π = 2

ein Freund hat mir diesen "beweis" gezeigt. so falsch wie er offenbar ist, ich komme netdrauf, wo der denkfehler liegt:



die länge eines halbenkreisbogens ist bei dem einheitsradius 1 gleich π (die kreiszahl pi). (schwarze linie)
ersetzt man diese linie durch eine zweite (braun) sodass der neue kreisradius 1/2beträgt so ist die (halbe) kreislinie wieder genau π. setzt man diesen prozess n- mal fort, so strebt der radius für n → ∞ gegen null, wobei die summe allerkreislinien konstant bei π bleibt. da sich dieser prozess beliebig oft wiederholenlässt kommt die summe der kreislinien - also der wert für π - dem wert des doppeltenradius - also 2 - beliebig nahe.

ergo: π ist zwei

wo ist derdenkfehler??

also dass die schwarze und eine der beiden braunen gleich lang sein soll bezweifleich....



Definition

Es existieren mehrere gleichwertigeDefinitionen für die Kreiszahl π. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

* das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
* dieFläche eines Kreises mit dem Radius 1.

wieso soll das überhaupt falsch sein?

also dass die schwarze und eine der beiden braunen gleich lang sein soll bezweifleich....


Beide braunen Linien zusammen besitzen die gleiche Länge wiedie schwarze. Darum geht es ja gerade. Der Radius wird immer weiter verkleinert, dasheißt die Kreislinie rückt immer näher an die "x-Achse". Dabei bleibt die Länge immergleich Pi, nur der Grenzwert ist 2.

@the shadow
dann rechne es nach, das handwerkszeug dafür ist denkbar einfach.

öhm ...

komischer ansatz

die linien bilden am anfang der grafik einenhalbkreis und am ende 2 vollkreise...

das heisst die länge des grünenhalbkreises is n/4 und nich n

die summe von 2 mal grün und 2mal gelb is n ....ergo is deine formel wohl nich ganz richtig...denk ich ma.......

öhm ...

komischer ansatz

die linien bilden am anfang der grafikeinen halbkreis und am ende 2 vollkreise...

das heisst die länge des grünenhalbkreises is n/4 und nich n

die summe von 2 mal grün und 2mal gelb is n ....ergo is deine formel wohl nich ganz richtig...denk ich ma.......


:|

Schwarze Kreislinie: Radius = 1 , Halber Umfang: (2*π*1)/ 2=π
Braune Kreislinie: Radius = 0,5 , Umfang: 2*π*0,5=π
Grüne/gelbeKreislinie: Radius = 0,25 , Doppelter Umfang: (2*π*0,25)*2=π

....

danke tommy :)

also bei D (durchmesser) 1 ergibt sich bei U = 2xPIxR

2 x 3.14x0.5 = 3.14

wenn der durchmesser um die hälfte reduziert wird ergibt sich:

2x3.14x0,25 = 1,57



1,57 x 2 = 3,14


wo is das problem????

Ich denke, ich hab es jetzt:



Allgemeine Formel:

Länge =π*r*x

wobei r = Radius , x = Anzahl der "Halbkreise"

Bei jedemSchritt verdoppelt sich die Anzahl der Halbkreise und halbiert sich der Radius.

Also für n = 1: r = 1, x = 1

n = 2: r = 1/2, x = 2


Dann lässtsich durch Vollst. Induktion leicht zeigen:

r = 1/2^(n-1) , x = 2^(x-1)


Das setzt man oben ein:

Länge = π*r*x = π * 1/2^(n-1) *2^(x-1) (Kürzen)

=> Länge = π

natürlich ist pi=3,14... das bestreitet keiner und ist über die eulersche identität undner ganzen scheune anderer herleitungen ganz einwandfrei beweisen.

und der obigebeweis ist auch falsch, denn pi ist nicht zwei. allerdings ist es nciht unbedingtzumindest für mich nachvollziehbar, WO der fehler liegt.

Ich denke, geometrisch lässt sich der Fehler auch gar nicht finden, man muss esanalytisch betrachten.

Da ist es dann wirklich nicht schwer.

die SUMME alles kreisradien im diagramm is immer PI.... und die SUMMe der durchmesserimmer 1

ich check das problem nich??

ja es argumentativ - also nicht mathematisch - kann ich es nachvollziehen:

"drückt" man die erste kreislinie platt zu ner gerade, dann hat die gerade ja dielänge π (also das "richtige" π 3,14...).
macht man dasselbe bei den zweikreisen, kommt man ebenfalls bei π raus.
auch in allerkleinster diemnsionierungwürde man immer noch bei π rauskommen.

aber mathematisch will mir der beweisnet gelingen.

vllt liegt es einfach an dem grundlegenden problem des begriffesder länge; will man die länge iener kurve bestimmen, nähert man sie durch eine gerade an.hier macht man das umgekehrt, man nähert die länge des durchmessers - also 2 - durchkurven an.
vllt ähnlich illegal wie durch null zu teilen.

die SUMME alles kreisradien im diagramm is immer PI.... und die SUMMe der durchmesserimmer 1

ich check das problem nich??


Erstens ist die Summeder Durchmesser immer 2, da es sich ja um den Einheitskreis handelt.

Zweitensnähert sich die Kreislinie für kleiner werdenen Radius und steigende Kreisanzahl dochimmer weiter dem Durchmesser an (geometrisch betrachtet). Musst es dir einfach an demBild genau anschauen. Dadurch kommt das Gefühl auf, dass sich irgendwann diese Kreislinienicht mehr von der Linie des Durchmessers unterscheidet.

@shadow

"die SUMME alles kreisradien im diagramm is immer PI"

genau,
wenn du die unterteilung unendlich oft fortsetzt, dann nähert sich die summe derkreislinien aber dem durchmesser an - das kann man ja optisch gut nachvollziehen. derdurchmesser ist aber nicht 3,14... sondern 2.

Die Zahl Pi drückt nur das Verhältnis vom Durchmesser zum Umfang des Kreises aus. ^^


:D

das kann man ja optisch gut nachvollziehen. der durchmesser ist aber nicht 3,14...sondern 2.


Optisch != mathematisch korrekt


Das Problemist, dass die Kreislinie eben nie ganz auf der Linie des Durchmessers liegen wird, da derRadius zwar unendlich klein, aber eben nicht 0 wird, halt 1/n.

Wenn du dann abermit Hilfe des Limes argumentieren willst, dass n gegen unendlich gehen soll, musst duberücksichtigen, dass damit auch die Anzahl der Kreise ggen unendlich steigt.

Duhast zwei Möglichkeiten, entweder du kürzst das n schon vor der Berechnung des Limes weg,wie ich es weiter oben gemacht habe, oder du hast dann bei der Rechnung das Problem, dassdu jeweils im Zähler und im Nenner einmal ein unendlich stehen hast.

langsam komm ich hinter die problematik............

aber wennn ich y halbkreis habe. und y abstände zu x dann denk ich ma dass da keinunterschied besteht. sollte normal nich

mit jeder halbierung des radiusverdoppelt sich die anzahl der zu messenden radien..

also in meiner realität isdas nur eine optische täuschung.......

@tommy

hab eben erst deinen beweis von oben gesehn... ja so macht das sinn.