Kondensatorparadoxon

Der Begriff "Kondensatorparadoxon" ist mir vor vielen
Jahren das erste Mal in der Schule im Physikunterricht
begegnet.
Darin wird beschrieben, welche Zusammenhänge
bedingen, daß beim einfachen Umladen zweier
baugleicher Kondensatoren, die gespeicherte Energie
auf die Hälfte der Einzelladung sinkt.

Das Prinzip :
Ein Kondensator mit der Kapazität Cx wird auf eine
Spannung Ux aufgeladen.
Mathematisch wird dessen Energiegehalt mit

0,5 * U^2 * C

errechnet.
Mit diesem Kondensator wird nun ein zweiter
Kondensator der gleichen Kapazität aufgeladen.
Dabei fließt ein Ausgleichsstrom und in beiden
Kondensatoren erreicht die Spannung Ux/2 .

Es erscheint im ersten Moment logisch, nur die
Hälfte der Spannung zu erreichen, weil die
Ausgangsspannung auf zwei Kondensatoren
aufgeteilt wurde. In Summe ergibt sich allerdings
noch immer die Ausgangsspannung Ux .
Mit der Berechnung zum Energiegehalt zeigt sich
aber eine gespeicherte Gesamtenergie, die ebenfalls
nur der Hälfte der zugeführten Energie entspricht.

Als Frage dazu steht im Mittelpunkt, wohin die andere
Hälfte der Energiemenge abgegeben wurde?

Die Lösung dazu ist auch logisch.

Die Lösung möchte ich hier gerne diskutieren,
weil sie eine Grundlage der Elektrotechnik ist.

nisus schrieb:Als Frage dazu steht im Mittelpunkt, wohin die andere
Hälfte der Energiemenge abgegeben wurde?

An die Umgebung, in Form von Wärme.

nisus schrieb:In Summe ergibt sich allerdings
noch immer die Ausgangsspannung Ux .

Wie soll man diesen Satz verstehen? Was bedeutet hier "in Summe"?

Die Entstehung diese vermeintlichen Paradoxon liegt an einem formalen Fehler in der Problemstellung selbst:

http://www.stroemlinge.de/kondipara.pdf

nisus schrieb:Die Lösung dazu ist auch logisch.

Die Lösung möchte ich hier gerne diskutieren,
weil sie eine Grundlage der Elektrotechnik ist.

Was möchtest Du da denn diskutieren, wenn es doch logisch ist?

Auf was zielst Du in Wahrheit ab?

Peter0167 schrieb:Was bedeutet hier "in Summe"?

"In Summe" meint, daß durch addieren der Spannungswerte
der beiden Kondensatoren wieder die Quellspannung Ux
zu errechnen ist.
Praktisch erzeugt eine Reihenschaltung der beiden
Kondensatoren wieder Ux.
Dabei ist aber durch die Bedingung

1/Cges = 1/C1 + 1/C2

Die Gesamtkapazität ( Cges ) nur halb so groß,
wie die eines einzelnen Kondensators ( C1 = C2 )
aus dem betrachteten Zusammenhang.
Daher ist auch zu erkennen, daß der Energiegehalt
in dem System halbiert sein muß, weil bei
gleicher Spannung wie Ux , nur die halbe Kapazität
zur Verfügung steht. ( eben durch die Reihenschaltung
der beiden Kondensatoren ).

@Auweia
danke für den Link .

Da die Gesamtenergie in dem Versuch nur noch der Hälfte
der zugeführten Energie entspricht und diese wiederum
auf 2 Kondensatoren aufgeteilt ist, befindet sich also
"exakt" 1/4 der anfänglich zugeführten Energiemenge
in einem Kondensator - richtig ?
Also kann aus diesem Kondensator auch nicht mehr
Energie, als eben dieses "1/4" entnommen werden - richtig?

nisus schrieb:Da die Gesamtenergie in dem Versuch nur noch der Hälfte
der zugeführten Energie entspricht und diese wiederum
auf 2 Kondensatoren aufgeteilt ist, befindet sich also
"exakt" 1/4 der anfänglich zugeführten Energiemenge
in einem Kondensator - richtig ?
Also kann aus diesem Kondensator auch nicht mehr
Energie, als eben dieses "1/4" entnommen werden - richtig?

In dem verlinkten PDF steht doch:

Die Ursache für die Entstehung dieses vermeintlichen Paradoxons liegt in einem formalen Fehler der Problemstellung selbst begründet. Es sollen derer laut nebst idealen Kapazitäten nur IDEALE elektrische Verbindungselemente zum Einsatz kommen.

Richtig gerechnet, geht es halt doch auf.

So entnehme ich es zumindest dem pdf.

Also ist es wirklich so.
Weil auch im konkreten Versuch, mit echten Bauteilen,
sich eben genau zeigt, daß die Hälfte der Energie
abgegeben wird.
Praktisch verbleibt daher tatsächlich auch nur
1/4 der anfänglichen Energiemenge in einem der beiden
Kondensatoren, wenn der beschriebene Versuch
durchgeführt wird.

Ich habe in dem Punkt nur noch einmal genau nachgefragt,
weil ich wissen möchte, ob jemand etwas anderes dazu
aufzeigen kann, oder ob darüber Einigkeit besteht, daß es
wirklich so ist.
( ein "ja, ist richtig" - hätte mich gefreut :D )

Fakto : es ist nach dem beschriebenen Versuch mit den
beiden Kondensatoren nur noch "1/4" der anfänglichen
Energiemenge in einem dieser Kondensatoren.
___

In der nächsten Betrachtung zu diesem Zusammenhang
liegt der Vorgang des erstmaligen Ladens eines
Kondensators.
Dabei muß ja folglich aus dem "Paradoxon" , auch beim
Ladeforgang die Hälfte der im Kondensator gespeicherten
Energie als Wärme abgegeben worden sein.
Ist in dem Kondensator eine Energiemenge von
E = 0,5 Joule gespeichert, ist die gleiche Energiemenge
auch in Wäreme umgewandelt worden.

Um das mathematisch zu überprüfen, schlage ich folgende
Rechnung vor :

P = U * I
E = P * t

Uc = Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) )
Ic = Io * e^-(t/tau)
tau = R * C

P = elektrische Leistung in Watt
U = Spannung in Volt
I = elektrischer Strom in Ampere
E = Energie in Joule
t = Zeit in Sekunden
Uc = Kondensatorspannung
Uo = Eingangsspannung
Ic = elektrischer Strom in den Kondensator
Io = elektrischer Anfangsstrom in den Kondensator
e = Euler'sche Zahl
tau = Ladezeitkonstante
R = elektrischer Widerstand in Ohm
C = elektrische Kapazität in Farad

Pc = Uc * Ic

Pc = aufgenommene elektrische Leistung des Kondensators

Wc = int{ Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) * Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) }

Wc = im Kondensator enthaltene Energie in Joule

Da 1 Farad bei der Spannung von 1 Volt
der Ladungsmenge von 1 Coloumb

1 C = 1 A * 1 s

entspricht, und daraus

1 A * 1 V = 1 Watt

folgt, zeigt sich zur Berechnung des Energiegehaltes
im Kondensator

E = 0,5 * I * t * U

Da der elektrische Strom aus I = U / R berechnet wird
und der Widerstand zur Berechnung R = 1 Ohm beträgt,
sowie die Zeit t = 1 s ist, wird

E = 0,5 * ( U / R ) * t * U

zu

E = 0,5 * ( U^2 / R ) * t
=>
J = 0,5 * (1 V^2 / 1 Ohm ) * 1 s

Um diesen Zusammenhang auf jede Kapazität anwenden
zu können, wird die Funktion um den Faktor C ( in F )
erweitert und führt so zu der bekannten Abhängigkeit

E = 0,5 * U^2 * C

Daraus geht also hervor, daß auch schon der Ladevorgang
entsprechend der im Kondensator gespeicherten
Energie, den identischen Betrag der Energie im
Widerstand zu Wärme wandelt. Daher enthält die
Berechnung den Faktor 0,5 .

nisus schrieb:Wc = int{ Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) * Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) }

Korrektur :

Wc = int{ Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) * Io * e^-(t/tau) }

Ich verstehe jetzt etwas nicht.
Wenn also das Laden und Entladen eines Kondensators
- und somit auch das Umladen - , die Hälfte der Energie
in den Zuleitungen aufbraucht, warum ändert sich dann
an einem Lautsprecher nicht die Lautstärke, wenn ein
Kondensator im Signalweg in Reihe geschalten wird ?
Laut dem Kondensatorparadoxon sollte es doch dann
50 % leiser werden, wenn der Kondensator nur 50 %
Wirkungsgrad hat ?

Was in dieser Diskussion ganz vergessen wurde:
Ein realer Schaltkreis enthält ja auch Induktivitäten.
Die begrenzen den in einen/aus einem Kondensator fließenden Strom ebenfalls.

@nisus

Bezueglich Lautsprecher: Stichwort Frequenzweiche. Ein Bisschen bewirkt er schon ;)


:mlp:

nisus schrieb:Ich verstehe jetzt etwas nicht.
Wenn also das Laden und Entladen eines Kondensators
- und somit auch das Umladen - , die Hälfte der Energie
in den Zuleitungen aufbraucht, warum ändert sich danna
an einem Lautsprecher nicht die Lautstärke, wenn ein
Kondensator im Signalweg in Reihe geschalten wird ?
Laut dem Kondensatorparadoxon sollte es doch dann
50 % leiser werden, wenn der Kondensator nur 50 %
Wirkungsgrad hat ?

Ich dachte dass es genau darum geht. Paradox dass es rein (falsch?) gerechnet 50% weniger sein müsste, es aber in wriklichkeit und richtig gerechnet, das ergibt was es sollte...oder so.


Edit:
Ach nee, quatsch! Was schreib ich denn...das war doch das mit dem Hier:

Die Ursache für die Entstehung dieses vermeintlichen Paradoxons liegt in einem formalen Fehler der Problemstellung selbst begründet. Es sollen derer laut nebst idealen Kapazitäten nur IDEALE elektrische Verbindungselemente zum Einsatz kommen.

skagerak schrieb am 17.11.2019:Richtig gerechnet, geht es halt doch auf.

So entnehme ich es zumindest dem pdf.

Der Kern ist, dass die Welt und damit auch die Elektrotechnik unseren "Idealen" nicht gerecht werden;)

Die Rechnung ist schon OK, Die angenommenen/idealisierten Parameter aber nicht.

neoschamane schrieb:Der Kern ist, dass die Welt und damit auch die Elektrotechnik unseren "Idealen" nicht gerecht werden;)

Joa, so könnte man es auch ausdrücken 😁 Wobei, könnte glatt von einem Freie-Energie´ler kommen: "Die Welt macht nicht so wie es mir gefällt." ;)

neoschamane schrieb:Die Rechnung ist schon OK, Die angenommenen/idealisierten Parameter aber nicht.

Ja, oder so eben.

wolfi7777 schrieb:Ein realer Schaltkreis enthält ja auch Induktivitäten.
Die begrenzen den in einen/aus einem Kondensator fließenden Strom ebenfalls

Das stimmt. Nur ich denke, die Induktivität einer geraden
und unverzweigten Zuleitung, wenn sie dazu noch kurz
ist, macht sich gegenüber dem Ohm'schen Widerstand
der Zuleitung nicht bemerkbar. Da wir es mit der Rechnerei
schon Aufwendig.
Am ehesten sind in kleinen Heimversuchen die elektrischen
Serienwiderstände der Kondensatoren zu merken.

Syndrom schrieb:Bezueglich Lautsprecher: Stichwort Frequenzweiche. Ein Bisschen bewirkt er schon ;)

Dazu die Berechnung ist mit etwas Aufwand verbunden.
Als Vorüberlegung :
Energie einer ganzen Periode zu jeder Frequenz bestimmen
und diese Werte dann in Abhängigkeit zum kapazitiven
Widerstand bringen...und daraus das Integral. Dieses
Integral dann von dem Integral der ungefilterten Frequenzen
subtrahieren. Die Differenz der Integrale als Prozent
ausdrücken.
So etwa denke ich, kann da eine Näherung gefunden
werden. Als Betrachtung liegt ein Hochpass nahe, weil
darin der Kondensator in Reihe zum Lautsprecher liegt.

nisus schrieb:Ich verstehe jetzt etwas nicht.
Wenn also das Laden und Entladen eines Kondensators
- und somit auch das Umladen - , die Hälfte der Energie
in den Zuleitungen aufbraucht, warum ändert sich dann
an einem Lautsprecher nicht die Lautstärke, wenn ein
Kondensator im Signalweg in Reihe geschalten wird ?
Laut dem Kondensatorparadoxon sollte es doch dann
50 % leiser werden, wenn der Kondensator nur 50 %
Wirkungsgrad hat ?

ich mag mich da nun nicht zu weit aus dem fenster lehnen, einfach weil die beschaeftigung damit lange zurueck liegt und ich mich auch schon sehr bald der digitaltechnik zu gewandt habe ...
aber ...

gehts da nicht um amplitude vs. frequenz?

siehe auch den hinweis auf die "frequenzweiche".

Im praktischen Versuch habe ich jetzt mal einen
Koppelkondensator mit 18ooo Mikrofarad in die
Zuleitung zum Lautsprecher meiner Anlage gesetzt.
Also ... da wird echt nichts leiser.
Irgendwie is es ja auch logisch, denn als Vorwiederstand
dient der Lautsprecher und somit geht noch immer an
diesem die gleiche Leistung verloren in Form von "Sound"
und Wärme.
Die Zeitkonstante aus R ( Lautsprecher; 8 Ohm ) und
C ( 18ooo uF ) beträgt :

tau = R * C = 8 Ohm * 0,018 F
tau = 0,144

Damit ergibt sich eine Ladezeit, um auf etwa 99 %
der angelegten Spannung zu kommen , von :

5 * tau = 5 * 0,144 s = 0,72 Sekunden

So würde der Kondensator innehalb einer Sekunde
etwa 1,4 mal geladen werden können, was einer
Sperrfrequenz von 1,4 Hz entspricht...
Das liegt weit unterhalb der Hörgrenze von 16 Hertz.

Der Einfluß der Frequenzfilterung bei solch
hochkapazitiven Kondensator ist daher nicht wahrnehmbar.

nisus schrieb am 18.11.2019:In der nächsten Betrachtung zu diesem Zusammenhang
liegt der Vorgang des erstmaligen Ladens eines
Kondensators.
Dabei muß ja folglich aus dem "Paradoxon" , auch beim
Ladeforgang die Hälfte der im Kondensator gespeicherten
Energie als Wärme abgegeben worden sein.

Die Diskussion ist schon ein Weilchen her. Ich bin heute erst darauf gestoße,

Das erstmalige Aufladen eines Kondensators ist in der Technik in der Tat ein Problem. Auch in dem Fall fließt unter idealisierten Bedingungen ein unendlich großer Strom (Innenwiderstand null von Spannungsquelle und Kondensator).
Speziell bei leistungsstarken Netzgeräten, die große interne Kondensatoren aufladen, gibt es Einschaltströme, die auch schon einmal die Sicherung auslösen. Es muss also irgendwo eine Strombegrenzung eingebaut werden. Bei Geräten kleiner Leistung sorgen die üblichen Bauteile für eine Begrenzung.

Hallo :D

Ich bin auf einen Zusammenhang gestoßen, bei
dem ich nicht genau weiß, wie sich der
Energieverlust durch das Umladen eines
Kondensators äußert.

Ich betrachte einen Schwingkreis.
Der besteht aus Spule und Kondensator.
Da es eine schwingfähige Schaltung ist, läßt sich
eine gedämpfte, periodische Schwingung erzeugen.
Daher ja der Name.
Wenn es jetzt so ist, daß laden/entladen/umladen
eines Kondensators, immer die Hälfte der
gespeicherten Energie in den Zuleitungen
verloren geht, wie kann da dann überhaupt im
Schwingkreis eine Güte erreicht werden, die
weniger Dämpfung verursacht, als es laut der
Kondensatorformel möglich ist, wenn es auf den
Energiegehalt bezogen wird?
Der Gütefaktor wird ausgedrückt als das
Verhältnis zwischen zugeführter Energie zu Beginn
einer Periode und in Wärme umgewandelte Energie
während einer Periode.

Wikipedia: Gütefaktor#:~:text=Der Gütefaktor, auch Güte, Kreisgüte,eines Schwingkreises).

Tatsächlich verursacht die Induktivität der Spule
im Schwingkreis einen Spannungsanstieg beim
Umladen auf U=Uo*sin(45°)
also nicht nur bis zur Hälfte der zu Beginn
beaufschlagten Spannung, sondern etwa auf 70%