Was unendlicher, die Menge der Brüche oder die Menge der Reellen Zahlen zwischen 0 und 1?

Jedem Bruch (also jeder rationalen Zahl) kann man eine natürliche Zahl zuordnen. Man kann die Brüche also durchzählen oder duchnummerieren.

Bei reellen Zahlen (also besser gesagt den irrationalen) reichen die natürlichen Zahlen nicht aus, um jeder Zahl eine Nummer zuzuordnen.

Deshalb ist die Menge der Brüche abzählbar unendlich, die der reellen Zahlen überabzählbar unendlich groß. Mit anderen Worten kommen auf jeden Bruch unendlich viele Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen (wenn ich diesen Schluß nicht falsch gezogen habe).

Und deshalb ist es auch nicht verwunderlich, daß sich die meisten mathematischen Konstanten nicht als Bruch darstellen lassen, wie z.B. Wurzel aus 2. Es gibt einfach unendlich mal mehr Nicht-Brüche als Brüche..

Zäld

@McMurdo

McMurdo schrieb:Andere Frage: Was unendlicher, die Menge der Brüche oder die Menge der Reellen Zahlen zwischen 0 und 1?

Das hängt davon ab wa genau man mit "unendlicher" meint?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Grösse einer Menge zu messen

Zum einen gibt es die Kardinalität...
Das ist die Frage wieviele Zahlen sind das?

Die Brüche kann man durchzählen...
Die Reellenzahlen zwischen 0 und 1 nicht.
Es gibt also mehr reelle zahlen zwischen 0 und 1 als Brüche

Das zweite der Durchmesser
Was ist das Volumen der kleinste Kugel so dass alles von der Menge reinpasst
Im fall der Reelen zahlenen zwischen NUll und 1 ist das 1
Im fall der Brüche ist es unendlich

Schliesslich gibt es das Lebesque mass
Das ist die Frage wieviel "Volumen" nimmt die Menge ein.
Im Fall der reellen zahlen zwischen null und 1 ist das wieder 1
Im fall der Brüche ist das interessanterweise 0....

Also such dir was aus...

Wenn du wills kann ich dir die Aussagen oben auch beweisen.

@JPhys2
Den ersten Fall kann ich mir vorstellen und auch nachvollziehen. Bei den beiden anderen Fällen fehlt mir gerade die Vorstellung was damit gemeint ist. Konkret, was ist mit Volumen gemeint?

@McMurdo

McMurdo schrieb: Konkret, was ist mit Volumen gemeint?

Nun ja das ist Kompliziert...

Also zunächst die Sache mit den Kugeln...

Wenn ich Kugel sage meine ich dass man einen Abstandsbegriff hat
In diesem Fall ist der Abstand zwischen zwei Zahlen der Betrag der Differenz

Und eine Kugel ist mit mittelpunkt x und radius r ist dann alles was einen kleineren Abstand von x hat als r

Die Kugel um 1/2 mit radius 1/2 sind zum Beispiel die reelen Zahlen zwischen 0 und 1...

Ich gebe zu für normale Zahlen wirkt das erst mal sinnlos kompliziert

aber für zwei dimensionen sind die Kugeln dann Kreise..
Für drei dimensionen sind Kugeln dann richtige Kugeln wie man sihc das so vorstellt
Und für mehr dimensionen.... kann man sie sich nur noch schwer vorstellen... aber auf die gleiche weise immer noch beschreiben...

So und wenn du diesen Kugel ein Volumen zuweist...
In unserem Fall hat die Kugel mit Radius r das Volumen 2 r
Dann kann man anderen Mengen ein Volumen zuweisen
Und zwar die Summe der Volumen der Kugeln das man mindestens braucht um die Menge zu überdecken...

Und jetzt kommt die Wahnwitzige Konstruktion

Wie gesagt ich kann die Brüche durchzählen...
den ersten Burch umgebe ich mit einer Kugel vom Radius epsilon(eine kleine zahl) durch 2
den zweiten Bruch umgebe ich mit einer Kugel vom Radius Epsilon durch 4
den dritten Bruch umgebe ich mit einer Kugel vom Radius Epsilon durch 8
usw
Wenn ich damit weitermache sind definitiv alle Brüche in einer dieser Kugel drinnen
Aber alle dieser Kugel haben zusammen ein Volumen kleiner als 2 mal meine kleine Zahl Epsilon

Da ich epsilon beliebig klein machen kann und das Volumen der Brüche kleiner sein muss.
Kann das Volumen der Brüche nur Null sein...

@JPhys2
klingt sehr theoretisch. Aber ich kann mir was drunter vorstellen. :-)

subhuman schrieb:Also könnte man sagen, zwischen null und eins (und natürlich auch anderen Zahlen) liegt die Unendlichkeit?

Nein.

subhuman schrieb:Also könnte man sagen, zwischen null und eins (und natürlich auch anderen Zahlen) liegt die Unendlichkeit?

Ich behaupte Ja.

@JPhys2

McMurdo schrieb:klingt sehr theoretisch. Aber ich kann mir was drunter vorstellen. :-)

Mir schwebte aber der erste Fall vor. Das ist ja das was jeder Normalo sich so darunter vorstellt. ^^

intruder schrieb:Nein.

Radix schrieb:Ich behaupte Ja.

Wenn man sagt es lassen sich zwischen 0 und 1 unendlich viele Brüche und reelle Zahlen auf dem Weg dorthin finden, dann stimmt es wohl.

McMurdo schrieb:Wenn man sagt es lassen sich zwischen 0 und 1 unendlich viele Brüche und reelle Zahlen auf dem Weg dorthin finden, dann stimmt es wohl.

10/3=3,333´

3,333´*3=9,999´

hat wohl auch irgendwas mit der Unendlichkeit zu tun.

Nimmt man die Strecke von 1cm so sind auf dieser genauso viele Punkte wie auf einer
Strecke von 10cm, kann man sogar visuell Beweisen.

subhuman schrieb:9,999´

Die Zahl 9,999´ ist identisch mit der Zahl 10. Nur so am Rande..

Zäld

@zaeld

Mal 'ne Frage:

Wenn 9,999´=10 so müsste doch konsequenterweise 3,333´=3,4
oder?

Sorry, glaub ich hab Blödsinn gedacht.

Radix schrieb:10/3=3,333´

3,333´*3=9,999´

Deshalb schreibt man ja auch nur eine 3 nach dem Komma und macht ein Strichlein
darüber - heißt dann 3,3 Periode.
Drehst du die Rechnung mit Periodenstrich dann wieder um dann kommt wieder 10 raus !
;)

Radix schrieb:Wenn 9,999´=10 so müsste doch konsequenterweise 3,333´=3,4
oder?

Nee, du hast hier ja gerundet !


9,999 ergibt nach Rundung 10.

3,333 ergibt nach Rundung 3 oder von mir aus 3,3 (wenn man auf eine Stelle
hinter dem Komma rundet).

@Gamma7

Ja, ich sagte doch schon:

Radix schrieb:Sorry, glaub ich hab Blödsinn gedacht.

Aber die Periode hat doch trotzdem etwas mit der Unendlichkeit zu tun?

Radix schrieb:Wenn 9,999´=10 so müsste doch konsequenterweise 3,333´=3,4
oder?

Nö:

9 * 3,3´ = (10 - 1) * 3,3´ = 10 * 3,3´ - 3,3´ = 33,3´ - 3,3´ = 30
9 * 3,4 = (10 - 1) * 3,4 = 10 * 3,4 - 3,4 = 30,6

Die beiden Werte (mit 9 mal genommen) sind unterschiedlich.

Dagegen im anderen Fall:

9 * 9,9´ = (10 - 1) * 9,9´ = 10 * 9,9´ - 9,9´ = 99,9´ - 9,9´ = 90
9 * 10 = 90

Die beiden Werte sind gleich.

Zäld

Radix schrieb:Aber die Periode hat doch trotzdem etwas mit der Unendlichkeit zu tun?

Richtig.
Die 3 nach dem Komma kommt unendlich oft.
Es ist wieder eine Näherung im Prinzip (Grenzwertig).


Du siehst, Grenzwertigkeiten und Unendlichkeit liegen in der Mathematik sehr dicht beieinander.
Man kennt das in direktester Form wenn man den sogennanten Limes bestimmter Funktion berechnet.

Gamma7 schrieb:9,999 ergibt nach Rundung 10.

Wenn du mit 9,999 eigentlich 9,9periode meinst, dann muß man nicht runden, sondern dieser Wert ist identisch mit 10. Ist nur eine andere Schreibweise.

Zäld