perttivalkonen schrieb:
nocheinPoet schrieb:Das ist korrekt, Energiewerte sind nicht dreidimensional, diese Aussage ist ganz einfach falsch. Die Einheiten haben mit der Dimensionalität einer Größe nichts zu tun.
Erst mal, es ging in jener früheren Diskussion um die Zweidimensionalität eines Wertes. Der Wert selbst aber ist schlicht dimensionslos.
Tja, es war ja wohl unvermeidlich, aber gut, stellen wir hier mal weiter die Dinge richtig da.
- Ein „normaler“ physikalischer Wert (z. B. Energie, Masse, Temperatur, Geschwindigkeitsbetrag)
Das ist in der Regel ein reeller Skalar (eine reelle Zahl). Mathematisch gesehen ist die Menge der reellen Zahlen 1-dimensional als Vektorraum über sich selbst (Dimension 1). Man kann also durchaus sagen: "Der Wert selbst ist eindimensional" - im Sinne eines 1-dimensionalen Vektorraums über ℝ. Das passt gut zu der Unterscheidung Skalar (1 Komponente) vs. Vektor (mehrere Komponenten). Und das ist doch so nun eine wirklich akzeptable und lockere Formulierung, solange man weiß, was gemeint ist.
- Komplexe Zahlen (ℂ)
Die komplexen Zahlen bilden einen 2-dimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen ℝ. Jede komplexe Zahl z = a + bi entspricht dem Paar (a, b) ∈ ℝ². Man kann sie also mathematisch als 'zweidimensional' bezeichnen (als Vektorraum über ℝ). Wichtig dabei ist, als Körper (mit Multiplikation) sind sie trotzdem 'eine Art Zahl', aber ihre Dimension als Vektorraum ist 2. Deshalb ist die Formulierung, c mathematisch dann zweidimensional, richtig, wir c als komplexe Zahl nehmen, (z. B. in der Elektrotechnik oder Quantenmechanik, wo komplexe Amplituden vorkommen).
- Quaternions (ℍ) und Octonions (𝕆)
Es gibt sogar noch höherdimensionale Zahlen, Quaternions sind 4-dimensional als Vektorraum über ℝ (a + bi + cj + dk). Und Octonions sind 8-dimensional als Vektorraum über ℝ. Diese Systeme erweitern die komplexen Zahlen (Cayley-Dickson-Konstruktion), verlieren dabei aber nacheinander wichtige Eigenschaften:
- Komplexe Zahlen: kommutativ, assoziativ
- Quaternions: assoziativ, aber nicht kommutativ
- Octonions: weder kommutativ noch assoziativ
Es gibt also tatsächlich „4d-Zahlen“ (Quaternions) und „8d-Zahlen“ (Octonions).
Dazu aber ein paar wichtige Einschränkungen und Präzisierungen, die Dimension bezieht sich immer auf den Vektorraum über den reellen Zahlen. Über den komplexen Zahlen wäre ℂ selbst 1-dimensional. Ein normaler physikalischer Skalar (Energie in Joule) ist keine komplexe Zahl – er ist reell. Deshalb bleibt er in der Praxis "1-dimensional". In der Physik verwenden wir komplexe Zahlen meist als Rechenhilfe (z. B. Wellenfunktionen, Wechselstrom), aber der messbare Energiewert selbst ist am Ende wieder reell (z. B. |ψ|²).
Die höherdimensionalen Systeme (Quaternions, Octonions) spielen in manchen Bereichen der theoretischen Physik und Informatik (z. B. 3D-Rotationen mit Quaternions) eine Rolle, sind aber für alltägliche „Werte“ wie Energie irrelevant.
Also das Fazit ist, ein normaler physikalischer Skalarwert ist mathematisch eindimensional (als Vektorraum über ℝ). Komplexe Zahlen sind zweidimensional über ℝ, Quaternions vierdimensional und Octonions achtdimensional. Deshalb kann man je nach Zahlensystem von unterschiedlicher 'Dimensionalität' sprechen - aber das hat nichts mit der physikalischen Unterscheidung Skalar vs. Vektor zu tun.
So vermischt man nicht die Begriffe zu Skalare und Vektoren.
Hast Du dagegen etwas einzuwenden, also substanziell, oder stimmst Du dem so zu?
perttivalkonen schrieb:Zweitens dann bleibt es dabei, daß die Dimensionalität einer Größe durch die zu dieser Größe gehörenden kohärenten Einheiten gebildet wird.In einem Größensystem drückt die Dimension einer physikalischen Größe deren qualitative Eigenschaften aus. Im dazugehörigen Einheitensystem entspricht jeder Dimension eine kohärente Einheit. Diese dient zum Ausdruck der Eigenschaften aller Größen der zugehörigen Dimension. Den Dimensionen von Basisgrößen entsprechen also die Basiseinheiten. Da es für jede Dimension eine zugehörige kohärente Einheit gibt, könnte man eine Dimension als Einheitenart oder -klasse betrachten.
Quelle: Wikipedia: Dimension (Größensystem)
Schön auch:Eine dimensionslose Größe, auch Größe der Dimension Zahl, Größe der Dimension Eins oder Größe mit der Einheit Eins, ist eine physikalische Größe, zu deren quantitativen Beschreibung man keine Einheit benötigt, die formal gesehen also die Dimension einer Zahl beziehungsweise der Eins hat. Dimension ist hierbei im Sinne von Dimension (Größensystem) wie etwa „Länge“ zu verstehen, nicht im Sinne von Dimension (Mathematik) wie etwa in „dreidimensionaler Raum“. Dimensionslose Größen können beispielsweise Anzahlen, Winkel oder Quotienten zweier Größen gleicher Dimension (etwa der Reibungskoeffizient) sein.
Quelle: Wikipedia: Dimensionslose Größe
Soviel Getexte, um an der Sache vorbeizureden.
Deine Antwort ist mal wieder ein klassisches Beispiel für Begriffsverwirrung und Ablenkung durch korrekte, aber irrelevante Zitate.
;)Was Du richtig sagt (und was niemand bestritten hat), eben auch ich nicht:
Die physikalische Dimension einer Größe (im Sinne von Größensystem / Dimensionsanalyse) wird durch die Einheiten ausgedrückt. Energie hat die Dimension [M L² T⁻²] (Masse · Länge² · Zeit⁻²), ausgedrückt in Joule usw. und es gibt dimensionslose Größen (z. B. Reynolds-Zahl, Winkel im Bogenmaß, Reibungskoeffizient), die formal die „Dimension 1“ oder „Dimension Zahl“ haben.
Das steht alles korrekt auf Wikipedia - und niemand hat das je angezweifelt.
Aber schön, dass Du es mal zitierst hast.
:D
Wo Du aber eben weiter komplett danebenliegst:
Du verwechselt weiterhin die beiden völlig verschiedenen Bedeutungen von 'dimensional' und 'Dimensionalität', trotz meiner doch recht guten Erklärung. Du gehst ja auch nicht darauf ein, sondern meinst, mit zwei Zitaten - von etwas das ja nie bestritten wurde - aus Wikipedia könntest Du Deine falschen Aussagen hier retten. Nein kannst Du nicht, nimm es doch einfach mal so hin, irren ist menschlich, auch Dir passiert es eben mal.
Schau mal:
- physikalische Dimension (Größensystem): qualitatives 'was für eine Art von Größe?' → Energie ≠ Länge ≠ Zeit.
- Mathematische Dimensionalität (Skalar vs. Vektor vs. Tensor): 'Wie viele unabhängige Komponenten/Richtungen hat die Größe?'
→ Skalar (1 Komponente, keine Richtung), Vektor (3 Komponenten im Raum), usw.
Und genau das hat ja auch
@Marfrank gemeint und ich noch mal genauer erklärt, als es um 'dreidimensional' ging. Du hast eben ursprünglich behauptet, Energiewerte seien stets dreidimensional und das ist im Kontext der Diskussion hier (offenbar im Vergleich zu skalaren vs. vektoriellen Größen) schlicht falsch. Energie ist und bleibt ein Skalar.
Nun versuchst Du es hier so darzustellen, als würde man an der Sache vorbeireden, während Du selbst den eigentlichen Punkt (Energiewerte sind dreidimensional) nicht mehr verteidigt, sondern auf eine ganz andere Ebene ausweicht Einheitensystem vs. dimensionslose Größen). So ist der Zusatz 'Der Wert selbst aber ist schlicht dimensionslos' irreführend.
Ein konkreter Energiewert (z. B. 5 Joule) ist nicht dimensionslos. Er hat sehr wohl eine physikalische Dimension (M L² T⁻²). Erst wenn man ihn durch eine andere Größe derselben Dimension teilt, entsteht etwas Dimensionsloses.
Zum eigentlichen Streitpunkt (der aus der früheren Diskussion stammt),i n der Physik unterscheiden wir bewusst zwischen:
- Skalare Größen (wie Energie, Temperatur, Masse, Druck): Der Wert ist ein einzelner Skalar → '1-dimensional' im Sinne von einer Komponente.
- Vektorielle Größen (wie Geschwindigkeit, Kraft, Impuls): Der Wert besteht aus mehreren Komponenten (in 3D-Raum meist drei) → '3-dimensional'.
Energie gehört eindeutig zur ersten Kategorie. Sie hat keine Richtung, deshalb kann sie nicht 'dreidimensional' sein, weder im Vektor-Sinn noch in irgendeinem anderen sinnvollen physikalischen Kontext.
Dein Versuch, 'dreidimensional' über die zusammengesetzte Einheit (kg·m²/s²) zu rechtfertigen, ist ein klassischer Kategorienfehler. Die Anzahl der Basiseinheiten in der Dimension sagt nichts darüber aus, ob die Größe skalar, vektoriell oder tensorisch ist.
Fazit, meine erste Antwort war völlig korrekt und sachlich. Du weichst aus, indem Du korrekte Wikipedia-Texte zu einem anderen Thema zitiert und dabei den ursprünglichen Fehler nicht zugibt. Das ist leider oft mal typisch, wenn jemand merkt, dass er danebenlag, aber es nicht zugeben will.
Fakt und unstrittig ist eben, die zitierten Wikipedia-Artikel beschreiben korrekt die physikalische Dimension im Größensystem (also die Einheitenart wie [M L² T⁻²] für Energie).
Aber darum ging es in der Diskussion aber nicht.
Es ging um die Frage, ob Energie eine skalare oder eine vektorielle (mehrkomponentige, ‚mehrdimensionale‘) Größe ist. Und da ist Energie eindeutig ein Skalar – sie hat keinen Richtunganteil. Deshalb ist die Aussage 'Energiewerte sind stets dreidimensional' falsch.
Die beiden Bedeutungen von 'dimensional' (Größensystem vs. Skalar/Vektor) hast Du hier leider eben vermischt. Ich stelle es auch nur richtig, geht ja nicht gegen Dich. Ich hatte aber befürchtet, dass Du Dich auf den Schlips getreten fühlen wirst.
perttivalkonen schrieb:Den Rest hab ich dann auch nicht mehr gelesen, nur am Ende nochmal kurz reingeschaut. Und auch da kam kein gescheiter Einspruch.nocheinPoet schrieb:Auch das ist so nicht richtig, die linke Seite zeigt keinen Ausschnitt aus einer Donutoberfläche.
Doch, genau das, ein Ausschnitt aus einer Donutoberfläche. Stell den Donut einfach mal gedanklich hochkant, dann kannst Du dieses "die linke Seite" innen wie nen Sattel auflegen - paßt wie angegossen.
Nein, warum informierst Du Dich nicht einfach mal, bevor Du weiter so was raushaust? Es gibt auf den ersten Blick eventuell eine gewisse Ähnlichkeit, aber eine Sattelfläche ist eben keine Donutoberfläche. Ich zeige das weiter unten für den hier interessierten Leser mal richtig auf.
perttivalkonen schrieb:Richtig ist und bleibt, daß ein negativ wie positiv gekrümmtes Universum endlich ist, also "in sich geschlossen", auch wenn für das negativ gekrümmte Universum die Bezeichnung "open", also "offen" verwendet wird. Mein "open" aber habe ich ausdrücklich als Synonym für "unendlich", das "closed" für "endlich (und in sich geschlossen)" verwendet und das bleibt nun mal richtig.Many textbooks erroneously state that a flat or hyperbolic universe implies an infinite universe; however, the correct statement is that a flat universe that is also simply connected implies an infinite universe.
Quelle: Wikipedia: Shape of the universe#Curvature
Es ist echt anstrengend mit Dir, wie immer, also stellen wir es wieder richtig, erstmal ja, ein positiv gekrümmtes (geschlossenes/sphärisches) Universum ist immer endlich (kompakt). Wurde nicht von mir bestritten, und für flache (Ω = 1) oder negativ gekrümmte (hyperbolische/offene, Ω < 1) Universen hängt die Endlichkeit nicht nur von der Krümmung ab, sondern von der globalen Topologie.
Dann gibt es (theoretisch) endliche Modelle mit negativer Krümmung oder Flachheit, wenn die Topologie nicht einfach zusammenhängend (multiply connected) ist - z. B. ein hyperbolisches Universum mit komplizierter Topologie, das sich wie ein 'endlicher hyperbolischer Raum' verhält. Sollte doch auch unstrittig sein, ich habe es zumindest hier nicht bestritten.
Auch ist das Wikipedia-Zitat korrekt, aktueller Stand: "Many textbooks erroneously state that a flat or hyperbolic universe implies an infinite universe; however, the correct statement is that a flat universe that is also simply connected implies an infinite universe." Aber das Zitat warnt davor, Krümmung und Topologie zu vermischen.
Und wo Du eben trotzdem falsch liegst, oder irrst, die Standard-Bezeichnung in der Kosmologie ist seit Jahrzehnten klar:
- Closed universe = positiv gekrümmt (meist endlich).
- Open universe = negativ gekrümmt (hyperbolisch).
- Flat universe = Krümmung null.
Und das Wort 'open' bezieht sich primär hier auf die Krümmung (negativ), nicht automatisch auf 'unendlich'. Du verwendet hier Deine private Umdefinition (mein 'open' bedeutet unendlich), die in der Fachliteratur so nicht üblich ist. Das ist so eben der eigentliche Rechthaberei-Punkt.
In der Praxis (FLRW-Modelle, die wir tatsächlich verwenden) sind die einfach zusammenhängenden Versionen gemeint:
- Positiv gekrümmt → endlich.
- Flach oder negativ gekrümmt → unendlich.
Endliche hyperbolische oder flache Universen erfordern sehr spezielle, komplizierte Topologien (z. B. hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten), und die sind extrem unwahrscheinlich und es gibt dafür bisher keine beobachtbaren Hinweise. Die allermeisten Kosmologen gehen daher weiterhin davon aus, dass ein offenes (hyperbolisches) Universum unendlich ist – auch wenn es theoretisch nicht zwingend ist.
Auch zeigen aktuelle Messungen (Planck etc.) nun mal eine Krümmung, die extrem nahe bei null liegt (innerhalb der Fehlergrenzen flach). Ob das Universum wirklich unendlich ist, bleibt trotzdem offen, weil wir die globale Topologie nicht direkt messen können.
In der Kosmologie wird 'open universe' nun mal aber seit Langem als Bezeichnung für negativ gekrümmt (hyperbolisch) verwendet, nicht als Synonym für 'unendlich'.
Die einfachen Modelle mit negativer Krümmung sind unendlich.
Die exotischen endlichen Varianten sind zwar mathematisch möglich, aber hochspekulativ und nicht das, was normalerweise mit 'offenem Universum' gemeint ist. Das Zitat warnt lediglich vor einer zu starken Vereinfachung in Lehrbüchern – es macht die Begriffe 'open' und 'closed' nicht falsch.
→
Wikipedia: Shape of the universe#Curvature→
https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/
Du versuchst, hier wieder mit einem korrekten Zitat Deine ursprünglichen Fehlaussagen (Energiewerte dreidimensional, Sattelfläche = Donut-Ausschnitt) zu retten. Was das also nun mit dem Donut-Ausschnitt angeht, es wird Dir nicht gelingen, die Mathematik ist unbestechlich.
Die Oberfläche eines Donuts (mathematisch: Torus) wird parametrisch beschrieben durch:
x(\theta, \varphi) = (R + r \sin \theta) \cos \varphi y(\theta, \varphi) = (R + r \sin \theta) \sin \varphi z(\theta, \varphi) = r \cos \theta wobei:
R = großer Radius (Abstand vom Torus-Mittelpunkt zur Schlauchmitte),
r = kleiner Radius (Schlauchradius),
\theta, \varphi \in [0, 2\pi) .
Und es gibt auch eine implizite Gleichung:
\left( \sqrt{x^2 + y^2} - R \right)^2 + z^2 = r^2Wichtig ist, die Krümmung eines Torus ist nicht konstant negativ. Außen ist sie positiv, innen negativ - deshalb ist ein 'Ausschnitt' eines Donuts keine gute Analogie für ein offenes Universum (das überall negative Krümmung hat).
→
Wikipedia: Torus→
Wikipedia: Parametric equation
Die gängige 2D-Analogie für die negativ gekrümmte Geometrie eines offenen Universums ist das hyperbolische Paraboloid (klassische Sattelfläche):
z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} (oder umgedreht
z = \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} ; die Vorzeichen bestimmen nur die Orientierung).
Die Gaußsche Krümmung
K ist an jedem Punkt negativ – genau das, was man für ein offenes (hyperbolisches) Universum braucht.
→
Wikipedia: Hyperbolic paraboloidEine noch bessere (konstante negative Krümmung) 2D-Modell ist die Pseudosphäre (Rotationsfläche einer Traktrix), die lokal überall die gleiche negative Krümmung
-1/R^2 hat wie die hyperbolische Ebene. Sie sieht ebenfalls sattelförmig aus, hat aber keine einfache kartesische Gleichung, sondern wird parametrisch über die Traktrix definiert.
→
Wikipedia: PseudosphereFür das echte 3D-Raum-Zeit-Modell (FLRW-Metrik, offenes Universum) ist der räumliche Schnitt ein 3-dimensionaler hyperbolischer Raum, der sich als Hyperboloid in 4D darstellen lässt (z. B.
x^2 + y^2 + z^2 - w^2 = -R^2 ). Die Sattelfläche ist nur die anschauliche 2D-Vorstellung.
→
https://physics.stackexchange.com/questions/820348/saddle-shaped-universe→
https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/ Fazit, nein, die Sattelfläche eines offenen Universums ist kein Ausschnitt einer Donut-Oberfläche - die Gleichungen und die Krümmung sind grundverschieden.
Versuche es zu widerlegen, aber Dir wird hoffentlich klar, wenn Du etwas nachliest, dass Du Dich einfach geirrt hast.
Ist doch auch keine große Sache, keiner kommt mit diesem Wissen auf die Welt, noch mal, irren ist menschlich, mir geht es in keiner Weise darum Dich hier wo vorzuführen, ich will nur die Dinge hier richtig stehen haben. Auch ich habe oft mal geirrt, wurde korrigiert, habe das dankend angenommen und natürlich anerkannt, da bricht einem kein Zacken aus der Krone.
perttivalkonen schrieb:Ach ja, von den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks in den verschiedenen Universumsgeometrien hab ich gleich gar nicht geredet, da muß ich auch nicht "korrigiert" werden.
Hab ich auch nicht behauptet, dass Du das hast oder? Ich habe nur richtig erklärt, wie es eben ist.
perttivalkonen schrieb:Und damit bin ich schon wieder raus.
Schauen wir mal, ich befürchte da, Du treibst es weiter, weil Du meine Aussagen doch einfach persönlich als Angriff gegen Dich werten wirst. Auch wenn das wirklich nicht meine Absicht ist, wie ich Dir nun mehrfach ganz deutlich geschrieben habe.
Continuum schrieb:Nur meine Logik lässt den Schluss zu, das du dort gespart hast.
Marfrank schrieb:
Energiewerte sind skalar.Delta.m schrieb am 14.02.2025:
Bist Du da sicher? Ein 2D-Wesen kann nicht 2-dimensional "sehen". Es würde nur eine Linie sehen, die auf einmal auftaucht und nach einiger Zeit plötzlich verschwindet. Es kann also immer nur eine Dimension weniger sehen, als es selber ist - also 1-dimensional, so wie wir nur 2D sehen und die 3. Dimension dank 2er Augen und Hirn "dazurechnen".
