Das "Ziegenparadoxon" - anschauliche, einfache Lösung:

delta.m schrieb:Hat nun Spieler B eine größere Chance, dass hinter seiner gewählten Tür der Gewinn ist?

Das lässt sich leicht mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeiten beantworten:

Spieler A hat nach wie vor die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3, denn an seiner Ausgangssituation aus der 1. Runde hat sich ja nichts geändert.

Jetzt gibt es ja nur noch die Situation, dass A oder B gewinnt (denn eine der Türen ist auf jeden Fall der Gewinn, denn der Moderator nimmt ja eine Niete raus). Die Gewinnwahrscheinlichkeit muss sich also insgesamt zu 1 addieren, und da wir wissen dass davon Spieler A 1/3 "besitzt" müssen die 2/3 Rest-Gewinnwahrscheinlichkeit auf Spieler B entfallen.

Das gilt aber nur, weil mit diesem Satz:

delta.m schrieb:Schritt 3) Erst jetzt öffnet der Moderator die letzte verbleibende Tür
und man sieht, dass dort kein Gewinn dahinter ist.

festgelegt ist, dass einer der beiden Spieler ein Gewinner sein muss.

Gegenfrage: wie sehen die Chancen für Spieler B aus, wenn der Moderator einfach nur auflöst, d.h. wenn die letzte Tür nicht automatisch eine Niete ist? :troll:

bgeoweh schrieb:Die Gewinnwahrscheinlichkeit muss sich also insgesamt zu 1 addieren, und da wir wissen dass davon Spieler A 1/3 "besitzt" müssen die 2/3 Rest-Gewinnwahrscheinlichkeit auf Spieler B entfallen.

Hmmmm,

Angenommen, der Moderator macht die letzte Tür nicht auf:
dann haben doch Spieler A und B jeweils 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit.
Und nur, weil jetzt die 3. Tür doch geöffnet wird, erhöht sich schlagartig für Spieler B die Gewinnerwartung???

Wo liegt da mein Denkfehler?

bgeoweh schrieb:Gegenfrage: wie sehen die Chancen für Spieler B aus, wenn der Moderator einfach nur auflöst, d.h. wenn die letzte Tür nicht automatisch eine Niete ist? :troll:

Die Lösung hier im Spoiler:

SpoilerMan könnte naiverweise kurz annehmen, dass Spieler B in dem Fall ein "eigenes" Spiel mit 50:50-Chance auf den Gewinn hat, aber dem ist nicht so:

Spieler B hat tatsächlich eine 50:50-Chance zu gewinnen, aber nur für den Fall, das Spieler A eine Niete gewählt hat und der Gewinn überhaupt noch im Spiel ist. Die Chance hierfür beträgt 2/3, ergibt eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/2*2/3 = 1/3

Für den Fall, dass Spieler A bereits die Gewinntür gewählt hat (Wahrscheinlichkeit 1/3) erhält Spieler B eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0

Es ergibt sich also, dass beide Spieler die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3 haben

delta.m schrieb:Wo liegt da mein Denkfehler?

Der Denkfehler ist dass du übersiehst dass "Macht die Tür auf" und "Macht die Tür auf und zeigt eine Niete" zwei unterschiedliche Ereignisse sind ;) Betrachte im "Macht die Tür auf"-Fall einfach den Moderator als den 3. Spieler, der das letzte Drittel Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Im Fall "Macht die Tür auf und enthüllt eine Niete"-Fall hat er Gewinnwahrscheinlichkeit 0.

delta.m schrieb:Angenommen, der Moderator macht die letzte Tür nicht auf:
dann haben doch Spieler A und B jeweils 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit.
Und nur, weil jetzt die 3. Tür doch geöffnet wird, erhöht sich schlagartig für Spieler B die Gewinnerwartung???

Wo liegt da mein Denkfehler?

Die erstgewählte Tür hat doch nur eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3. Also haben vor dem Öffnen der einen Tür, die ne Niete ist, die beiden nichtgewählten Türen zusammen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3.

Wieso sollte diese Gewinnwahrscheinlichkeit nun wieder auf 1/3 schrumpfen, nur weil der Spielleiter jene eine Nietentür öffnet? Es bleibt doch dabei, daß die erstgewählte Tür nur 1/3 Wahrscheinlichkeit besitzt - wegen der Ausgangsbedingung, unter der sie ausgewählt wurde. Die ungeöffnete der beiden nichtgewählten Türen behält die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 der anfangs zwei ungeöffneten Türen.

Und wenn der Spielleiter nun die dritte Tür nicht öffnet, bleibt es eben bei der Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3. Eine geöffnete Tür hat keine Wahrscheinlichkeit mehr, sondern ist entweder Niete oder Hauptgewinn. Und ne Gesamtwahrscheinlichkeit muß stets 1 sein, was aber nicht geht, wenn Du 1/3 und 1/3 addierst. Geht nur mit 1/3 und 2/3.

Du kannst auch nicht sagen: wenn der Spielleiter eine Nietentür öffnet, dann erhöht sich die Gewinnwahrscheinlichkeit beider ungeöffneten Türen automatisch auf 1/2. Würde man zwar annehmen, aber nur, wenn man erst nach dem Öffnen der einen Nietentür wählen dürfte.

Wenn ich unter zwei Türen wählen kann, werd ich im Schnitt jedes zweite Mal den Gewinn erzielen. Wähle ich unter drei Türen, dann eben nur in jedem dritten Fall. Wenn nun der Spielleiter nach meiner Wahl unter dreien eine der beiden verbliebenen Türen öffnet, führt das doch nicht wie durch Zauberhand dazu, daß ich beim Wählen unter drei Türen jedes zweite Mal die richtige Tür gewählt haben werde. Es bleibt doch bei einem von drei Fällen. Also muß in zwei von drei Fällen die ungeöffnete dritte Tür den Preis verbergen. Egal, ob der Spielleiter diese Tür nun öffnet oder nicht.

Es gibt da keine gleichen Chancen für Spieler A und B. Spieler A, der am Anfang eine von drei Türen gewählt hat, kann durch Bleiben oder Wechseln eine Gewinnchance von 1/3 oder von 2/3 haben, und Spieler B, der erst nach dem Öffnen einer Nietentür auswählt, kann nur ne 50/50-Chance haben (sofern ihm nicht gesagt wird, wie das Spiel funzt und welche Tür zuerst ausgewählt wurde).

@bgeoweh
@perttivalkonen

Danke euch beiden für die Erklärungen.
Ich muß mir das morgen noch mal genau durchlesen und überdenken.

gn8 :merle:

Ich muss da kurz ein wenig ausholen - es geht mir ja immer noch um das "Kontra", bzw. "Intuitive".

passato schrieb:Es gibt zwar ähnliche Phänomene bei relativistischen Vorgängen wo man sich ja schon daran gewöhnt hat dass beide Beobachter Recht haben,

Als ich das zuerst las, dachte ich an "Intersektionaliät", die Tatsache unserer unterschiedlichen Erwartungshaltungen. Und das hier:

passato schrieb:abhängig von ihrem Bewegungszustand,

hat das ja noch bestätigt.

Aber damit ist ein "logisches Rätsel" gemeint, nicht?
(Ich kann mich dunkel erinnern, nicht genug zum googeln, wäre froh über einen "Namen")

Möglicherweise irre ich jetzt also in den Details, aber soweit ich das erinnere, geht es da um "unvereinbare Muster".
Beim Halbieren merkt man es nicht gleich (0,5 = 1/2), aber schon bei Dritteln ist es anders, wenn die 0,3333333333333... ins Spiel kommen.

Ungenauigkeit, die Schwester der Wahrscheinlichkeit.
In Zahlen übersetzt gerät man da in Teufels Küche (ich, @perttivalkonen nicht,)
als "(Strick)Muster" sind beide praktikabel, aber man muss beim Kommunizieren beachten, ob man grade häkelt oder strickt.

passato schrieb:Man kann es wohl erst mal nur "Wissen" anstatt es zu "Fühlen". Die Frage ist ob man sich dieses Gefühl antrainieren kann,

Ich nehm das "bloß nicht!" zurück; aber wichtig ist, ein "instinktives Fühlen" vor dem "Wissen" anzusiedeln. (Du "fühlst" auch hinterher, ob dieses Wissen jetzt das Richtige ist, in deinem Kontext; aber zuerst, vor dem Wissen, ist da der "Instinkt" für die Richtung, in die du dich orientierst. Das ist noch kein "Wissen", nur die "Orientierung".
Du trainierst aber nicht den Weg, sondern deine Beine. Und auf "das Ziel" zu trainieren geht auch nur indirekt durch Geduld und Aufmerksamkeit. (Fleiß wird überbewertet, es sind immer zwei Ziegen. SpoilerUnd wir haben ein Gefühl für "das Auto, das zu uns passt")

Ich lass die "Straßenmarkierungen" mal links liegen ("Bitte beachte das!") und geh, "back to the roots" nochmal auf meinen "Versuchsaufbau" ein, der war noch zu "verspielt":
2 Schwarze und eine Rote - diesmal legen wir uns mehr fest:
die Rote links außen, die beiden Schwarzen rechts daneben.
Du ziehst keine, sondern gehst von links nach rechts.
Du erzielst zuerst einen Treffer, egal, welche Ziege raus geholt wird, du hast dein Auto im Sack.
Beim nächsten Mal das Gegenteil - beim übernächsten Mal auch.
Fertig.

Du könntest, bzw. du darfst, das so oft durchspielen, wie du magst - aber diese "Versuche" zählen nicht mehr.
Weil wir "das Reich der Zahlen" verlassen haben und uns im "Königreich der Mengenlehre" befinden.
(Ich spreche jetzt zu deinem Bauch, nicht deinem Verstand.
Vergiss den "König", ich glaub ich bin höllisch beeindruckt von Perrti.)

Punkt ist, dass es zwei "verschiedene Bereiche" sind: die Menge mit dem einen Gewinn
und die Menge mit den möglichen und den unmöglichen Möglichkeiten.

Denn ein "Punkt" hat den Radius Null, er existiert nur in Abhängigkeit zu dem, was er misst.
Und das ist hier nicht die Menge der Zahlen, sondern die der Möglichkeit, eine andere "Dimension im Raum".
(Wär unser Rätsel ein Auto, wäre es kein Karren, den man hinter Ziegen spannt, sondern ein Mehrachser. Richtig fettes Teil.)

Bekommst du so "festeren Grund unter den Füßen", @passato?

Schön find ich auch das Gefangenenparadoxon. Ist praktisch dasselbe in grün längsgestreift (oder auch: orange). Aber ich fand diese Version (übrigens von 1959, also älter als das Quiz mit der Ziege von 1975) noch schwieriger zu durchschauen.

Drei zum Tode verurteilte Gefangene – Anton, Bernd und Clemens – befinden sich in Einzelzellen, als der Gouverneur entscheidet, einen von ihnen zu begnadigen. Er schreibt ihre Namen auf drei Papierzettel, schüttelt die Zettel in einem Hut durcheinander, zieht einen heraus und teilt den Namen des Glücklichen dem Gefängniswärter telefonisch mit, diesen darum bittend, diese Information noch mehrere Tage geheim zu halten. Gerüchte davon erreichen Anton. Als der Wärter seine morgendliche Runde macht, versucht Anton ihn zu überreden, ihm mitzuteilen, wer begnadigt wird. Der Wärter weigert sich.

„Dann nenne mir“, sagt Anton, „den Namen eines der anderen, der hingerichtet wird. Wenn Bernd begnadigt wird, nenne mir Clemens; falls Clemens begnadigt wird, nenne mir Bernd. Wenn ich begnadigt werde, dann wirf eine Münze, um zwischen Bernds und Clemens’ Nennung zu entscheiden.“

„Aber wenn du siehst, wie ich eine Münze werfe“, erwidert der Wärter, „wirst du wissen, dass du der Begnadigte bist. Und wenn du siehst, dass ich keine Münze werfe, dann weißt du, dass der Nichtgenannte begnadigt wird.“

„Dann teile es mir nicht jetzt“, sagt Anton, „sondern morgen mit.“

Der Wärter, der wenig über Wahrscheinlichkeitstheorie weiß, denkt in der Nacht darüber nach und entscheidet, der von Anton vorgeschlagenen Prozedur zu folgen, in der Annahme, er würde ihm keine Hilfe zur Abschätzung seiner Überlebenschancen geben, wenn Anton nicht wisse, ob er die Münze geworfen habe. Am nächsten Morgen teilt er Anton mit, dass Bernd hingerichtet wird.

Nachdem der Wärter verschwunden ist, lächelt Anton über dessen Dummheit: Entweder Clemens wird begnadigt oder er selbst, sodass seine Überlebenschance von 1⁄3 auf 1⁄2 gestiegen sei.

Der Wärter weiß nicht, dass Anton mit Clemens, der in der Nachbarzelle sitzt, kommunizieren kann, indem er Klopfzeichen über eine Wasserleitung gibt. Er teilt ihm alles haargenau mit, was er mit dem Wärter besprochen hat. Clemens ist gleichermaßen erfreut über die Neuigkeiten, weil er aus den gleichen Gründen wie Anton daraus schließt, dass seine Überlebenschancen ebenfalls auf 1⁄2 gestiegen sei.

Schätzen die beiden Gefangenen ihre Chancen korrekt ein? Falls nicht, wie sollte jeder seine Chancen, begnadigt zu werden, berechnen?

Hier wird die die verborgene Tür C zu einem denkenden Menschen, der über sich selbst reflektiert. Von diesem aus betrachtet fand ich es plötzlich nicht mehr so glasklar wie bei der Tür C, in die ich mich nicht hineinversetzen "mußte". Gefühlt hätte ich nun aus gesagt - was macht es denn für einen Unterschied, daß Clemens ne doppelt so hohe Überlebenswahrscheinlichkeit haben sollte als Anton, wo sie doch beide nur dasselbe erfahren haben?

Aber sie haben nicht dasselbe erfahren. Und genau das ist der Knackpunkt, der den Chancen-Unterschied bedeutet. Und er ist gemein versteckt.

Anton wußte, daß sein Name vom Wärter nicht genannt wurde, Clemens wußte dies nicht. In 50% aller möglichen Fälle hätte er seinen eigenen Namen hören müssen. Ist A der Begnadigte, wäre die Wahrscheinlichkeit, daß C benannt würde, 50/50, ists B: 100%, im Falle C: 0%; summa summarum: 50%.

Auch hier hilft der Vergleich mit einer Begnadigung unter 100 Todeskandidaten. Hierfür hätte der Wärter dem Anton gleich 98 Namen von "Verlierern" genannt, damit Anton glauben könnte, er hätte nun eine 50/50-Chance. Aber für den lauschenden Clemens hätte dies bedeutet, daß er seinen Namen fast unter Garantie hätte hören müssen. Jedenfalls in 98 von 99 Fällen, in denen ein anderer der 99 Nicht-Antons der Begnadigte ist. Wenn also Clemens' Name nicht genannt wird, ist es nicht ganz, aber doch fast hundertprozentig sicher, daß es daran liegt, weil er der Begnadigte ist.

Anton bleibt also auf seiner einprozentigen (einer von 100) Überlebens-Chance sitzen, während Clemens, weil sein Name nicht genannt wird, von seiner anfänglichen 1 schlagartig auf satte 99% Chance auf Begnadigung gestiegen ist. Clemens hat ein Auswahlverfahren bereits bestanden, welches Anton nicht durchgemacht hat. Deswegen hat er sämtliche 1%-Chancen aller genannter Delinquenten "übernommen". Anton bleibt bei 1%, aber Clemens hat 99%; sein 1% und das 1% aller 98 unglücklichen Genannten.

perttivalkonen schrieb:schwieriger zu durchschauen.

Echt jetzt?

Bei mir war´s lustig, weil ich kurz vor der eigentlichen Frage den Gedanke hatte, dass sich die Chancen von A halbiert hätten, durch´s erzählen. Also der Gedanke blitzte auf und wurde gleich als Unsinn abgetan.

Natürlich hab ich die Beschreibung gelesen und nicht selber ausgeknobelt - aber dann musste ich ja nur noch "die Vorzeichen ändern": dass sich die Chancen vergrößern und dies bei C, nicht bei A., sondern durch ihn.

Ich mag auch dieses Rätsel sehr:
Ein Mann kommt an zwei Türen, eine führt zum Himmel, die andere in die Hölle.

Vor den Türen sitzen zwei Brüder: einer lügt immer, der andere sagt immer die Wahrheit, es ist aber unklar, welcher welcher ist.

Wie muss man fragen, um die richtige Tür rauszufinden?

(Zumindest bei mir war die Lösung dieser Frage (das Prinzip) auch bei der Beantwortung des Gefangenenparadoxons hilfreich.)
Ich kannte das Rätsel schon als Kind, es wurde in einer Folge von "Raumschiff Enterprise" benutzt, um einen feindlichen Computer zum durchbrennen zu bringen.
Und später begegnete es mir bei Watzlawick, der damit erläutert, dass der Empfänger den Inhalt der Botschaft (mit)bestimme.

Die Lösung:
Spoiler"Was würde dein Bruder sagen?" (z.B. für Himmel). Und dann die andere Tür nehmen.
Auf diese Frage bekommt man immer die Lüge zu hören, egal, von welchem Bruder.

Eine Parallele auch zum Ziegenparadoxon sehe ich beim Umgang mit "menschlichen Schwächen".
Man blendet die Möglichkeit zu irren oder angelogen zu werden lieber aus, statt Strategien zu entwickeln.

Ich verstehe die Diskussion, die Kontroversen und die Knoten, die man sich ins Hirn machen kann, wenn man es zu kompliziert angeht.

Dabei ist es letztlich ganz einfach, finde ich, wenn man einen Schritt zurück tritt:

a) Beim ersten Mal wähle ich eins aus drei Toren = Gewinnchance 1/3.
b) Beim zweiten Mal eins aus zwei Toren = Gewinnchance 1/2.

Da die Vorgänge aber zusammengehören - ich darf ja zweimal auf denselben Gewinn wählen - muss ich (a) und (b) nur addieren.

1/3 + 1/2 = 2/3

So jedenfalls rechne ich das :)

Ich frage mal hier einfach mal in die Runde, etwa @perttivalkonen oder @Mr.Stielz oder ...

Polyphono schrieb:1/3 + 1/2 = 2/3

So jedenfalls rechne ich das :)

Nimm in Zukunft lieber den Taschenrechner :D

Polyphono schrieb:1/3 + 1/2 = 2/3

1) 1/3 + 1/2 = 5/6 (= 2,5/3, nicht 2/3)
2) Beim Wechsel geht die durch die erste Wahl erreichte Gewinnwahrscheinlichkeit verloren und kann nicht hinzuaddiert werden. Nach dieser Logik - und richtiger Addition - wäre ein Spiel mit vier Toren und drei Ziegen, bei dem man zwei mal wechseln darf und vor jedem Wechsel ein Ziegentor geöffnet wird, die Gesamtsumme 1/4 + 1/3 + 1/2 = 13/12. Damit wäre das zuletzt gewählte Tor mehr als garantiert das Gewinner-Tor, und zwar völlig egal, welches der beiden verbliebenen ich nehme.

ach, sind ja 5/6

ich nehme alles zurück hahaha

@perttivalkonen
Ja, absolut richtig!

perttivalkonen schrieb am 07.03.2021:Daß eine Tür zwischenzeitlich geöffnet wurde, minimiert die doppelte Chance beim Wechsel nicht, denn mit meiner Ausgangswahl hab ich mich auf 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit festgelegt, und das ändert sich auch nicht mehr. Der Wechsel bleibt stets der zu den 2/3.

Ist das nicht überhaupt der Grund, warum es sich lohnt, zu wechseln? Würde der Moderator keine der Türen aufmachen, würde sich ein Wechsel auch nicht lohnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter deiner gewählten Tür das Auto ist, ist ja 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, das hinter einen der beiden anderen das Auto ist, ist 2/3. Ohne das öffnen einer der Türen, die nicht ausgewählt sind, wären die 2/3 für den Wechsel nicht mehr gegeben, da sich die Wahrscheinlichkeit auf die beiden anderen Türen aufteilt. Also wieder 1/3.

@biggerthinker

Sieh es mal so. Nachdem ich eine Tür gewählt habe, darf ich nun wechseln und nicht nur eine, sondern beide verbliebene Türen nehmen. Damit erhöhe ich doch meine Gewinnchancen von 1/3 auf 2/3. Nachdem ich mich in Gedanken zu diesem Wechsel entschieden habe, öffnet der Spielleiter nun eine dieser beiden Türen und fragt mich jetzt erst, ob ich wechseln will. Aber ich habe bereits in Gedanken gewechselt und mich für beide Türen und damit die 2/3-Wahrscheinlichkeit entschieden. Also sag ich jetzt laut "ich wechsle". Wieso aber sollte jetzt meine 2/3-Chance auf nur 1/3 schrumpfen, bloß weil der Spielleiter eine der beiden Türen, die unter Garantie ne Niete sein muß, öffnet? Von meiner 2/3-Chancen-Wahl mußte ja eine Tür ne Niete sein, und der Spielleiter wußte, welche. Dennoch hab ich zweit Türen von dreien gewählt und damit die 2/3-Chance.

Ich kann aus ner Lostrommel (Tombola mit einem einzigen Gewinn) entweder ein Los nehmen oder zwei. Da nehm ich doch lieber zwei, auch wenn ich zuvor eines genommen hab und für die Chance, zwei nehmen zu dürfen, das zuerst gezogene ungeöffnete Los wegwerfen muß. Wenn nun der Lotterie-Inhaber von außen sehen kann, welches meiner beiden gezogenen Alternativ-Lose ne Niete ist, und diese nun vor meinen Augen öffnet, hab ich dennoch die doppelt hohe Gewinnchance durch meinen Loswechsel.

perttivalkonen schrieb:Sieh es mal so. Nachdem ich eine Tür gewählt habe, darf ich nun wechseln und nicht nur eine, sondern beide verbliebene Türen nehmen. Damit erhöhe ich doch meine Gewinnchancen von 1/3 auf 2/3. Nachdem ich mich in Gedanken zu diesem Wechsel entschieden habe, öffnet der Spielleiter nun eine dieser beiden Türen und fragt mich jetzt erst, ob ich wechseln will. Aber ich habe bereits in Gedanken gewechselt und mich für beide Türen und damit die 2/3-Wahrscheinlichkeit entschieden. Also sag ich jetzt laut "ich wechsle". Wieso aber sollte jetzt meine 2/3-Chance auf nur 1/3 schrumpfen, bloß weil der Spielleiter eine der beiden Türen, die unter Garantie ne Niete sein muß, öffnet? Von meiner 2/3-Chancen-Wahl mußte ja eine Tür ne Niete sein, und der Spielleiter wußte, welche. Dennoch hab ich zweit Türen von dreien gewählt und damit die 2/3-Chance.

Ich kann aus ner Lostrommel (Tombola mit einem einzigen Gewinn) entweder ein Los nehmen oder zwei. Da nehm ich doch lieber zwei, auch wenn ich zuvor eines genommen hab und für die Chance, zwei nehmen zu dürfen, das zuerst gezogene ungeöffnete Los wegwerfen muß. Wenn nun der Lotterie-Inhaber von außen sehen kann, welches meiner beiden gezogenen Alternativ-Lose ne Niete ist, und diese nun vor meinen Augen öffnet, hab ich dennoch die doppelt hohe Gewinnchance durch meinen Loswechsel.

Kann es sein, dass wir aneinander vorbei reden? :D
Ich meine, wenn du eine Tür wählst und der Gamemaster keine der anderen beiden Türen öffnet und dir aber den Wechsel anbietet. Da du ja geschrieben hast, das minimiert die Chance nicht, ist aber eigentlich überhaupt erst der Grund, warum die Chance sich bei einem Wechsel erhöht. Die Chance liegt bei dir 1/3, bei den anderen Türen zusammen 2/3. Jede einzelne hat aber weiterhin die Wahrscheinlichkeit von 1/3, genau wie die, die du gewählt hast. Dadurch, dass er eine der beiden öffnet, geht die 2/3 Wahrscheinlichkeit auf die Tür "über", die noch zu ist. Wenn er keine öffnet, dann ist deine Chance nach wie vor 1/3. Weil du jetzt wieder die Möglichkeit hast, zwischen zwei Türen bei einem Wechsel zu wählen. Und wenn zwei Türe von 3 zusammen eine Chance von 2/3 haben, und du aber eine nur davon wählen kannst, dann ist die Chance wiederum 1/3. Wenn man aber durch das Öffnen weiß, in welche der beiden Türen jetzt die Niete ist, die ungeöffnet zusammen eine Chance von 2/3 haben das Auto zu enthalten, dann bleibt nur noch eine Tür übrig, zu der du wechseln kannst, erst dadurch erhöht sich die Chance.

Du musst dir das so vorstellen: 1/3 für dich, 2/3 für den Gamemaster. Würde er dir anbieten, die beiden anderen Türen gleichzeitig öffnen zu dürfen bei einem Wechsel und deine erste Wahl aufzugeben, würde es ja jeder sofort machen. Dadurch, dass er aber eine Niete öffnet, ist das so, als würdest du die beide Türen gleichzeitig auswählen können. Deswegen ist die Chance jetzt 2/3. :)

Ob du in deinem Kopf dich schon vor dem Angebot für einen Wechsel entschieden hast oder nicht spielt ja keine Rolle.

biggerthinker schrieb:Kann es sein, dass wir aneinander vorbei reden? :D

Ja, hast recht.

biggerthinker schrieb:Die Chance liegt bei dir 1/3, bei den anderen Türen zusammen 2/3. Jede einzelne hat aber weiterhin die Wahrscheinlichkeit von 1/3, genau wie die, die du gewählt hast. Dadurch, dass er eine der beiden öffnet, geht die 2/3 Wahrscheinlichkeit auf die Tür "über", die noch zu ist.

Yepp, korrekt. Äääh fast korrekt. Denn: die ursprüngliche 1/3-Chance der geöffneten Ziegen-Tür geht durch ihr Geöffnetwerden = Ausscheiden über zur anderen, zur nichtgeöffneten Tür. Gäbe es vier Türen, so hätte die erste Türwahl ne Gewinnchance von 25%, die restlichen Türen hätten mit ihren je 25% zusammen eben 75%. Öffnet der Spielmeister nun nur eine Tür der drei, so geht deren 25%-Wahrscheinlichkeit zu gleichen Teilen auf die verbliebenen Nicht-erstwahl-Türen, die dann beide je 37,5% Chance auf den Hauptgewinn besäßen. Erst, wenn er nun noch ne Tür aufmacht, vereint die letzte verbleibende Tür die vollen 75% auf sich. Aber eben nicht, indem da ganze 75% wandern, sondern indem die Einzelwahrscheinlichkeit der Einzeltür sich auf den Rest der noch verschlossenen Türen verteilt. Die Gesamtwahrscheinlichkeit der zunächst nichtausgewählten Türmenge bleibt die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pools möglicher (also noch geschlossener) Türen, die, wenn es mehrere sind, sich diese Gesamtwahrscheinlichkeit gleichmäßig teilen.

biggerthinker schrieb:Wenn er keine öffnet, dann ist deine Chance nach wie vor 1/3. Weil du jetzt wieder die Möglichkeit hast, zwischen zwei Türen bei einem Wechsel zu wählen.

Für ein Spiel ergibt das überhaupt keinen Sinn, da sich zwischen Erstwahl und Zweitwahl nichts, aber auch rein gar nichts geändert hat. Streng genommen wähle ich auch nicht aus zwei Türen mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 2/3, sondern ich wähle nur ein zweites mal aus drei Türen mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 3/3. Denn die Möglichkeit, nicht zu wechseln, habe ich ja auch.

Hätte ich keine Möglichkeit zum Wechseln, wäre das Spiel dies, daß ich zuerst eine Tür wählen soll, die aus dem Rennen genommen wird, und muß mich dann zwischen den verbliebenen Türen für eine entscheiden. Was dann auch nur eine Version des "ich wähle eine einzelne Tür ab" ist. Dieses Spiel wäre mit diesen zwei Wahl-Etappen "ich verwerfe diese Tür und dann jene Tür" exakt dasselbe wie mit einer einzelnen Wahl die dritte Tür zu nehmen. Denn auch dabei verwerfe ich ja die anderen beiden Türen. Nur eben in einem Akt, nicht in zweien.

biggerthinker schrieb:Wenn man aber durch das Öffnen weiß, in welche der beiden Türen jetzt die Niete ist, die ungeöffnet zusammen eine Chance von 2/3 haben das Auto zu enthalten, dann bleibt nur noch eine Tür übrig, zu der du wechseln kannst, erst dadurch erhöht sich die Chance.

Ähm, ja? Und wo ist da jetzt der Unterschied zu meiner Darlegung?

biggerthinker schrieb:Du musst dir das so vorstellen: 1/3 für dich, 2/3 für den Gamemaster. Würde er dir anbieten, die beiden anderen Türen gleichzeitig öffnen zu dürfen bei einem Wechsel und deine erste Wahl aufzugeben, würde es ja jeder sofort machen. Dadurch, dass er aber eine Niete öffnet, ist das so, als würdest du die beide Türen gleichzeitig auswählen können. Deswegen ist die Chance jetzt 2/3. :)

Ist das nicht genau das, was ich gesagt habe?

biggerthinker schrieb:Ob du in deinem Kopf dich schon vor dem Angebot für einen Wechsel entschieden hast oder nicht spielt ja keine Rolle.

Aber es machts deutlicher, wenn ich den Spieler schon bei seiner ersten Wahl sagen lasse "ich nehm den Rest, den ich jetzt nicht gewählt habe: die beiden anderen Türen".

@perttivalkonen
Ich denke, wir meinen beide das gleiche. Lohnt sich jetzt nicht, auf jede Kleinigkeit einzugehen. Mich hat nur verwirrt, dass du geschrieben hast, dass das Öffnen einer Tür die Chance nicht minimiert. Das Öffnen keiner Tür würde ja nichts verändern und einen Wechsel sinnlos machen. Aber ich habe mir deinen Post noch mal durchgelesen und festgestellt, dass ich das nur falsch verstanden habe :)

Woran das bei mir immer gehakt hat in Kopf ist nicht die Änderung von 1/3 auf 1/2 wenn eine von 3 Türen weg fällt, sondern warum ich dazu wechseln muss. Allein dadurch das nur noch 3 übrig sind, steht die Chance ja 50/50.

Für mich hat es es dann geholfen es mir anders herum vorzustellen. Wenn zu meinen 3 Türen auf ein mal 2 dazu kämen, würde die Chance ja auch nicht automatisch auf 1/5 sinken sondern nur wenn ich dann neu wählen würde aus allen 5 dann vorhandenen Türen.

Wobei s sich immer noch irgendwie verkehrt anfühlt.