Ich habe lange überlegt ob ich nun wirklich sowas hier starten soll, seis nur darum etwas mehr Niveau in allmy rein zu bringen. Im Endeffekt habe ich mich dafür entschieden, weil es hier vielleicht doch den ein oder anderen gibt, der an einer ernsthaften Diskussion interessiert ist. Das ist hier zwar keine Grenzforschung im eigentlichen Sinne, aber die versteht hier sowieso keiner.
Vorab: Es scheint nicht ganz klar zu sein, was ich mit makroskopischen Theorien meine. Vielleicht habe ich mich im Eingangspost nicht klar ausgedrückt, aber makroskopische Theorien sind solche, die Phänomene weit jenseits der Quantenstruktur beschreiben. Im Grunde gehört die klassische Elektrodynamik ebenfalls dazu, war aber eigentlich nicht so gedacht von mir. Es geht als um Phänomene die man mit bloßem Auge sehen könnte und dafür gibt es im wesentlichen zwei gängige Beschreibungen. Zum einen die Newtonsche oder besser Lagrangsche Mechanik und zum anderen die allgemeine Relativitätstheorie. Da ich ein großer Fan von letzterer bin, werden meine Posts hauptsächlich auf diese abzielen. Nichts desto trotz ist es immer wieder gut sich die Sachen auf Basis der Newtonschen Theorie an zu gucken. Das Endprodukt der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einstein-Gleichung um die es im weiteren Verlauf gehen soll.
Die Einstein-GleichungEinführungIch weiß nicht genau wie sich jemand der das erste mal was von der Einstein-Gleichung hört und kein großes Verständnis von der Physik hat, sich diese Gleichung vorstellt. Im Prinzip lässt sich ihre äußere Struktur ziemlich leicht einsehen durch die Form:
G_{ab}=T_{ab}. (1)
Im folgenden habe ich mir vorgenommen diese Gleichung und das was dahinter steckt hier mal auf geometrischem Wege zu erarbeiten in mehr oder weniger regelmäßigen Abständen. Es ist recht schwer dies zu tun wenn man bei null anfangen muss. Aufgrund dessen bin ich um jede Unterstützung dankbar und werde ersteinmal ein paar Grundlagen bilden. Erschwerend kommt hinzu das hier auf Allmy kein Tex editor für Formeln bereit steht, aber da das hier kein Mathe/Physik Forum ist, kann man das hier keinem vorwerfen. Ziel ist es, einen groben Überblick zu erhalten und eine Intuition dafür wie man von den Einstein-Gleichungen zu den verschiedenen Lösungen von
drecksbengel schrieb am 16.03.2010:Eine kurze Abhandlung über den Urknall
kommt.
TensorenTensoren sind für uns zu beginn ersteinmal irgendwelche Objekte. Wir führen hier mal die Konvention ein, dass wir sie mit Großen Buchstaben benennen. Die beiden Größen G_{ab} und T_{ab} in der Einstein-Gleichung sind kovariante Tensoren der zweiten Stufe. Okay zuersteinmal was heißt hier kovariant und was zweiter Stufe? Dazu betrachten wir T und G mal etwas genauer. Da stehen ja noch so coole Dinger die an T und G dran hängen, die _{ab} Teile (jetzt wäre ein Matheeditor super, aber versuchen wir es mal so).
Machen wir einen kurzen Einschub. Tensoren zweiter Stufe kann man auch als eine Matrix mit bestimmten Eigenschaften auffassen. Der Tensor T könnte man als auch schreiben als:
Die einzelnen Felder stellen hier die Komponenten des Tensors da. In jeder dieser Komponenten können beliebig komplizierte Ausdrücke stehen. Sprechen wir angenommen von der Komponente T_{11} so meinen wir das schwarze Feld links oben in der Ecke. Die erste Komponente von _{ab} gibt die Zeile an in der wir uns befinden und die zweite Komponente die Spalte. Kurz gesagt die Schreibweise T_{ab} erspart uns einfach viel Schreibarbeit. Wie groß so nen Tensor ist hängt von der Dimension des Raumes oder in der ART von der Raumzeit ab in der man sich befindet. Das obige Beispiel hat 16 Komponenten, wobei nicht alle unabhängig voneinander sein müssen (je nach Theorie gibts hier Symmetrien, Identitäten oder auch nicht etc.), weil die Raumzeit Struktur wie wir sie kennen 3+1=4 Dimensionen hat.
Es reicht für unsere Zwecke erstmal zu wissen das dann ein kovarianter Tensor 2 .Stufe ein solcher ist, der zwei Indizes in seinen unteren Komponenten trägt. Dagegen heißt ein Tensor der seine Komponenten oben trägt T^{ab} ein kontravarianter Tensor 2. Stufe:
Ersteinmal sei erwähnt, dass man mit diesen Teilen, was auf den ersten Blick nicht unbedingt Trivial sein muss, rechnen kann. Also +, -, * kann man Definieren.
Kommen wir zum Abschluss des ersten Teils. Auf den ersten Blick unterscheiden sich die beiden Tensoren T_{ab} und T^{ab} ja überhaupt nicht. Sie haben beide (in unserem Fall) 16 Komponenten und damit wars das. Nicht ganz. Tensoren sind geometrische Objekte, sie haben ganz bestimmte Transformationseigenschaften. Geht man von einem Koordinatensystem in ein anderes, so ändert sich die Art der Beschreibung eines Objekts, dass Objekt selbst ändert sich nicht. Tensoren sind jetzt also ganz bestimmte Objekte die sich unter eben solchen Transformationen auf eine ganz bestimmte Weise ändern.
Am anschaulichsten lässt sich dies an einem Vektor demonstrieren. Ein Vektor eines metrischen Raumes (ein Raum auf dem eine Abstandsfunktion definiert ist) der ein bestimmte Transformationseigenschaft hat, z.B. der Ortsvektor von Teilchen, ist dann ein Tensor 1. Stufe ko- oder kontravariant, sagen wir mal X^{a}. Wenn wir im euklidischen Raum sind (der Raum in dem kurz gesagt, der Satz von Pythagoras gilt, so wie man ihn aus der Schule kennt), dann kann man einen Punkt P im 3-D Raum durch einen Vektor aus dem Ursprung in kartesischen Koordinaten oder aber in Kugelkoordinaten beschreiben. Wie hier:
Das heißt in kartesischen Koordinaten nutzen wir die Komponenten x,y,z und in Kugelkoordinaten r,theta,phi. Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen x,y,z und r,theta,phi nämlich
.
Ein Tensor ist nun eben ein solches Objekt, wie so ein Vektor, der auf eine bestimmte Weise zwischen diesen Beschreibungen wechseln kann. Ich denke das reicht erstmal. Wenn was unklar ist, dann einfach mal nachfragen. Kann auch sein das ich hier und da nicht ganz sauber war, was die Erklärung betrifft, dann bitte ich um Ergänzung, danke.
