Das "Ziegenparadoxon" - anschauliche, einfache Lösung:

DalaiLotta schrieb:Und wenn du plötzlich dazu kommst, wechselst du ja nix, es wär ja deine "erste Wahl"

Es bleibt aber dabei dass zwei Personen ein absolut identisches System verschieden bewerten und beide gleichzeitig Recht haben.

Es gibt zwar ähnliche Phänomene bei relativistischen Vorgängen wo man sich ja schon daran gewöhnt hat dass beide Beobachter Recht haben, abhängig von ihrem Bewegungszustand, aber in diesem simplen Beispiel sträubt sich der "gesunde Menschenverstand" doch erheblich stärker.

Das Problem ist ja, dass zu dem Zeitpunkt wo Spieler B dazukommt sich absolut nix an der Verteilung unter den verbliebenen Toren ändert. Alles bleibt exakt wie es war, sie bewerten beide ein exakt gleiches System, und doch soll Spieler A die Wahrscheinlichkeit besser bewerten können, abhängig von Vorgängen die in der Vergangenheit stattfanden und abgeschlossen sind und somit eigentlich gar keine Relevanz mehr für die Voraussage der Zukunft haben sollten.

Wenn also Spieler A zu Spieler B sagen würde: "es gab noch 1 anderes Tor, aber das war leer" sollte sich demnach Spieler B´s Situation schlagartig verbessern. Aber nicht wenn der Moderator vorher einen Handstand gemacht hätte, oder eine Schatulle geöffnet, oder ein Geschenk ausgepackt? Nur wenn es ein 3. Tor gab was leer war. Ist das nicht seltsam?

In anderen Worten: Die Vorhersagekraft verbessert sich um 17% wenn man weiss dass es in der Vergangenheit etwas gab was aber gar keinen direkten Einfluss auf die momentane Situation hat. Es ist doch im Prinzip Schnee von gestern und ändert trotzdem die Prognosegenauigkeit.

Faszinierend!

uatu schrieb:Betrachten z.B. zwei Personen das Werfen einer Münze, von denen eine weiss, dass es sich um eine Trickmünze handelt, die auf beiden Seiten Zahl zeigt, wird diese Person das Ergebnis jedes Wurfs zu 100% richtig vorhersagen können, während die andere Person (unter der Annahme, dass sie statistisch gleichverteilt rät) das nur zu ca. 50% kann.

... wobei der "Nichtwisser" so etwa ab dem 10. Wurf mit "Zahl" hintereinander
langsam mistrauisch werden sollte ;)

passato schrieb:Alles bleibt exakt wie es war, sie bewerten beide ein exakt gleiches System,

Das System ist eben nicht für beide gleich. Spieler A hat zusätzlich die Info und die ist ca. 17 % zusätzlich Wert ...

Wenn Spieler (A) jetzt plötzlich einen Gedächtnisverlußt hätte und seine Wahl nicht mehr wüßte, wäre er auf einmal auch nur bei 50:50.

@passato:

passato schrieb:... dass es in der Vergangenheit etwas gab was aber gar keinen direkten Einfluss auf die momentane Situation hat.

Das stimmt nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B die "richtige" Tür wählt, setzt sich folgendermassen zusammen:



Das Ergebnis ist zwar 1/2, aber die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten fliessen dabei in die Berechnung ein.

passato schrieb:Also ist mein "gesunder Menschenverstand" immer noch bei 50/50 obwohl mein "mathematischer Menschenverstand" mittlerweile weiss dass es 66/33 ist.

Ich hatte somit leider noch nicht das direkte "Aha" Erlebnis von dem DalaiLotta sprach, vielleicht muss ich einfach noch ein paar mal spielen.

Sieh es mal so. Du wählst ein Tor von dreien. Das macht eine Chance von eins zu zwei oder 33,3[periode] Prozent Gesamtwahrscheinlichkeit. Und nun - bevor der Spielleiter ein Tor aufmacht! - entscheidest Du Dich, dieses eine Tor gegen die beiden anderen Tore zu tauschen. Damit verdoppelst Du Deine Gewinnchancen, also auf 2:1 bzw. 2/3. Und jetzt erst macht der Spielleiter eine Tür auf und bietet Dir den Wechsel an. Auch wenn Du jetzt nur eine Tür nehmen darfst, ist das dasselbe, als hättet Du beide Türen genommen.

Mr.Stielz schrieb:Es gibt keine echte Zusatzinformation.
Beim Ziegenproblem wählt man nicht zwischen zwei Türen, sondern zwischen zwei Mengen von Türen: einer 1-elementigen und einer 2-elementigen. Unabhängig von der Wahl im ersten Durchgang wird Dir der Moderator eine Niete präsentieren. Die gezeigte leere Tür dient lediglich der Verschleierung der Größe der Mengen.

Sauber erklärt.

passato schrieb:Und genau das ist der Punkt and dem mein gesunder Menschenverstand ausetzt:

Wir haben also zwei Spieler. A, der von Anfang an dabei war und B, der erst dazu kommt wenn nur noch 2 Tore übrig sind

Wir fragen beide: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3. Tor zu wählen

Spieler A sagt 66%

Spieler B sagt 50%

Und beide haben Recht?

"Faszinierend" hätte Spock gesagt.

Würdest Du dem späteren Kandidaten ein Tor als Ausgangsbesitz geben und ihm sagen, daß dieses Tor unter zuvor dreien ausgewählt wurde, hätte er, obwohl er später eingestiegen ist, wieder eine 2/3-Wahrscheinlichkeit auf den Hauptgewinn durch Wechsel. Nur, wenn er völlig frei wählen kann unter zweien, hat er ne 50/50-Chance.

passato schrieb:In anderen Worten: Die Vorhersagekraft verbessert sich um 17% wenn man weiss dass es in der Vergangenheit etwas gab was aber gar keinen direkten Einfluss auf die momentane Situation hat.

Es hat aber einen Einfluß auf die momentane Situation. Hast Du eine 1/3 ausgewählte Vorgabe, die Du nun wechseln darfst, oder hast Du nichts und mußt nun unter zweien eins wählen. Das ist ein deutlicher Unterschied. Ohne zu wissen, welches Tor unter dreien ausgewählt war und also nur eine 1/3-Gewinnchance hast, wirst Du dieses "schlechte Tor" genauso wahrscheinlich auswählen wie das "gute Tor", was die 2/3-Chance besitzt. Daher wird Deine Gewinnchance im statistischen Mittel aus 50% 1/3 plus 50% 2/3 bestehen, was zusammen 3/6 ergibt, also 50% (sehe grad, uatu hats schon geschrieben). Der Spieler von Anfang an, der stets wechselt, wird auch in 2 von 3 Fällen gewinnen. Er hat eine echte Information, sein Verhalten ist ein anderes als das des späteren, unwissenden Kandidaten.

perttivalkonen schrieb:Er hat eine echte Information, sein Verhalten ist ein anderes als das des späteren, unwissenden Kandidaten.

Das mit der "echten" Information sieht man auch bei der Aufgabe mit den zwei Briefumschlägen: Der Spieler, der Umschlag A gewählt hat, hat die Information, dass im anderen Umschlag "Das Doppelte oder die Hälfte" von dem ist, was in seinem Umschlag ist, woraus man rechnerisch einen positiven Erwartungswert für das Wechseln ableiten kann, aber das ist falsch, weil es keine "echte" Information ist - hätte er Umschlag B gewählt, wüsste er auch, dass im anderen Umschlag "Das Doppelte oder die Hälfte" ist, so kommt das (scheinbare) Paradox zustande, dass er ständig wechseln müsste, tatsächlich ist es aber egal welchen Umschlag er wählt.

Durch das Wählen eines Umschlags erhält er nicht tatsächlich eine neue Information über den Spielzustand, der Inhalt des zweiten Umschlags wird nicht wirklich "dynamisch" dadurch definiert welchen er zuerst wählt.

Das Ziegenproblem wird leichter intuitiv zu verstehen, wenn man statt 3 gleich 10 Tore nimmt.

1 Tor ist der Gewinn und 9 Tore sind leer. Spieler A wählt ein Tor, sitzt er jetzt eher auf einem Gewinn oder auf einem leeren Tor? - Ich würde sagen mit hoher Wahrscheinlichkeit auf einem leeren Tor.

Der Moderator öffnet daraufhin 8 andere Tore die leer sind. Spieler A sitzt immernoch auf dem gleichen Tor - was mit hoher Wahrscheinlichkeit leer ist.

=> Wechseln ist besser für die Gewinnchance

Und wenn Spieler B dazukommt? Wenn der nur die verbliebenen 2 Tore zur Wahl hat, dann kann er nur 50:50 raten. Aber wenn er weiß das Spieler A vorher auf Tor 1 gesetzt hat, mit den schlechten Chancen 1 Gewinn zu 9 Nieten, dann weiß er das Tor 1 von Spieler A mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Niete ist.

=> Wechseln ist besser für die Gewinnchance

Oder wenn man es sich mit Urne mit Losen zum ziehen von Nieten und Gewinnen vorstellt, und es gibt nur 1 Gewinn aber 100 Nieten. Spieler A darf ziehen und noch nicht öffnen. Dann werden alle Nieten aus der Urne entfernt bis auf ein Los.

Jetzt darf Spieler A entscheiden: Willst du das erste Los behalten oder lieber zum verbliebenen Los aus der Urne wechseln?
=> Wechseln zur Urne ist besser
Oder darf Spieler B entscheiden: Willst du das Los von Spieler A oder lieber das verbliebene Los aus der Urne?
=> Wechseln zur Urne ist besser

Jetzt machen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit kaputt, indem wir beide Lose wieder in die Urne werfen.
Spieler A und B dürfen aus 2 Losen ziehen, welches der beiden Lose ist besser?
=> Keines, weil man sie nicht mehr unterscheiden kann.

perttivalkonen schrieb:Auch wenn Du jetzt nur eine Tür nehmen darfst, ist das dasselbe, als hättet Du beide Türen genommen.

das ist auch eine sehr gute Veranschaulichung.

Aber damit taucht für mich gleich wieder ein neues Problem auf:

Nehmen wir die umgekehrte Situation an:

Spieler A hat also bei der ersten Wahl das Tor mit dem Hauptpreis gewählt anstatt einer Niete, er weiss es aber natürlich noch nicht.

Jetzt kommt B dazu mit seiner 50/50 Chance.

A würde jetzt immer noch wechseln, liegt damit aber falsch. In dem Fall wäre Spieler B ja sogar besser gestellt weil er nur in der Hälfte der Fälle wechseln würde.

Anders ausgedrückt: Wenn A in der ersten Runde genau gegensätzlich wählt wie im ersten Fall bleiben alle statistischen Gegebenheiten genau gleich wie vorher, aber das Ergebnis ist genau entgegengesetzt. Das krieg ich im Moment noch nicht alles übereinandergezogen.

frivol schrieb:Oder wenn man es sich mit Urne mit Losen zum ziehen von Nieten und Gewinnen vorstellt, und es gibt nur 1 Gewinn aber 100 Nieten.

Ja, bei vielen wird es sofort auch intuitiv klar. Nur bei 3 Karten habe ich die intuitive Erfassung nach DalaiLotta noch nicht vollziehen können.

passato schrieb:Ja, bei vielen wird es sofort auch intuitiv klar.

Der erste "Knackpunkt" ist dass man versteht warum durch Wechseln die Chancen besser werden.

Der zweite "Knackpunkt" ist dann, dass man nachvollzieht warum die Gewinnchancen mit Wechseln 2/3 sind und nicht etwas 1/2 :D

passato schrieb:A würde jetzt immer noch wechseln, liegt damit aber falsch. In dem Fall wäre Spieler B ja sogar besser gestellt weil er nur in der Hälfte der Fälle wechseln würde.

Anders ausgedrückt: Wenn A in der ersten Runde genau gegensätzlich wählt wie im ersten Fall bleiben alle statistischen Gegebenheiten genau gleich wie vorher, aber das Ergebnis ist genau entgegengesetzt. Das krieg ich im Moment noch nicht alles übereinandergezogen.

In diesem Fall wenn Spieler A zufällig den Hauptpreis gewählt hat, dann ist Spieler B mit 50/50 Chance besser dran.

Aber da es mehr Nieten als Preise zu Anfang gibt, sitzt Spieler A eher auf einer Niete.

Das heißt für den einen Fall wo Spieler A auf dem Preis sitzt, ist Spieler B 50/50 besser. Für alle anderen Fälle wo Spieler A auf einer Niete sitzt ist, ist Spieler B 50/50 aber schlechter. Einmal besser und viele male schlechter.

passato schrieb:Spieler A hat also bei der ersten Wahl das Tor mit dem Hauptpreis gewählt anstatt einer Niete, er weiss es aber natürlich noch nicht.

Jetzt kommt B dazu mit seiner 50/50 Chance.

A würde jetzt immer noch wechseln, liegt damit aber falsch. In dem Fall wäre Spieler B ja sogar besser gestellt weil er nur in der Hälfte der Fälle wechseln würde.

Das hat nichts mehr mit statistischer Wahrscheinlichkeit zu tun, wenn Du als Prämisse setzt "A ist der Hauptgewinn". In diesem Fall kann eine Wahrscheinlichkeitsanalyse logischerweise nichts ausrichten. In Sachen Wahrscheinlichkeit ist A nun mal nur in einem von drei Fällen die richtige Wahl.

Bitte berücksichtige das.

@bgeoweh, oh aber meinen allerherzlichsten Dank!
Da konnte ich meinem Groschen jetzt wirklich buchstäblich beim Rollen zuschauen, bis es "Klick" gemacht hat.

bgeoweh schrieb:das (scheinbare) Paradox

Du hattest es schon mal erklärt, nicht? Das hab ich jetzt echt in drei Stufen begriffen;
erst instinktiv, dann emotional (gerechtfertigt, kicher) und jetzt der Klick.
Geiles Gefühl. Metakognitiver Spaziergang.

passato schrieb:Die Vorhersagekraft verbessert sich um 17% wenn man weiss dass es in der Vergangenheit

Und wenn du das andere weißt, ändert es sich um, äh, Moment, noch mehr, entweder von den 50%, dann wären es 16%
oder 33%, wenn du vom Ursprung ausgehst.
Kannst du echt grad beides gleichzeitig sehen?
Wie durch ne Brille mit zwei verschiedenen Brennweiten?

(Und wenn du deinen "Blick" scharf stellen willst, kannste dich nicht entscheiden, ob du 16, 33 oder 17 nimmst?
Gottchen, ich krieg grad Kopfkino, wie du aus den 2 verschiedenen Brillen drei machst, weil dass mit und ohne die 0,3......
ja drei unbekannte Mengen sind!
Vor allem treffen sich da die beiden Rätsel auch schön, bei den "Brilllenmengen".)

Mr.Stielz schrieb:sondern zwischen zwei Mengen von Türen: einer 1-elementigen und einer 2-elementigen.

Wunderschön!
Als Kind in der 5. Klasse bekamen wir Mengenlehre und ich erinnere mich an eine Aufgabe, wo man auf einem in drittel geteilten Kreis entsprechend farbige Dinger rum schieben sollte.
Und ich hab mir nen Bierdeckel und 3 Spielfiguren geholt - und nicht verstanden, warum die Lehrerin so begeistert reagiert hat.

Das ist eher "intelligente Faulheit", die bei mir sehr ausgeprägt ist,
bzw. schon auch recht bewusstes Betrachten der Zusammenhänge eher als der Einzelteile.

Da bin ich auch froh, dass @perttivalkonen das nochmal wiederholt hat.
Und überhaupt nochmal beleuchtet.

Ich bin auch gar nicht mehr frustriert, dass ich da keine Statistik zusammen krieg; so rum ist auch gut.

@frivol, die "challenge" war aber doch, die 2/3 zu "sehen" und nicht nur das Steigen der Wahrscheinlichkeit.
Die ausgeschiedenen 8 "überzeugen" mich von der höheren Chance, aber an dem Punkt war ich ja auch schon bei den 50/50.
Das ist die Ebene von dem anderen Rätsel, dem falschen Paradoxon, wo man nur mitkriegen muss, wo die 0,3..... hin sind.

passato schrieb:Wenn A in der ersten Runde genau gegensätzlich wählt wie im ersten Fall bleiben alle statistischen Gegebenheiten genau gleich wie vorher, aber das Ergebnis ist genau entgegengesetzt.

Weil das, was du da vor Augen hast, einmal passieren kann und das andere zweimal.
Du hältst die "Mengen" nicht auseinander, wenn ich das mal so sagen darf.
Wenn du bei dem "Unterschied" bist, hast du das Problem mit den 16+17, den Unterschied von 33% zu dem Drittel.
Sozusagen, @perttivalkonen kann den Teil bestimmt besser.

frivol schrieb:Das heißt für den einen Fall wo Spieler A auf dem Preis sitzt, ist Spieler B 50/50 besser. Für alle anderen Fälle wo Spieler A auf einer Niete sitzt ist, ist Spieler B 50/50 aber schlechter. Einmal besser und viele male schlechter

Ja, deswegen nähert man sich ja erst bei einer genügend grossen Anzahl von Versuchen dem Grenzwert 66% an.

Bei einzelnen Versuchen kann man tatsächlich daneben liegen.

Und genau an diesem Punkt hat bei mir die intutitive Erfassung noch nicht geklappt als ich es konkret nachgespielt habe. In der tatsächlichen Situation, wenn man entscheiden muss ob man bleibt oder wechselt hatt ich noch nicht "instinktiv" das Gefühl, dass die andere Karte die grösseren Chancen hat. Es hat sich eher so angefühlt als wäre es die 50/50 Chance. Und das war ja die ursprüngliche Frage von DalaiLotta.

perttivalkonen schrieb:wenn Du als Prämisse setzt "A ist der Hauptgewinn"

Das hast du falsch verstanden, A ist in meinen Beispielen immer der Spieler A, der von Anfang an dabei ist.

DalaiLotta schrieb:Weil das, was du da vor Augen hast, einmal passieren kann und das andere zweimal.

Richtig, genau das ist die Lösung, aber die hatte ich, wie gesagt, in der konkreten Situation, bei der 2. Entscheidung, nicht "instinktiv" auf dem Schirm. Man kann es wohl erst mal nur "Wissen" anstatt es zu "Fühlen". Die Frage ist ob man sich dieses Gefühl antrainieren kann, ich versuche es besser morgen noch mal.

@passato:

passato schrieb:Die Frage ist ob man sich dieses Gefühl antrainieren kann, ich versuche es besser morgen noch mal.

Die m.E. weitaus beste Methode dazu ist die hier schon mehrfach vorgeschlagene Erhöhung der Zahl der Türen, z.B. auf 100.

passato schrieb:Das hast du falsch verstanden, A ist in meinen Beispielen immer der Spieler A, der von Anfang an dabei ist.

Bla. Es ging dennoch darum, daß Du als Prämisse gesetzt hast, daß jenes zuerst ausgewählte Tor das richtige sei. Méine Ausführung bezog sich - deutlich erkennbar! - darauf, egal, ob Du das jetzt A genannt hättest oder eben nicht.

Aber darauf bist Du nicht eingegangen. Mein

perttivalkonen schrieb:Bitte berücksichtige das.

blieb leider ungehört.

passato schrieb:ob man sich dieses Gefühl antrainieren kann,

Bloß nicht!
Bist du Jeck? Warum willst du dir nen Knoten in´s Hirn machen, genau da, wo dein Instinkt dafür liegt, was richtig sein müsste?
´Tschuldige mal, aber das ist doch wie "ob man verliebt ist, merkt man daran, dass man´s merkt".

Es geht ja nicht darum, ob du als Mensch in der Lage bist, eine Wahrheit zu machen, sondern sie zu erkennen.
Also bitte. Trainieren....

Trainieren kannst du nur deine Aufmerksamkeit, nicht deine Faulheit, ätsch.
Hab Geduld mit dir, wenn du schon was trainieren willst.
Und mit mir gleich mit.

Schau dir das mit den "3 Brillen" noch mal an, wenn du ernsthalft solche Überlegungen machst.

Ich hab nicht "gemessen", ich hab die Zusammenhänge betrachtet; 0,5 sind 1/2,
aber beim Dritteln können andere Sachen passieren - wenn du mit Dezimal mischst.

Mir geht grad noch folgender Fall durch den Kopf:


Schritt 1) A wählt - wie gehabt - eine aus drei Türen

Schritt 2) Nun würde der Moderator eine der beiden anderen Türen öffnen,
hinter der kein Gewinn ist.
Dieser Schritt 2) wird geändert und dafür darf Spieler B eine der übrigen 2 Türen wählen.

Schritt 3) Erst jetzt öffnet der Moderator die letzte verbleibende Tür
und man sieht, dass dort kein Gewinn dahinter ist.

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Hat nun Spieler B eine größere Chance, dass hinter seiner gewählten Tür der Gewinn ist?


Grund:
(Die Tür von Spieler B hätte ja Spieler A gewählt, um eine bessere Gewinnwahrscheinlichkeit zu haben, wenn das Spiel normal verlaufen wäre)