Ist schon jemand, auf die Idee gekommen, Pi, in anderen Systemen...

auszurechnen, also in allen, von binär, bis hexadezimal und ist sie auch da immer unendlich?
Wenn sie nämlich in einem der anderen Zahlensysteme eine Natürliche Zahl wäre, würden wir einfach das falsche Zahlensystem benutzen, oder?

Im Prinzip werden im Binären, sowie im Hexadezimalen System die Zahlen auf eine andere Art dargestellt und PI würde immer noch kein Ende aufzeigen.

Da Pi transzendent ist, gibt es kein Zahlensystem mit natürlicher Basis, in dem Pi nicht unendlich viele Nachkommastellen hat. Es gibt genau ein Zahlensystem, auf das das nicht zutrifft: das zur Basis Pi, dort ist Pi=1. Allerdings sind in diesem Zahlensystem wiederum alle unsere natürlichen Zahlen nur mit unendlich vielen Nachkommastellen darstellbar...

Man könnte natürlich einfach Pi als 1 definieren. Das Problem, das man jetzt mit Pi hat, hätte man dann aber mit allen anderen Zahlen.

Emodul

PS: Geeky hat das auch schon geschrieben, wie ich gerade sehen.

@Thors10

Mit etwas grundsätzlichem Verständnis der Mathematik würdest Du eine solche Frage nicht stellen.

Die sogenannte "Kreiszahl" Pi bist der Versuch einer Beschreibung daß ein Kreis unendlich viele Ecken hat. Die nicht berechenbar sind. Ich kann mich also zum Beispiel dem Erdumfang nur annähern, rechnerisch. Ich kann ihn aber mit Hilfe eines Zirkels rekonstruieren. Dazu brauch ich als endliches Maß nur den Radius.

Deshalb hat diese "Konstante" in jedem System ihren Wert. Zumindest im "dreidimensionalen" Raum.

@Thors10
Wenn du Englisch kannst, dann hier:
Wikipedia: Non-integer representation
Man kann Zahlensysteme mit allen möglichen Basen bilden.

Til schrieb:Ich kann mich also zum Beispiel dem Erdumfang nur annähern, rechnerisch. Ich kann ihn aber mit Hilfe eines Zirkels rekonstruieren. Dazu brauch ich als endliches Maß nur den Radius.

Gedankenexperiment:
Unsere Erde wäre eine perfekte Kugel und auf ihr leben 2-dimensionale Lebewesen (Plattländler).
Wenn diese Wesen z.B. vom Nordpol aus einen Kreis ziehen, so würden sie je nach Radius einen unterschiedlichen Wert für Pi errechnen ( Pi=U/(2*r) ).
Bei einem bestimmten Radius wäre Pi sogar genau = 3
(Ich hoffe, dass das so stimmt :) )

delta.m schrieb:Wenn diese Wesen z.B. vom Nordpol aus einen Kreis ziehen, so würden sie je nach Radius einen unterschiedlichen Wert für Pi errechnen ( Pi=U/(2*r) ).
Bei einem bestimmten Radius wäre Pi sogar genau = 3

Naja, und dann wüssten sie imho dass sie es vermasselt haben weil ihre Welt offensichtlich nicht auf einer planen Ebene aufgespannt ist. Denn sie könnten für kleine Durchmesser einen konstanten Faktor zwischen Radius und Umfang ermitteln, aber nicht für diese großen Kreise. Und so wüssten sie, dass die Strecke die sie gemessen haben nicht der Radius des Kreises war sondern die Projektion des Radius auf eine gekrümmte Oberfläche.

@geeky

Nö, in Basis Pi ist Pi=10, nicht 1.

1 ist in jeder Basis 1 ;)

@MareTranquil

Hast recht, in jedem Stellenwertsystem hat die Basis den Wert 10.
Asche über mein Haupt! ;)

MareTranquil schrieb:Nö, in Basis Pi ist Pi=10, nicht 1.

Warum sollte das so sein?

Egal in welcher Basis > 1, B^10 ist niemals B. Jedoch "ist" Pi weder 1 noch 10. Pi ist Pi. Wir reden in einem Stellenwertsystem über die Exponenten als Wertigkeitsmerkmal. Und da hat Pi - in einem System zur Basis Pi - den Stellenwert 1. Denn die Basis hat immer den Stellenwert 1 da B^1 = B.

@Quimbo

Quimbo schrieb:die Basis hat immer den Stellenwert 1 da B^1 = B.

B^1 ist aber die (im Dezimalsystem) Zehnerstelle, danach kommt noch die Einerstelle B^0=1

Deshalb hat die Basis B in jedem Stellenwertsystem den Wert 10.

Im Binärsystem: 10 = 2
Im Oktalsystem: 10 = 8
Im Dezimalsystem: 10 = 10
Im Hexadezimalsystem: 10 = 16

@geeky
Ist 10 im Binärsystem nicht 1010?

@geeky

geeky schrieb:B^1 ist aber die (im Dezimalsystem) Zehnerstelle, danach kommt noch die Einerstelle B^0=1

Deshalb hat die Basis B in jedem Stellenwertsystem den Wert 10.

Im Binärsystem: 10 = 2
Im Oktalsystem: 10 = 8
Im Dezimalsystem: 10 = 10
Im Hexadezimalsystem: 10 = 16

Das ist nicht korrekt. Auch im Binärsystem ist 10 = 10., ebenso in allen anderen von Dir genannten Zahlensystemen.
Es ist nur eine andere Darstellung, aber solange Du den Körper der Natürlichen Zahlen zu Grunde legst, ändert sich daran nichts.
Algebraisch ändert sich erst etwas, wenn Du einen anderen Zahlenraum nimmt. Z.B. den kleinsten Körper F_2.
Dort gilt:

1+1 = 0
1+0 = 0 + 1 = 1
0+0 = 0

Das hat nicht mit der Darstellung der Zahlen an sich zu tun, die kannst Du könntest das auch mit Hexadezimal darstellen:

0x01 + 0x01 = 0x00
0x01 + 0x00 = 0x00 + 0x01 = 0x01
0x00 + 0x00 = 0x00

Das ist semantisch äquivalent.

Wikipedia: Restklassenring

geeky schrieb:Deshalb hat die Basis B in jedem Stellenwertsystem den Wert 10.

Im Binärsystem: 10 = 2
Im Oktalsystem: 10 = 8
Im Dezimalsystem: 10 = 10
Im Hexadezimalsystem: 10 = 16

Allein die von dir aufgeführten Gleichungen sollten dir schon zeigen, dass das nicht korrekt sein kann.

Was du meinst ist einfach der Wert, der die Symbolmenge festlegt. Sprich der Divisor in der Modulo-Operation. Der ist aber nicht 10, sondern ist allgemein immer die Basis.

@Assassine
@mathematiker
@Quimbo


Ich schreibe die Basis mal dazu, vielleicht wird es dann verständlicher:

Im Binärsystem: 10₂ = 2₁₀
Im Oktalsystem: 10₈ = 8₁₀
Im Dezimalsystem: 10₁₀ = 10₁₀
Im Hexadezimalsystem: 10₁₆ = 16₁₀

allgemein: 10_B = B₁₀ = B

Im Binärsystem: 102 = 210

Das ist falsch. 10 zur Basis 2 ist immernoch 10. 2 Zur Basis 10 ist immernoch 2. Das gilt für alle deiner Beispiele.

Vielleicht hab ich was falsch verstanden aber so ist das nicht richtig.

@Quimbo

Quimbo schrieb:Das ist falsch. 10 zur Basis 2 ist immernoch 10. 2 Zur Basis 10 ist immernoch 2. Das gilt für alle deiner Beispiele.

Nö, "10" zur Basis 2 ist "zwei", genauso wie "2" zur Basis 10 "zwei" ist. Ist beides dieselbe Zahl, nur in anderen Darstellungen.

Oder anders gesagt: Die Ziffernfolge 1-0 entspricht bei Darstellung im Binärsystem der Zahl "Zwei". Ebenso wie die Ziffernfolge 2 im Dezimalsystem.

Quimbo schrieb:Das ist falsch. 10 zur Basis 2 ist immernoch 10. 2 Zur Basis 10 ist immernoch 2. Das gilt für alle deiner Beispiele.

Ihr diskutiert da soweit ich das sehe im Kreis, weil ihr nicht sauber unterscheidet was eine Zahl und was die jeweilige Darstellung einer Zahl ist. Pi ist eine Zahl. 10 ist die Darstellung von Pi mit der Basis Pi, und 3,1415.... ist die Darstellung von Pi im Dezimalsystem.

Ich empfehle mal, ein lineare Algebra I Skript durchzuarbeiten. Dann sollte es soweit klar sein.