Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

@Peter0167

Peter0167 schrieb:Die 1/3 Wahrscheinlichkeit ist obsolet, ab diesem Punk stehen die Chancen 50:50, wenn ich jetzt die 1/3 in meine Rechnung einbringe, erhalte ich falsche Ergebnisse.

Nein, das ist sie tatsächlich nicht, denn ob ein anderes Tor geöffnet wird oder nicht, vergrößert ja nicht die Chance das in deinem von Anfang an gezogenen Tor plötzlich eine 50/50 Chance steht. Ich will das am von @towel_42 gebrachten Beipiel präzisieren.

Was wichtig dabei ist, und vorausgesetzt wird ist das der Moderator natürlich nicht das Tor öffnet, in dem das Gold ist, denn dann wäre das Spiel ja vorbei. Aber mann könnte das Spiel auch mit 10 Toren spielen,dann wird es klarer.

Dabei entscheidet sich der Spieler für ein Tor z.B. Tor F. Dann öffnet der Moderator 8 anderen Tore in denen eine NIete steckt z.B alle außer Tor B.

Nun hat man auch zwei Tore zur Auswahl F und B. Wäre es hier logisch zu wechseln?

@towel_42

Ich habe das ehrlich gesagt noch nicht einmal vollständig verstanden. Hier noch mal dein Text...

Angenommen es geht um einen Umschlag mit einem Scheck mit einer Millionen Euro den ein Besucher der Vollbesetzten Allianzarena in der Tasche hat.
Du stehst im Mittelkreis und deutest auf eine Dame im Block B. es setzen sich jetzt 67998 Zuschauer und nur die Dame in Block B und ein Herr im F- Block stehen noch. Änderst Du Deine Entscheidung oder bleibst Du stur?

Worum geht es da genau?

@Peter0167
Setze für "Zuschauer" ,Ziegen, und für "Zuschauer mit Scheck", Auto, ein oder stelle Dir einfach 68000 Tore vor, von denen 67998 mit Ziegen nach Deiner ersten Wahl geöffnet werden.

mojorisin schrieb:Nun hat man auch zwei Tore zur Auswahl F und B. Wäre es hier logisch zu wechseln?

Nein, weil alles vor dem Wechselangebot keinerlei Bedeutung für die Entscheidung mehr hat, da mit dem Öffnen der 8 Tore die Möglichkeiten auf 2 reduziert wurden. Es ist ein gänzlich neues Spiel, der Moderator könnte auch anstatt den Begriff "Wechsel" zu verwenden, direkt fragen, ob man sich für Tor F oder B entscheidet (also 50:50).

Peter0167 schrieb:Nein, weil alles vor dem Wechselangebot keinerlei Bedeutung für die Entscheidung mehr hat, da mit dem Öffnen der 8 Tore die Möglichkeiten auf 2 reduziert wurden. Es ist ein gänzlich neues Spiel, der Moderator könnte auch anstatt den Begriff "Wechsel" zu verwenden, direkt fragen, ob man sich für Tor F oder B entscheidet (also 50:50).

Das stimmt so eben nicht, weil Du damit einen Teil der Spielregeln und der Randbedingungen komplett ausblendest, es geht auch eigentlich nicht darum wo das Auto ist, sondern darum wie die Wahrscheinlichkeit erhöht werden kann um das das Auto zu finden.

Nochmal, probier es einfach aus.

towel_42 schrieb:oder stelle Dir einfach 68000 Tore vor, von denen 67998 mit Ziegen nach Deiner ersten Wahl geöffnet werden.

Es bringt doch nichts, die Sache unnötig zu verkomplizieren, es ist immer besser, ein Problem auf das Wesentliche zu reduzieren.

Wenn es darum geht, ob ein Wechsel die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöht, dann ist die Antwort ganz klar nein, weil man nun mal die Bedingungen betrachten muss, die vorliegen, wenn der Wechsel möglich wird, und nicht vorher.

Peter0167 schrieb:Es bringt doch nichts, die Sache unnötig zu verkomplizieren, es ist immer besser, ein Problem auf das Wesentliche zu reduzieren.

Das passiert ja genau mit meinem Beispiel, das wesentliche nämlich, dass durch die Öffnung eines Tores ein Hinweis auf die Wahrscheinlichkeiten der verbliebenen Tore gegeben wird wird verdeutlicht. Würdest Du denn im Stadion bei der ersten Wahl bleiben oder wechseln?

Peter0167 schrieb: Es ist ein gänzlich neues Spiel,

Nein. Das ist die Fehlannahme. IN dem speziellen Fall gibt es zwei Fragen:

Warum ist Tor F im Spiel: Weil der SPieler von 10 Möglichkeiten dieses Tor gezogen hat.
Warum ist Tor B im SPiel: Weil der Moderator von 9 Möglichkeiten 8 schließen musste.

Daher haben F unnd B nicht dieselben Wahrscheinlichkeiten.

Oder um es anders auszudrücken: Wenn du ein Tor aus zehn aussuchen kannst, hat es die Wahrschenlichkeit 1/10 auf den Gewinn. DIeses zuerst gewählte Tor wird nicht ein höhere Wahrschenlichkeit bekommen das RIchtige zu sein, nur weil jemand alle falschen Möglichkeiten im Nachiinhein wegnimmt.

Es ist auch hier nochmal schön erklärt:

https://www.zeit.de/2004/48/N-Ziegenproblem

Als Schlüssel erwies es sich, auch die Perspektive des Showmasters einzunehmen statt nur die des Kandidaten. Der zweite Kunstgriff besteht darin, nicht über abstrakte Wahrscheinlichkeiten zu räsonieren, sondern konkrete Fälle durchzuspielen. Es gibt ja nur drei Türen, und hinter einer muss das Auto stehen. Die drei – gleich wahrscheinlichen – Möglichkeiten lauten:

Erstens: Das Auto steht hinter Tür eins. In unserem Beispiel hat der Kandidat diese Tür gewählt, es wäre also sinnvoll, bei dieser Tür zu bleiben, was immer der Showmaster tut.

Zweitens: Das Auto steht hinter Tür drei. Dann muss der Showmaster natürlich Tür zwei öffnen. Denn er darf nicht das Auto hinter Tür drei zeigen, und er darf auch nicht enthüllen, ob der Kandidat mit Tür eins richtig liegt. In diesem Fall ist also das Wechseln zur verbleibenden Tür drei vorteilhaft.

Drittens: Das Auto steht hinter Tür zwei. Der Fall ist ein Spiegelbild des vorigen, nur dass der Showmaster diesmal Tür drei öffnet. Wieder verhilft Wechseln zur verbleibenden Tür zum Gewinn.

Fazit: Wer wechselt, gewinnt in zwei von drei Fällen, also empfiehlt sich Wechseln.

Peter0167 schrieb:Es bringt doch nichts, die Sache unnötig zu verkomplizieren, es ist immer besser, ein Problem auf das Wesentliche zu reduzieren.

Dir ist heir Deine Intuition im Weg, man erkennt es an der Herleitung, dass nach dem Öffnen eines Tores nur noch die beiden verbleibenden zu berücksichtigen wären.
Das ist aber statistisch falsch, auch wenn es ungemein logisch erscheint.
Aber da gab es auch seitens gestandener Mathematiker schwere Kämpfe.

Im Grunde kannst Du es einfach ausprobieren. Dann siehst Du, dass Du beim Wechsel öfter gewinnst, als beim Bleiben. Dann erscheinen auch die Erklärungen, warum das auch mathematisch richtig ist, nicht mehr so arg entgegen der Intuition.

Ziegenproblem / Monty-Hall-Problem

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Nochmal ein Erklärvideo.

towel_42 schrieb:Drittens: Das Auto steht hinter Tür zwei.

Genau das ist der Fehler! Das Tor 2 ist bereits offen und mit einer Ziege bestückt!

Mal ne andere Frage: Wieso wird in dem Video noch von 3 Möglichkeiten gesprochen, wo das Auto stehen könnte ( siehe Screenshot im Beitrag Beitrag von Peter0167 (Seite 1) ), aber nur noch eine Wechselmöglichkeit angeboten?

Wenn der Moderator alle drei Möglichkeiten berücksichtigt, dann muss ich auch beide Wechselmöglichkeiten einbeziehen, und zwar zu Tor 2 und Tor 3, egal ob Tor 2 bereits geöffnet wurde.

Letztlich will ich hier aber keinen Streit heraufbeschwören, wohin das führt sieht man am Beispiel von @Z.

Vielleicht liegt es auch nur an der öberflächlichen Formulierung der Frage (sorry @mojorisin :D).

Zu Beginn war die Gewinnchance zweifelsfrei 1/3, ich glaube, da besteht Einigkeit. Nachdem der Mod ein Tor geöffnet hat, wurde diese Wahrscheinlichkeit auf 1/2 erhöht, da ich nur noch die Wahl habe, zwischen 2 Toren zu wählen. Es ist vollkommen Banane, wieviel Tore zuvor existierten, ob 3, 10 oder 10.000. Die Möglichkeit, die ursprüngliche Entscheidung zu ändern kommt einer neuen Entscheidung gleich! Und egal welches der beiden Tore ich wähle, die Chance steht 50:50

kleinundgrün schrieb:Dir ist heir Deine Intuition im Weg, man erkennt es an der Herleitung, dass nach dem Öffnen eines Tores nur noch die beiden verbleibenden zu berücksichtigen wären.Das ist aber statistisch falsch, auch wenn es ungemein logisch erscheint.

Genau das ist das Problem mit Statistiken, daß sie regelmäßig mit der Realität im Clinch liegen. Rein statistisch gesehen gibt es bei keinem einzigen Flugzeugabsturz die Möglichkeit, daß wirklich alle Passagiere dabei sterben - weil statistisch berechnet auf alle bekannten Flugzeugunfälle immer genug Passagiere überlebt haben, daß eine 100 % -Wahrscheinlichkeit eines Totalverlustes niemals eintreten kann.

Die Statistik mag in dem Ziegenbeispiel fröhlich weiter mit ihren Dritteln rechnen. Die Realität sagt, ab Eliminierung eines der drei Tore hat sich die Wahrscheinlichkeit auf Fifty-Fifty verändert. Also nur Wechseln oder bleiben, und die Gewinnchance ist auf beiden Seiten gleich hoch.

WENN NICHT ....

in Gewinnshows wird nicht selten mit psychologischen Tricks gearbeitet. Die Menschen subtil, unbewußt, darauf konditionieren, sich bei Entscheidungen z. B. für eine bestimmte Seite, einen Standort, zu entscheiden, das passiert ganz hinterhältig, etwa durch ungleiche Ausleuchtung, unterschiedliches Farbdekor, "subtile" Handbewegungen des Moderators oder ähnliche Tricks, die nur darauf trainierte Psychologen, Illusionisten und auch Trickbetrüger beherrschen und erkennen.

Sprich, in dem Beispiel sollte also eine subtile Beeinflussung des/der Kandidaten von vornherein ausgeschlossen sein. Nur eine reine, von außen unbeeinflußte "Bauchentscheidung". Dann bleibt es aber immer noch eine Fifty-Fifty-Entscheidung, bleiben oder wechseln.

Und daran ändern dann alle statistischen Winkelzüge nichts mehr.

Peter0167 schrieb:Letztlich will ich hier aber keinen Streit heraufbeschwören, wohin das führt sieht man am Beispiel von Z.

Musst Du ja nicht, es reicht ja schon wenn Du das Spiel, mit allen seinen Regeln, bzw Randbedingungen durchspielst bzw. eine der Simulationen benutzt und zu erklären versucht warum nie eine Verteilung von 50:50 dabei rauskommt. Sondern, angenähert, und von der Zahl der Durchgänge abhängig immer 66,6:33:3. Das Ergebnis ist eindeutig somit Deine These falsch, da gibt es keinen Streitgrund mehr.


Hier nochmal ganz ausführlich:

Das Ziegenproblem (Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem)

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Rao schrieb:Die Statistik mag in dem Ziegenbeispiel fröhlich weiter mit ihren Dritteln rechnen. Die Realität sagt, ab Eliminierung eines der drei Tore hat sich die Wahrscheinlichkeit auf Fifty-Fifty verändert.

......wenn Du wechselst ist sie aber bei 66,6%, spiel die Simulationen durch und Du wirst sehen, dass das statistische Ergebnis dem realen genau entspricht, ab einer gewissen menge von Versuchen.

Rao schrieb:in Gewinnshows wird nicht selten mit psychologischen Tricks gearbeitet. Die Menschen subtil, unbewußt, darauf konditionieren, sich bei Entscheidungen z. B. für eine bestimmte Seite, einen Standort, zu entscheiden, das passiert ganz hinterhältig, etwa durch ungleiche Ausleuchtung, unterschiedliches Farbdekor, "subtile" Handbewegungen des Moderators oder ähnliche Tricks, die nur darauf trainierte Psychologen, Illusionisten und auch Trickbetrüger beherrschen und erkennen

Das ändert aber nichts an den Ergebnissen zum Ziegenproblem.

Sobald Tor 3 rausfällt, geht eine neue Spielrunde los, mit exakt 2 Wahlmöglichkeiten, und es gibt keine Drittelchancen mehr. Somit keine 66 und 33 % mehr. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter dem sofort gewählten Tor steckt, ist exakt genauso hoch wie die, daß er hinter dem anderen Tor steckt.
Genau das ist das Problem bei allen bekannten Paradoxa, daß sie krampfhaft an fehlerhaften Grundvoraussetzungen festhalten. Wie eben die, daß die Wahrscheinlichkeiten sich über die Dauer dieses Spiels nie ändern könnten. Das tun sie aber, mit jedem eliminierten Tor. Egal ob es insgesamt 3 Tore gibt oder 3000.

@Rao

Wir können ja ein kleines Spielchen machen, Du nimmst drei gleiche Behälter und markierst einen von ihnen innen, jetzt mischt Du die Behälter in der Art eines Hütchenspielers und fragst mich welchen Behälter ich nehmen möchte, ich sag eine Zahl, Du hebst einen der Behäter ohne Markierung an und fragst mich ob ich wechseln möchte. Das machen wir hundert mal. Für jedes mal bei dem ich richtig liege schreiben wir mir einen Euro gut, bei jeder Niete Dir. Nach den hundert Runden bilden wir die Differenz und der Verlierer überweisst den Differenzbetrag bzw. 33 Euro sollte keine Differenz bestehen, an eine Kinderhilfsorganisation.

Rao schrieb:Sobald Tor 3 rausfällt, geht eine neue Spielrunde los, mit exakt 2 Wahlmöglichkeiten, und es gibt keine Drittelchancen mehr.

Du würdest also im Stadionbeispiel bei Deiner Wahl bleiben?

Rao schrieb:Sobald Tor 3 rausfällt, geht eine neue Spielrunde los, mit exakt 2 Wahlmöglichkeiten, und es gibt keine Drittelchancen mehr. Somit keine 66 und 33 % mehr. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter dem sofort gewählten Tor steckt, ist exakt genauso hoch wie die, daß er hinter dem anderen Tor steckt.
Genau das ist das Problem bei allen bekannten Paradoxa, daß sie krampfhaft an fehlerhaften Grundvoraussetzungen festhalten. Wie eben die, daß die Wahrscheinlichkeiten sich über die Dauer dieses Spiels nie ändern könnten. Das tun sie aber, mit jedem eliminierten Tor. Egal ob es insgesamt 3 Tore gibt oder 3000.

Bereit für das Spiel? Wie erklärst Du Dir denn, dass wenn man das Spiel oft genug spielt in 66,6% aller Fälle der Wechsler gewinnt?

Rao schrieb:Genau das ist das Problem mit Statistiken, daß sie regelmäßig mit der Realität im Clinch liegen.

Nein, sie liegen nicht mit der Realität im Clinch. Sondern mit der gefühlten Realität.

Rao schrieb: Die Realität sagt, ab Eliminierung eines der drei Tore hat sich die Wahrscheinlichkeit auf Fifty-Fifty verändert.

Nein, das sagt die Realität gerade nicht. Man kann es schlicht auch durch Ausprobieren heraus finden.

Rao schrieb:Rein statistisch gesehen gibt es bei keinem einzigen Flugzeugabsturz die Möglichkeit, daß wirklich alle Passagiere dabei sterben - weil statistisch berechnet auf alle bekannten Flugzeugunfälle immer genug Passagiere überlebt haben

Da nimmst Du für zwei Fälle unterschiedliche Bewertungsbasen. Deswegen scheint das so zu sein. Einmal betrachtest Du alle Abstürze und einmal einen isolierten. Das ist ein Denkfehler.

Richtig wäre: Wenn ich fliege und abstürze ist die Wahrscheinlichkeit nicht 100% dass ich sterbe. Oder: Nicht bei allen Abstürzen sterben alle Menschen.
Aber Deine Aussage ist nicht aus dieser Annahmen herzuleiten.

Rao schrieb:in Gewinnshows wird nicht selten mit psychologischen Tricks gearbeitet.

Das ist hier aber nicht der fall. Es geht um stumpfe Wahrscheinlichkeit.