Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

Es gibt die Behauptung, das die Menschheit ein schlechtes Gefühl besitzt wenn es darum geht Wahrschenilichkeiten einzuschätzen. Das könnte zum Beipiel ein Grund sein warum so viele Leute Lotto spielen. Generell denkt man aber von sich selbst man sei dagegen gefeit, und man schafft es schon intuitiv Wahrscheinlichkeiten richtig einzuschätzen.

Das diese Annahme aber tatsächlich recht irreführend sein kann will ich hier an verschiedenen Beipielen diskutieren und alle dazu einladen die etwas Lust darauf haben. Das Ziel soll sein verschiedene Wahrscheinlichkeits"rätsel" zu diskutieren und auch im Verlauf mathematisch zu erläutern.

Hauptregel: Immer nur ein Problem soll zeitgleich diskutiert werden. Daher werde ich mit dem Ersten anfangen:

Das Ziegenproblem (nein nicht sofort danach googlen :-)):

Man befindet sich in einer Spielshow bei der es einen Moderator und einen Spieler gibt. Es gibt zwei Nieten (Ziegen) und eine Goldkoffer. Diese drei Sachen sind verborgen hinter drei Türen A, B und C. Nun zum Spiel:

Der Moderator weiß hinter welcher Türe sich welche Gegenstände befinden. Der Spieler kann sich nun entscheiden welche Türe er öffen würde. So sagt er z.B Türe B. Der MOderator öffnet nun eine der beiden anderen Türen A oder C (eine hinter der eine Ziege ist), nehmen wir z.B. an TÜre C. Der SpIeler weiß nun Türe C ist auf und das Gold muss hinter seiner Türe B oder A sein. Der Moderator fragt nun ob der SPieler wechseln will also von Türe B auf A.

Was ist die bessere Entscheidung, wechseln (Türe A) oder bleiben (Türe B)? Oder ist die Wahrscheinlichkeit gleich hoch für einen Gewinn und es ist egal ob wechseln oder bleiben?

Die Chance steht 50:50, da würde ich einfach bei Türe B bleiben. Ich denke, dass man bei einer 50:50-Chance bei seinem ursprünglichen Bauchgefühl bleiben sollte. Denn dieses hat eben oft Recht. Wir lassen uns in vielen Fällen einfach gerne mal durch einfache Fragen verunsichern, was dann manchmal zu Fehlentscheidungen führt.

Ich würd das glatt verhauen. Bei 50/50 lieg ich zu 99% daneben. Gibt ja den Spruch, dass man immer an seiner ersten Entscheidung festhalten soll. Ist glaub ich was dran. Wenn mein Bauch mir sagt nimm A und ich fang danach an zu grübeln und nehm dann doch B hab ich schon verkackt!

Ist bei mir genauso. Die meisten nachjustierten Entscheidungen in meinem Leben waren im Ergebnis verkehrt. Dafür gibt es sogar wissenschaftliche Erklärungen. Das "Bauchhirn" speichert alles, was wir je gelesen, gesehen und erlebt haben, auch unterbewusst, worauf unsere Großhirnrinde gar keinen Zugriff hat. Unser "Bauchhirn" kann aber auf alles zurückgreifen, daher sind diese Entscheidungen statistisch gesehen signifikant häufiger richtig. Darüber gibt es ganz interessante Studien.

mojorisin schrieb:Was ist die bessere Entscheidung

Hängt zum einen davon ab, ob ich das Auto favorisiere, oder die Ziege, es soll ja Staatsoberhäupter geben, wo diese Frage noch nicht eindeutig geklärt ist. :D

Ansonsten lässt sich das mit Gewissheit erst nach dem öffnen der zweiten Tür sagen, vollkommen unabhängig von jeder Wahrscheinlichkeit. Wenn das Auto tatsächlich hinter Tor B steht, ist Tor B auch die bessere Entscheidung, selbst bei einer fiktiven Wahrscheinlichkeit von 90% für Tor A (vor dem öffnen des zweiten Tores).

Bei solchen Glücksspielen trifft das auf jeden Fall zu. Ich habe mir einfach bei 50:50 - Entscheidungen zur Gewohnheit gemacht, bei meinem ersten Gedanken zu bleiben, auch wenn die andere Möglichkeit ebenso richtig sein kann. Ich glaube, ich würde mich mehr darüber ärgern, wenn ich gewechselt hätte und damit falsch liegen würde, als umgekehrt.

Wenn ich es recht erinnere ist es in diesem Fall sinnvoll zu wechseln, die Begründung dafür habe ich aber derzeit nicht mehr im Kopf :o(

SiGi65 schrieb: Ich habe mir einfach bei 50:50 - Entscheidungen zur Gewohnheit gemach

Ich habe mal in der 9.Klasse einen wunderschönen Aufsatz geschrieben und war mir sicher ne glatte 1 zu bekommen. Leider hatte ich das Thema verfehlt und bin mit einer 5 nach Hause. Dieses Ereignis hat mich so geprägt, dass ich auch heute noch größten wert darauf lege, die Fragestellung exakt zu erfassen, und die Frage hier lautete nun mal "Was ist die bessere Entscheidung?", und die "beste" Entscheidung ist nun mal die "richtige" Entscheidung, und die hat nichts mit irgendeiner Vorab-Wahrscheinlichkeit zu tun, da sie rein ergebnisabhängig ist.

Ist beim Lotto auch nicht anders, wenn ich einen Sechser habe, war die Entscheidung zu spielen definitiv die beste, ungeachtet der geringen Wahrscheinlichkeit tatsächlich zu gewinnen.

Manchmal ist eben eine 5 die bessere Note als die 1, auch wenn ich wegen meiner "Macke" häufig nicht verstanden werde :D

Ich hab die Frage schon verstanden. Da man allerdings nicht weiß, was in einem solchen Fall die bessere Entscheidung ist, da dieses Rätsel erst nach der Entscheidung gelöst wird, ist es auf keinen Fall BEWUSST möglich, die bessere Entscheidung zu treffen. Und aus diesem Grund entscheide ich mich in einem solchen Fall eben für meinen ersten Gedanken. Ehe ich mich in Gedankenkreisen bewege, die mich eigentlich nur verunsichern würden, halte ich das für die für MICH beste Lösung. Es gibt hier meines Erachtens nicht die "bessere Lösung", wenn das Ergebnis nur etwas mit Glück zu tun hat. So kann jeder nur für sich eine Lösung finden. Man weiß erst hinterher, ob diese Entscheidung die Beste war.

Man sollte sich umentscheiden, es kommt ja eine neue Information dazu.
Das Ziegenproblem wird deutlicher wenn man die Anzahl der Möglichkeiten vergrössert.
Angenommen es geht um einen Umschlag mit einem Scheck mit einer Millionen Euro den ein Besucher der Vollbesetzten Allianzarena in der Tasche hat.
Du stehst im Mittelkreis und deutest auf eine Dame im Block B. es setzen sich jetzt 67998 Zuschauer und nur die Dame in Block B und ein Herr im F- Block stehen noch. Änderst Du Deine Entscheidung oder bleibst Du stur? :-)

Man kann das übrigens auch schön zu zweit zu Hause mit drei Tassen und einer Erbse spielen, nach spätestens hundert mal wird die Tendenz deutlich, oder man googelt Ziegenproblem und Simulator?

mojorisin schrieb:Das Ziegenproblem (nein nicht sofort danach googlen :-)):

Ich kenne das auch ohne zu googlen, weil es eben ein typisches Beispielt ist, das auch Mathematiker zu falschen Annahmen bewogen hat und zu ziemlich kontroversen Auseinandersetzungen geführt hat.
Dabei ist es eigentlich mathematisch leicht lösbar, aber die Lösung widerspricht unserer Intuition .

SiGi65 schrieb:Die meisten nachjustierten Entscheidungen in meinem Leben waren im Ergebnis verkehrt.

Das weißt Du nicht. Das nimmst Du nur intuitiv an. Aber Du hast sicher keine Strichliste geführt.

SiGi65 schrieb:daher sind diese Entscheidungen statistisch gesehen signifikant häufiger richtig.

Das kann man so nicht sagen.
Es gibt Entscheidungen, bei denen ein intuitives Herangehen zu besseren oder schnelleren Ergebnissen führt.
Aber es gibt Entscheidungen, bei denen man intuitiv fast sicher auf die Nase fällt. Beispiele sind da Glücksspiel, Aktien, Ernährung, Politik.
Und vor allem ist man leicht manipulierbar, wenn man seiner Intuition blind vertraut. Man ist da anfällig für Trigger, die man als jemand, der Dir schaden möchte, leicht und zuverlässig setzen kann. Da gibt es eine Vielzahl von Studien, wie unsere Intuition unter geeigneten Rahmenbedingungen zuverlässig versagt.

Jemand, der bei Finanzangelegenheiten auf sein Bauchgefühl hört, ist das typische leichte Opfer, bei dem man hinterher fragt: "wie konnte der nur so blöd sein".

towel_42 schrieb:Du stehst im Mittelkreis und deutest auf eine Dame im Block B. es setzen sich jetzt 67998 Zuschauer und nur die Dame in Block B und ein Herr im F- Block stehen noch. Änderst Du Deine Entscheidung oder bleibst Du stur? :-)

Ja, das veranschaulicht es etwas besser. Aber auch hier werden die meisten den Standpunkt vertreten, es wäre eine 50:50-Sache.

SiGi65 schrieb:Ich glaube, ich würde mich mehr darüber ärgern, wenn ich gewechselt hätte und damit falsch liegen würde, als umgekehrt.

Ja genau.

Deswegen merkst Du Dir die Fälle, in denen Du gewechselt und dann verloren hast, viel besser, als die Fälle, in denen Du nicht gewechselt und verloren hast.
Ein typischer Fall einer verzerrten Erinnerung und damit auch die Erklärung, warum Du der Ansicht bist, dass solche Entscheidungen die schlechteren sind. Wenn Du darüber nachdenkst, fallen die vor allem solche Beispiele ein, das führt dazu, dass Du bei der Einschätzung scheitern musst.

@Peter0167

Peter0167 schrieb:Wenn das Auto tatsächlich hinter Tor B steht, ist Tor B auch die bessere Entscheidung, selbst bei einer fiktiven Wahrscheinlichkeit von 90% für Tor A (vor dem öffnen des zweiten Tores).

Ja klar hinterher ist man immer schlauer :-)

@all

Die Aussage 50:50 ist aber tasächlich falsch. @towel_42 hat eine Erklärung dazu gegeben die ich in der Art auch schon mal so gelesen habe.

Des Rätsels Lösung ist das man tasächlich wechseln sollte denn die Chance auf den Gewinn bei einem Wechsle sind 66 % im Vergleich zu 33 % beim bleiben. Die ist allerdings arg unintuitiv.

Man kann es sich aber auch was anders fragen: Bei 3 Toren hat man bei der ersten Auswahl ja drei Möglichkeiten, also 1/3. Nehmen wir an wir nehmen Tor B dann ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 das Gold dahinter. Wenn jemand nun Verfechter der 50:50 Antwort ist, muss er sich die Frage stellen: Wieso sollte sich die Cance für unsere zuerst gewählte Türe von 1/3 auf 1/2 erhöhen, nur weil jemand eine andere Türe öffnet?

Eine vielleicht besser Antwort von Daniel Jung:

Das "Ziegenproblem", Interessantes aus der Mathematik (Wahrscheinlichkeit) | Mathe by Daniel Jung

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mojorisin schrieb:denn die Chance auf den Gewinn bei einem Wechsle sind 66 % im Vergleich zu 33 % beim bleiben.

Ich bin der Meinung, das kann man so nicht begründen, bzw. kann man das schon, es ist aber nicht korrekt.

Beim ersten Tip hatte man noch eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf einen Gewinn, aber nachdem ein Tor geöffnet wurde, ändern sich mit der Wechselmöglichkeit die Bedingungen grundlegend. Die 1/3 Wahrscheinlichkeit ist obsolet, ab diesem Punk stehen die Chancen 50:50, wenn ich jetzt die 1/3 in meine Rechnung einbringe, erhalte ich falsche Ergebnisse. Und genau das tut der nette Herr aus dem Video, er rechnet mit den 3 (drei!) Gewinnmöglichkeiten, die vor der Wechselmöglichkeit bestanden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die ein Wechsel bringen würde, und das ist eben nicht korrekt.

Jede "Spielrunde" muss in Bezug auf die Gewinnwahrscheinlichkeit zwingend für sich betrachtet werden, tut man dies nicht, kommt man zu unsinnigen Ergebnissen.

Das Problem ist Punkt 3!

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Wenn ich die Möglichkeit zum Wechsel habe, ist Tor 2 ja bereits geöffnet, und das Auto kann demnach nicht in Tor 2 stehen, trotzdem fügt er diese Möglichkeit mit ein, und deshalb ist das Ergebnis auch falsch.

Ich denke Du übersiehst, dass ja durch den Ausschluss einer Möglichkeit ja eine Aussage über die beiden anderen Wahrscheinlichkeiten getroffen wird, Am Fussballstadionbeispiel sieht man das ganz deutlich, finde ich, oder würdest Du da auch von einer 50:50 Chance ausgehen?

Peter0167 schrieb:Wenn ich die Möglichkeit zum Wechsel habe, ist Tor 2 ja bereits geöffnet, und das Auto kann demnach nicht in Tor 2 stehen, trotzdem fügt er diese Möglichkeit mit ein, und deshalb ist das Ergebnis auch falsch.

Yepp aber bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung des gesammten Spieles musst Du eben die Möglichkeit, dass die Niete auch hinter Tor drei hätte sein können mit einberechnen.

Wie oben schon gesagt, gesagt probier es einfach mal aus.

@towel_42

Dein Beispiel mit dem Stadion ist damit nicht vergleichbar (m.M.n.)

Die Frage war, ob ein Wechsel die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöht, also darf ich auch nur die Bedingungen in Betracht ziehen, die bei der Wechselmöglichkeit vorliegen, und das geöffnete Tor 2 ist für das Auto zu dieser Zeit keine Option mehr.

Peter0167 schrieb:Dein Beispiel mit dem Stadion ist damit nicht vergleichbar (m.M.n.)

Ab wie vielen Toren (Zuschauern) wäre es denn Deiner Meinung nach vergleichbar?

https://www.mat.tuhh.de/veranstaltungen/nachtdeswissens/ (Archiv-Version vom 31.07.2021)