Kondensatorparadoxon

Der Begriff "Kondensatorparadoxon" ist mir vor vielen
Jahren das erste Mal in der Schule im Physikunterricht
begegnet.
Darin wird beschrieben, welche ZusammenhÀnge
bedingen, daß beim einfachen Umladen zweier
baugleicher Kondensatoren, die gespeicherte Energie
auf die HĂ€lfte der Einzelladung sinkt.

Das Prinzip :
Ein Kondensator mit der KapazitÀt Cx wird auf eine
Spannung Ux aufgeladen.
Mathematisch wird dessen Energiegehalt mit

0,5 * U^2 * C

errechnet.
Mit diesem Kondensator wird nun ein zweiter
Kondensator der gleichen KapazitÀt aufgeladen.
Dabei fließt ein Ausgleichsstrom und in beiden
Kondensatoren erreicht die Spannung Ux/2 .

Es erscheint im ersten Moment logisch, nur die
HĂ€lfte der Spannung zu erreichen, weil die
Ausgangsspannung auf zwei Kondensatoren
aufgeteilt wurde. In Summe ergibt sich allerdings
noch immer die Ausgangsspannung Ux .
Mit der Berechnung zum Energiegehalt zeigt sich
aber eine gespeicherte Gesamtenergie, die ebenfalls
nur der HĂ€lfte der zugefĂŒhrten Energie entspricht.

Als Frage dazu steht im Mittelpunkt, wohin die andere
HĂ€lfte der Energiemenge abgegeben wurde?

Die Lösung dazu ist auch logisch.

Die Lösung möchte ich hier gerne diskutieren,
weil sie eine Grundlage der Elektrotechnik ist.

nisus schrieb:Als Frage dazu steht im Mittelpunkt, wohin die andere
HĂ€lfte der Energiemenge abgegeben wurde?

An die Umgebung, in Form von WĂ€rme.

nisus schrieb:In Summe ergibt sich allerdings
noch immer die Ausgangsspannung Ux .

Wie soll man diesen Satz verstehen? Was bedeutet hier "in Summe"?

Die Entstehung diese vermeintlichen Paradoxon liegt an einem formalen Fehler in der Problemstellung selbst:

http://www.stroemlinge.de/kondipara.pdf

nisus schrieb:Die Lösung dazu ist auch logisch.

Die Lösung möchte ich hier gerne diskutieren,
weil sie eine Grundlage der Elektrotechnik ist.

Was möchtest Du da denn diskutieren, wenn es doch logisch ist?

Auf was zielst Du in Wahrheit ab?

Peter0167 schrieb:Was bedeutet hier "in Summe"?

"In Summe" meint, daß durch addieren der Spannungswerte
der beiden Kondensatoren wieder die Quellspannung Ux
zu errechnen ist.
Praktisch erzeugt eine Reihenschaltung der beiden
Kondensatoren wieder Ux.
Dabei ist aber durch die Bedingung

1/Cges = 1/C1 + 1/C2

Die GesamtkapazitĂ€t ( Cges ) nur halb so groß,
wie die eines einzelnen Kondensators ( C1 = C2 )
aus dem betrachteten Zusammenhang.
Daher ist auch zu erkennen, daß der Energiegehalt
in dem System halbiert sein muß, weil bei
gleicher Spannung wie Ux , nur die halbe KapazitÀt
zur VerfĂŒgung steht. ( eben durch die Reihenschaltung
der beiden Kondensatoren ).

@Auweia
danke fĂŒr den Link .

Da die Gesamtenergie in dem Versuch nur noch der HĂ€lfte
der zugefĂŒhrten Energie entspricht und diese wiederum
auf 2 Kondensatoren aufgeteilt ist, befindet sich also
"exakt" 1/4 der anfĂ€nglich zugefĂŒhrten Energiemenge
in einem Kondensator - richtig ?
Also kann aus diesem Kondensator auch nicht mehr
Energie, als eben dieses "1/4" entnommen werden - richtig?

nisus schrieb:Da die Gesamtenergie in dem Versuch nur noch der HĂ€lfte
der zugefĂŒhrten Energie entspricht und diese wiederum
auf 2 Kondensatoren aufgeteilt ist, befindet sich also
"exakt" 1/4 der anfĂ€nglich zugefĂŒhrten Energiemenge
in einem Kondensator - richtig ?
Also kann aus diesem Kondensator auch nicht mehr
Energie, als eben dieses "1/4" entnommen werden - richtig?

In dem verlinkten PDF steht doch:

Die Ursache fĂŒr die Entstehung dieses vermeintlichen Paradoxons liegt in einem formalen Fehler der Problemstellung selbst begrĂŒndet. Es sollen derer laut nebst idealen KapazitĂ€ten nur IDEALE elektrische Verbindungselemente zum Einsatz kommen.

Richtig gerechnet, geht es halt doch auf.

So entnehme ich es zumindest dem pdf.

Also ist es wirklich so.
Weil auch im konkreten Versuch, mit echten Bauteilen,
sich eben genau zeigt, daß die HĂ€lfte der Energie
abgegeben wird.
Praktisch verbleibt daher tatsÀchlich auch nur
1/4 der anfÀnglichen Energiemenge in einem der beiden
Kondensatoren, wenn der beschriebene Versuch
durchgefĂŒhrt wird.

Ich habe in dem Punkt nur noch einmal genau nachgefragt,
weil ich wissen möchte, ob jemand etwas anderes dazu
aufzeigen kann, oder ob darĂŒber Einigkeit besteht, daß es
wirklich so ist.
( ein "ja, ist richtig" - hÀtte mich gefreut :D )

Fakto : es ist nach dem beschriebenen Versuch mit den
beiden Kondensatoren nur noch "1/4" der anfÀnglichen
Energiemenge in einem dieser Kondensatoren.
___

In der nÀchsten Betrachtung zu diesem Zusammenhang
liegt der Vorgang des erstmaligen Ladens eines
Kondensators.
Dabei muß ja folglich aus dem "Paradoxon" , auch beim
Ladeforgang die HĂ€lfte der im Kondensator gespeicherten
Energie als WĂ€rme abgegeben worden sein.
Ist in dem Kondensator eine Energiemenge von
E = 0,5 Joule gespeichert, ist die gleiche Energiemenge
auch in WĂ€reme umgewandelt worden.

Um das mathematisch zu ĂŒberprĂŒfen, schlage ich folgende
Rechnung vor :

P = U * I
E = P * t

Uc = Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) )
Ic = Io * e^-(t/tau)
tau = R * C

P = elektrische Leistung in Watt
U = Spannung in Volt
I = elektrischer Strom in Ampere
E = Energie in Joule
t = Zeit in Sekunden
Uc = Kondensatorspannung
Uo = Eingangsspannung
Ic = elektrischer Strom in den Kondensator
Io = elektrischer Anfangsstrom in den Kondensator
e = Euler'sche Zahl
tau = Ladezeitkonstante
R = elektrischer Widerstand in Ohm
C = elektrische KapazitÀt in Farad

Pc = Uc * Ic

Pc = aufgenommene elektrische Leistung des Kondensators

Wc = int{ Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) * Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) }

Wc = im Kondensator enthaltene Energie in Joule

Da 1 Farad bei der Spannung von 1 Volt
der Ladungsmenge von 1 Coloumb

1 C = 1 A * 1 s

entspricht, und daraus

1 A * 1 V = 1 Watt

folgt, zeigt sich zur Berechnung des Energiegehaltes
im Kondensator

E = 0,5 * I * t * U

Da der elektrische Strom aus I = U / R berechnet wird
und der Widerstand zur Berechnung R = 1 Ohm betrÀgt,
sowie die Zeit t = 1 s ist, wird

E = 0,5 * ( U / R ) * t * U

zu

E = 0,5 * ( U^2 / R ) * t
=>
J = 0,5 * (1 V^2 / 1 Ohm ) * 1 s

Um diesen Zusammenhang auf jede KapazitÀt anwenden
zu können, wird die Funktion um den Faktor C ( in F )
erweitert und fĂŒhrt so zu der bekannten AbhĂ€ngigkeit

E = 0,5 * U^2 * C

Daraus geht also hervor, daß auch schon der Ladevorgang
entsprechend der im Kondensator gespeicherten
Energie, den identischen Betrag der Energie im
Widerstand zu WÀrme wandelt. Daher enthÀlt die
Berechnung den Faktor 0,5 .

nisus schrieb:Wc = int{ Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) * Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) }

Korrektur :

Wc = int{ Uo * ( 1 - e^-( t/tau ) ) * Io * e^-(t/tau) }

Ich verstehe jetzt etwas nicht.
Wenn also das Laden und Entladen eines Kondensators
- und somit auch das Umladen - , die HĂ€lfte der Energie
in den Zuleitungen aufbraucht, warum Àndert sich dann
an einem Lautsprecher nicht die LautstÀrke, wenn ein
Kondensator im Signalweg in Reihe geschalten wird ?
Laut dem Kondensatorparadoxon sollte es doch dann
50 % leiser werden, wenn der Kondensator nur 50 %
Wirkungsgrad hat ?

Was in dieser Diskussion ganz vergessen wurde:
Ein realer Schaltkreis enthÀlt ja auch InduktivitÀten.
Die begrenzen den in einen/aus einem Kondensator fließenden Strom ebenfalls.

@nisus

Bezueglich Lautsprecher: Stichwort Frequenzweiche. Ein Bisschen bewirkt er schon ;)


:mlp:

nisus schrieb:Ich verstehe jetzt etwas nicht.
Wenn also das Laden und Entladen eines Kondensators
- und somit auch das Umladen - , die HĂ€lfte der Energie
in den Zuleitungen aufbraucht, warum Àndert sich danna
an einem Lautsprecher nicht die LautstÀrke, wenn ein
Kondensator im Signalweg in Reihe geschalten wird ?
Laut dem Kondensatorparadoxon sollte es doch dann
50 % leiser werden, wenn der Kondensator nur 50 %
Wirkungsgrad hat ?

Ich dachte dass es genau darum geht. Paradox dass es rein (falsch?) gerechnet 50% weniger sein mĂŒsste, es aber in wriklichkeit und richtig gerechnet, das ergibt was es sollte...oder so.


Edit:
Ach nee, quatsch! Was schreib ich denn...das war doch das mit dem Hier:

Die Ursache fĂŒr die Entstehung dieses vermeintlichen Paradoxons liegt in einem formalen Fehler der Problemstellung selbst begrĂŒndet. Es sollen derer laut nebst idealen KapazitĂ€ten nur IDEALE elektrische Verbindungselemente zum Einsatz kommen.

skagerak schrieb am 17.11.2019:Richtig gerechnet, geht es halt doch auf.

So entnehme ich es zumindest dem pdf.

Der Kern ist, dass die Welt und damit auch die Elektrotechnik unseren "Idealen" nicht gerecht werden;)

Die Rechnung ist schon OK, Die angenommenen/idealisierten Parameter aber nicht.

neoschamane schrieb:Der Kern ist, dass die Welt und damit auch die Elektrotechnik unseren "Idealen" nicht gerecht werden;)

Joa, so könnte man es auch ausdrĂŒcken 😁 Wobei, könnte glatt von einem Freie-EnergieÂŽler kommen: "Die Welt macht nicht so wie es mir gefĂ€llt." ;)

neoschamane schrieb:Die Rechnung ist schon OK, Die angenommenen/idealisierten Parameter aber nicht.

Ja, oder so eben.

wolfi7777 schrieb:Ein realer Schaltkreis enthÀlt ja auch InduktivitÀten.
Die begrenzen den in einen/aus einem Kondensator fließenden Strom ebenfalls

Das stimmt. Nur ich denke, die InduktivitÀt einer geraden
und unverzweigten Zuleitung, wenn sie dazu noch kurz
ist, macht sich gegenĂŒber dem Ohm'schen Widerstand
der Zuleitung nicht bemerkbar. Da wir es mit der Rechnerei
schon Aufwendig.
Am ehesten sind in kleinen Heimversuchen die elektrischen
SerienwiderstÀnde der Kondensatoren zu merken.

Syndrom schrieb:Bezueglich Lautsprecher: Stichwort Frequenzweiche. Ein Bisschen bewirkt er schon ;)

Dazu die Berechnung ist mit etwas Aufwand verbunden.
Als VorĂŒberlegung :
Energie einer ganzen Periode zu jeder Frequenz bestimmen
und diese Werte dann in AbhÀngigkeit zum kapazitiven
Widerstand bringen...und daraus das Integral. Dieses
Integral dann von dem Integral der ungefilterten Frequenzen
subtrahieren. Die Differenz der Integrale als Prozent
ausdrĂŒcken.
So etwa denke ich, kann da eine NĂ€herung gefunden
werden. Als Betrachtung liegt ein Hochpass nahe, weil
darin der Kondensator in Reihe zum Lautsprecher liegt.

nisus schrieb:Ich verstehe jetzt etwas nicht.
Wenn also das Laden und Entladen eines Kondensators
- und somit auch das Umladen - , die HĂ€lfte der Energie
in den Zuleitungen aufbraucht, warum Àndert sich dann
an einem Lautsprecher nicht die LautstÀrke, wenn ein
Kondensator im Signalweg in Reihe geschalten wird ?
Laut dem Kondensatorparadoxon sollte es doch dann
50 % leiser werden, wenn der Kondensator nur 50 %
Wirkungsgrad hat ?

ich mag mich da nun nicht zu weit aus dem fenster lehnen, einfach weil die beschaeftigung damit lange zurueck liegt und ich mich auch schon sehr bald der digitaltechnik zu gewandt habe ...
aber ...

gehts da nicht um amplitude vs. frequenz?

siehe auch den hinweis auf die "frequenzweiche".

Im praktischen Versuch habe ich jetzt mal einen
Koppelkondensator mit 18ooo Mikrofarad in die
Zuleitung zum Lautsprecher meiner Anlage gesetzt.
Also ... da wird echt nichts leiser.
Irgendwie is es ja auch logisch, denn als Vorwiederstand
dient der Lautsprecher und somit geht noch immer an
diesem die gleiche Leistung verloren in Form von "Sound"
und WĂ€rme.
Die Zeitkonstante aus R ( Lautsprecher; 8 Ohm ) und
C ( 18ooo uF ) betrÀgt :

tau = R * C = 8 Ohm * 0,018 F
tau = 0,144

Damit ergibt sich eine Ladezeit, um auf etwa 99 %
der angelegten Spannung zu kommen , von :

5 * tau = 5 * 0,144 s = 0,72 Sekunden

So wĂŒrde der Kondensator innehalb einer Sekunde
etwa 1,4 mal geladen werden können, was einer
Sperrfrequenz von 1,4 Hz entspricht...
Das liegt weit unterhalb der Hörgrenze von 16 Hertz.

Der Einfluß der Frequenzfilterung bei solch
hochkapazitiven Kondensator ist daher nicht wahrnehmbar.

nisus schrieb am 18.11.2019:In der nÀchsten Betrachtung zu diesem Zusammenhang
liegt der Vorgang des erstmaligen Ladens eines
Kondensators.
Dabei muß ja folglich aus dem "Paradoxon" , auch beim
Ladeforgang die HĂ€lfte der im Kondensator gespeicherten
Energie als WĂ€rme abgegeben worden sein.

Die Diskussion ist schon ein Weilchen her. Ich bin heute erst darauf gestoße,

Das erstmalige Aufladen eines Kondensators ist in der Technik in der Tat ein Problem. Auch in dem Fall fließt unter idealisierten Bedingungen ein unendlich großer Strom (Innenwiderstand null von Spannungsquelle und Kondensator).
Speziell bei leistungsstarken NetzgerĂ€ten, die große interne Kondensatoren aufladen, gibt es Einschaltströme, die auch schon einmal die Sicherung auslösen. Es muss also irgendwo eine Strombegrenzung eingebaut werden. Bei GerĂ€ten kleiner Leistung sorgen die ĂŒblichen Bauteile fĂŒr eine Begrenzung.

Hallo :D

Ich bin auf einen Zusammenhang gestoßen, bei
dem ich nicht genau weiß, wie sich der
Energieverlust durch das Umladen eines
Kondensators Ă€ußert.

Ich betrachte einen Schwingkreis.
Der besteht aus Spule und Kondensator.
Da es eine schwingfĂ€hige Schaltung ist, lĂ€ĂŸt sich
eine gedÀmpfte, periodische Schwingung erzeugen.
Daher ja der Name.
Wenn es jetzt so ist, daß laden/entladen/umladen
eines Kondensators, immer die HĂ€lfte der
gespeicherten Energie in den Zuleitungen
verloren geht, wie kann da dann ĂŒberhaupt im
Schwingkreis eine GĂŒte erreicht werden, die
weniger DĂ€mpfung verursacht, als es laut der
Kondensatorformel möglich ist, wenn es auf den
Energiegehalt bezogen wird?
Der GĂŒtefaktor wird ausgedrĂŒckt als das
VerhĂ€ltnis zwischen zugefĂŒhrter Energie zu Beginn
einer Periode und in WĂ€rme umgewandelte Energie
wÀhrend einer Periode.

Wikipedia: GĂŒtefaktor#:~:text=Der GĂŒtefaktor, auch GĂŒte, KreisgĂŒte,eines Schwingkreises).

TatsÀchlich verursacht die InduktivitÀt der Spule
im Schwingkreis einen Spannungsanstieg beim
Umladen auf U=Uo*sin(45°)
also nicht nur bis zur HĂ€lfte der zu Beginn
beaufschlagten Spannung, sondern etwa auf 70%