Die Summe aller natürlicher Zahlen ist -1/12

der sinn ist 42

switchy schrieb:S²=1-1+1-1+1-1.... jeh nachdem ob wir bei einer graden oder ungraden stelle aufhören bekommen wir 1 oder 0.
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Und je nachdem ob wir mit einer gerade oder ungeraden zahl anfangen bekommen wir -1 oder 0 oder +1 was annäherungsweise 0 gibt. Alle zahlen zusammen ergeben doch immer 0? gibt ja theoretisch gleich viele positive wie negative? Verstehs grad ned xD

Die Summe ist nicht konvergent (= divergent), es gibt also keinen "Endwert". Das ist der Punkt. Mit einer divergenten Folge wird im ersten Video eine Arithmetik betrieben, die man so nicht durchführen darf.

Bumbelbee schrieb:Ist das nicht das gleiche wie wen ich herausfinde das die Zahlenfolge von pi unendlich ist und dann einfach behaupte "Die Unendlichkeit ist Pi!", kommt im Grunde aufs selbe raus oder?

Hmpf? Inwiefern?

@Usul

Usul schrieb:Hmpf? Inwiefern?

Naja nach der Logik der Semantik sind beide Aussagen wenn sie alleine so dastehen falsch. Denn ohne den Weg der Herleitung bzw. die Beziehungen der Aussage hat sie eine andere Bedeutung.

@HYPATIA hat das ziemlich ordentlich erklärt finde ich.
Beitrag von HYPATIA (Seite 1)

S²=1-1+1-1+1-1.... jeh nachdem ob wir bei einer graden oder ungraden stelle aufhören bekommen wir 1 oder 0.
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Und je nachdem ob wir mit einer gerade oder ungeraden zahl anfangen bekommen wir -1 oder 0 oder +1 was annäherungsweise 0 gibt. Alle zahlen zusammen ergeben doch immer 0? gibt ja theoretisch gleich viele positive wie negative? Verstehs grad ned xD


Die Summe ist nicht konvergent (= divergent), es gibt also keinen "Endwert". Das ist der Punkt. Mit einer divergenten Folge wird im ersten Video eine Arithmetik betrieben, die man so nicht durchführen darf.

FALSCH. Die Folge ist zwar divergierend, Ihr kann aber mit mehreren mathematischen Methoden der Wert 1/2 zugeordnet werden. Sie dazu den englischen Wikipedia-Artikel "Summation of Grandi's series"

Genauso richtig ist die Annahme, dass die Summe 1-2+3-4+5-6 tatsächlich 1/4 gibt. Auch dazu gibt es zahlreiche Beweise. Siehe dazu den englischen Wikipedia-Artikel "1 − 2 + 3 − 4 + · · ·"

Auch wer Wikipedia in Frage stellt, wird leicht fündig. Beide Annahmen sind rigoros.

Daraus ergibt sich tatsächlich, dass die Summe 1+2+3+4+5+6... = -1/12 ist. Beweisbar durch die Analytische Fortsetzung, basierend auf der Riemannschen Zetafunktion.

Übrigens ist das Ergebnis von -1/12 Voraussetzung für die String-Theorie der Quantenmechanik.

Was sagt uns das ganze? Nicht jeder Bereich der Mathematk ist greifbar. Genausowenig verständlich wie o.g. Summe ist die Tatsache, dass es kleinere und größere Unendlichkeiten gibt (wer sich dafür interessiert: aleph ist das Stichwort).

1fcb schrieb:Übrigens ist das Ergebnis von -1/12 Voraussetzung für die String-Theorie der Quantenmechanik.

Hast du dazu mehr Infos.. :ask:

--> != =

@1fcb

Usul schrieb:FALSCH

Was ist falsch? Das man einer divergenten Summe einen Wert in einem bestimmten Sinne (z.B. Ramanuja Summation) zuordnen kann, habe ich schon weiter oben gesagt.

Ach du .... Wo bin ich jetzt gelandet :D?

Kann mir das jemand für Mathematik Anfänger erklären?
Oder in vereinfachter Form?

Aus dem Video werd ich auch ned so ganz schlau..

hier wird auf wissenschaftlicher ebene über sinnfreies Zeug diskutiert

Man kann einer Folge einen Grenzwert zuordnen... aber diese Zuordnung entspricht nicht dem Gleichheitszeichen in der Mathematik, folglich kann man auch nicht die Therme erweitern und umwandeln wie man gerade lustig ist, weil das Ergebnis mehrdeutig wird und man praktisch jedes Ergebnis bekommen kann was man will... die +1-1 Folge kann man nämlich auf mehrere Arten mischen...


S = +1 -1 +1 -1 -> 0,5
S2a ->+1(1) -1(1)+1(2)-1(2) -> 0,5

ODER

S2b-> +1(1)+1(2)-1(1)-1(2) -> 1

Folglich S2a S2b -> Widerspruch

qed

interpreter schrieb:S2b-> +1(1)+1(2)-1(1)-1(2) -> 1

den Beweis würde ich gerne sehen. :-)

Und doch, man kann der Folge 1-1+1-1+1... ein Ergebnis eindeutig zuordnen (und zwar ohne Umsortierung und Verschiebung unendlicher Reihen, was sicherlich nicht rigoros ist). Es gibt mindestens fünf verschiedene Methoden der Verifizierung (Abel Summation, Cesaro Summation, Berol Summation und und und), die zwingend 1/2 ergeben.

interpreter schrieb:S2a ->+1(1) -1(1)+1(2)-1(2) -> 0,5

ODER

S2b-> +1(1)+1(2)-1(1)-1(2) -> 1

Folglich S2a S2b -> Widerspruch

qed

Ich muss Einspruch gegen "qed" einlegen.

Übrigens ist das Ergebnis von -1/12 Voraussetzung für die String-Theorie der Quantenmechanik.

Hast du dazu mehr Infos.. :ask:

z.B. http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/24.pdf

@1fcb
Cool, danke.. :)

@1fcb

Ich habe dieser Aussage nicht widersprochen... ja man kann der Folge +1-1+1-1 den Wert 0,5 zuordnen...

ABER wenn man die Folgen mischt also aufeinander addiert, wie sie es in diesem Scheinbeweis gemacht haben kann man

S ->+1-1 +1-1
S -> +1-1 +1-1
zu
S2->+1-1+1-1+1-1+1-1 mischen (S2 = S)

ODER

S ->+1 -1 +1 -1
S -> +1 -1 +1 -1
zu
S2->+1+1-1-1+1+1-1-1 mischen (S2->1)

Wie du siehst entsteht hier durch die Methodik ein Widerspruch der die ganze Beweisführung zerstört.

Du darfst dabei nicht vergessen das die Zuordnung eines solchen Wertes EINSEITIG ist im gegensatz zum = Zeichen das zweiseitig ist.

aber 1/2 -/-> +1-1+1-1+1-1

Das funktioniert in der anderen Richtung nicht... daher kann man da auch kein Gleichheitszeichen verwenden wie die es einfach so gemacht haben und wie es auch für deren Beweisführung unerlässlich ist.

interpreter schrieb:Das funktioniert in der anderen Richtung nicht... daher kann man da auch kein Gleichheitszeichen verwenden wie die es einfach so gemacht haben und wie es auch für deren Beweisführung unerlässlich ist.

Dem stimme ich zu. Die im Video gezeigte "Beweisführung" ist natürlich kein Beweis im mathematischen Sinne. Aber die Beweise für die Summation der Grandi-Reihe auf 1/2 (und das ist die mathematisch korrekte Bezeichung für die unendliche 1-1+1-1+1... Reihe) sind rigoros, d.h. bewiesen.

Daher stelle ich nur die Aussage:

interpreter schrieb:S ->+1 -1 +1 -1
S -> +1 -1 +1 -1
zu
S2->+1+1-1-1+1+1-1-1 mischen (S2->1)

in Frage, die m.E. falsch ist, da genaugenommen nur 2 Ergebnisse richtig sind: unbestimmt oder zwingend 1/2, je nachdem welche mathematische Vorgehensweise gewählt wird, aber niemals 1.

@1fcb

Dir ist schon klar das ich da 2 Reihen im Reißverschlussverfahren aufeinander gemischt habe um eine Neue Reihe zu erzeugen oder?

aus 2 +1-1+1-1 Reihen kann man Reihen aufeinander addieren oder mischen wie sie es in diesem Beweis gemacht haben aber es gibt mehrere Methoden...

die erste, man mischt Term für Term

+1 ( von der ersten Reihe) +1 (von der zweiten Reihe) -1 ( von der ersten reihe) -1 (von der zweiten Reihe) und erhält somit eine zusammenaddierte Reihe die zwischen 1,2,1,0 osziliert und sich damit zu 1 ergibt...

oder man mischt die Terme in Zweiergruppen und erhält damit die ursprüngliche Reihe.

DAS ADDIEREN DER REIHEN ZUEINANDER ist widersprüchlich... nicht das berechnen eines Grenzwertes.

1fcb schrieb:Genauso richtig ist die Annahme, dass die Summe 1-2+3-4+5-6 tatsächlich 1/4 gibt. Auch dazu gibt es zahlreiche Beweise. Siehe dazu den englischen Wikipedia-Artikel "1 − 2 + 3 − 4 + · · ·"

Auch wer Wikipedia in Frage stellt, wird leicht fündig. Beide Annahmen sind rigoros.

Daraus ergibt sich tatsächlich, dass die Summe 1+2+3+4+5+6... = -1/12 ist. Beweisbar durch die Analytische Fortsetzung, basierend auf der Riemannschen Zetafunktion.

Also wenn

(1) 1-2+3-4+5-6... = 1/4

und

(2) 1+2+3+4+5+6... = -1/12

dann ist

(3) 1-2+3-4+5-6... > 1+2+3+4+5+6...
oder
(4) -(2+4+6...) > 2+4+6...
oder noch einfacher:
(5) -1 > 1

einfach faszinierend, was dabei herauskommt, wenn man mit divergierenden Reihen ebenso rechnet wie mit Zahlen!

geeky schrieb:(3) 1-2+3-4+5-6... > 1+2+3+4+5+6...
oder
(4) -(2+4+6...) > 2+4+6...
oder noch einfacher:
(5) -1 > 1

hahaha... der Beweis ist wirklich gut. Dafür gibts von mir +1 (das wiederum das -12-fache der in Frage stehenden Summe ist).

Um das ganze noch ein wenig weiter zu drehen:

geeky schrieb:(4) -(2+4+6...) > 2+4+6...

kann auch heißen -(2+4+6...) < 2+4+6...

wenn:
-(2+4+6+...) = -2 (1+2+3+4+5...)
und
(2+4+6+...) = 2 (1+2+3+4+5...)

dann (Trommelwirbel):
-(2+4+6...) > 2+4+6...
denn
-2(-1/12) > +2(-1/12)

jedoch zugleich:
-(2+4+6...) < 2+4+6...
denn
-1 < 1

Darum ist Mathematik so schön... es gibt immer nur eine Lösung, außer es gibt zwei oder unendlich viele.

Spaß beiseite: die Nutzung von >, < und = sind nur in endlichen, definierten Mengen erlaubte Operatoren.

@1fcb

1fcb schrieb:Spaß beiseite: die Nutzung von >, < und = sind nur in endlichen, definierten Mengen erlaubte Operatoren.

Darauf wollte ich hinaus. Das "ist" [gleich] im Treadtitel suggeriert nämlich etwas anderes. ;)

Das ist wie Schach nur ohne Würfel.