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Random Matrix Theory

10 Beiträge ▪ Schlüsselwörter: Physik, Mathematik, RMT ▪ Abonnieren: Feed E-Mail
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atraback Diskussionsleiter
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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 03:52
Hello liebe Leute, ich will den interessierten Usern hier mal eine relativ junge Theorie vorstellen (rein qualitativ ohne Formeln etc.), welche seit Mitte der 80er mit dem Fortschritt in der Computertechnik einen neue große Selbstfindung erfahren hat. Es gibt viele interessante Anwendungen dieser Theorie, trotzdem ist sie relativ unbekannt und doch zumindest der Erwähnung wert.

Es geht um Zufallsmatrizen (was das im notwendigen Detail bedeutet erkläre ich später). Der Ursprung dieser Theorie geht dabei zurück zu einem Problem in der Atomphysik.

Um zu verstehen weshalb diese Theorie nützlich ist, hole ich vielleicht nocheinmal etwas weiter aus:

Im Grunde entspricht die Qualität der Physik bzw. der Beschreibung der Natur durch die Menschen nur der Güte des Models welches wir wählen. Die Physik ist im Prinzip eine Wissenschaft der Approximationen und Näherungen. Während wir es innerhalb der Newtonschen Gravitationstheorie gerade noch schaffen das 2 Körper Problem zu lösen müssen wir für das 3 Körper Problem schon Nähern und finden keine exakte analytische Lösung mehr. Das kuriose an der ganzen Geschichte ist, dass für ein N Körper Problem mit immer größer werdendem N ab einer bestimmten Schwelle die statistische Beschreibung von vielen Teilchen das Gesamtbild sehr gut wiederspiegelt.

Nun war es Herr Wigner der in den späten 50er Jahren die Zufallsmatrix Theorie in der Physik angewandt hat. Alles begann mit der Beobachtung von schmalen Resonanzen an großen Atomkernen an denen langsame Neutronen gestreut wurden.

Das Spektrum für schnelle Neutronen konnte relativ leicht berechnet werden, da die Wechselwirkungszeit relativ gering war und die Neutronen dadurch bedingt nur mit wenigen Teilchen des Kerns interagieren konnten.

Für langsame Neutronen hat das Aufgrund der hohen Wechselwirkungszeit nicht funktioniert (zuviele Teilchen haben Zeit mit dem Neutron zu interagieren). Die zu der Zeit gängigen Theorien konnten die dabei entstandenen Spektren nicht erklären und so ging Wigner dazu über endliche Zufallsmatrizen zu betrachten, welche die gleichen Symmetrien wie das vorgegebene physikalische System inne haben, bildete das mittel über viele dieser Matrizen, führte den limes gegen unendlich aus und erkannte das es das Spektrum mysteriöser Weiße sehr gut approximiert.

Zufallsmatrizen sind dabei erstmal einfach nur Matrizen welche in jedem Eintrag zufällige (unabhängige und identisch verteilte) Werte haben mit bestimmten Symmetrien (muss aber nicht sein) ausgestattet sind.

Kommen wir nun zu dem Witz an der ganzen Geschichte. Es hat sich gezeigt das auch fernab von natürlichen Phänomenen in der Natur solch ein Vorgehen praktikabel zu sein scheint. Wieso das so ist, weiß noch keiner. Man hat zum Beispiel erkannt das die Parklücken (zwischen Autons) auf Straßen in Paris identisch Verteilt sind wie auch die Abstände der Eigenwerte bestimmter Typen von Matrizen. Das selbe hat man auch für den Abstand bei Autos auf der Autobahn in Deutschland entdeckt oder für Wartezeiten eines Buses in Mexiko.

Darüber hinaus zeigt sich das diese Theorie stark ist im Bezug auf die Bereinigung von Daten, wie man es etwa im Finanz bereich benötigt (verschiedene Unternehmen scheinen sich dabei kurioserweise wie die Nukleonen des oben abgesprochenen Atomkerns zu verhalten) oder aber auch für die Zeitreihenanalyse von einem Portfolio. Außerdem findet man Anwendungen in dem Bereich der komplexen Netzwerke (Neuronale Netze etc. ), Telekommunikation (W-Lan) u.s.w.

Aber grade auch in der Physik gibt es abgesehen von dem historischen Beginn der Zufallsmatrix Theorie in der Atomphysik anwendungen in der Quantengravitation, QCD, Quantenchaos und anderen.

Wo die Vorteile der Anwedung von Problemen mit Hilfe dieser Theorie liegen erkläre ich nächstes mal. Fühlt euch frei mich zu fragen, wenn irgendwas komisch oder unklar ist.


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 08:07
@atraback

Bin in dieser Thematik nicht gerade firm - aber:
lassen sich die Phänomene, die Du beschreibst (Parklücken, Autobahn, etc.), nicht auch bis zu einem gewissen Grad mit der Gauß'schen Normalverteilung erklären?


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 08:39
@atraback
Zitat von atrabackatraback schrieb:Zufallsmatrizen sind dabei erstmal einfach nur Matrizen welche in jedem Eintrag zufällige (unabhängige und identisch verteilte) Werte haben mit bestimmten Symmetrien (muss aber nicht sein) ausgestattet sind.
Ja was denn nun? Folgen die Werte einer bestimmten Verteilung oder nicht? Ist darin eine gewisse Regelmäßigkeit zu erkennen oder sind es rein zufällige Werte?

An sich ganz interessantes Thema, aber den Vorteil gegenüber "normalen" quantitativen Modellen sehe ich da noch nicht.


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 08:47
Zitat von atrabackatraback schrieb:Es hat sich gezeigt das auch fernab von natürlichen Phänomenen in der Natur solch ein Vorgehen praktikabel zu sein scheint. Wieso das so ist, weiß noch keiner. Man hat zum Beispiel erkannt das die Parklücken (zwischen Autons) auf Straßen in Paris identisch Verteilt sind wie auch die Abstände der Eigenwerte bestimmter Typen von Matrizen. Das selbe hat man auch für den Abstand bei Autos auf der Autobahn in Deutschland entdeckt oder für Wartezeiten eines Buses in Mexiko.
Und die Quellen zu dieser Behauptung? Es klinkt eher nach einer urban legend.


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 11:27
Zitat von atrabackatraback schrieb:Wo die Vorteile der Anwedung von Problemen mit Hilfe dieser Theorie liegen erkläre ich nächstes mal.
Ist das hier mit Random Matrix Theorie gemeint?


Wikipedia: Zufallsmatrix
Zitat von atrabackatraback schrieb:Das kuriose an der ganzen Geschichte ist, dass für ein N Körper Problem mit immer größer werdendem N ab einer bestimmten Schwelle die statistische Beschreibung von vielen Teilchen das Gesamtbild sehr gut wiederspiegelt.
Wo sich die Wurzel aus N Regel vorteilhaft anwenden lässt, würde mich jetzt aber mal brennend intressieren.


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atraback Diskussionsleiter
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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 12:08
@JohannJunker
Zitat von JohannJunkerJohannJunker schrieb:Bin in dieser Thematik nicht gerade firm - aber:
lassen sich die Phänomene, die Du beschreibst (Parklücken, Autobahn, etc.), nicht auch bis zu einem gewissen Grad mit der Gauß'schen Normalverteilung erklären?
Unterschiedlich. Muss nicht so sein, kann aber. Häufig folgen solche Sachen der Normal- , Poisson- bzw. Binomialverteilung für bestimmte Grenzwerte (wie z.B. einer kleinen Wahrscheinlichkeit P->0 und der Anzahl der Boebachtungen N->infty für Poisson). Für endliche Werte ist das nicht immer gut und unter Umständen stellt sich für die Grenzwerte ebenfalls eine andere Verteilung heraus wie z.B. bei den Abstände der Primzahlen zueinander oder bestimmte Börsen-Modelle.

@jimtonic
Zitat von jimtonicjimtonic schrieb:Ja was denn nun? Folgen die Werte einer bestimmten Verteilung oder nicht? Ist darin eine gewisse Regelmäßigkeit zu erkennen oder sind es rein zufällige Werte?

An sich ganz interessantes Thema, aber den Vorteil gegenüber "normalen" quantitativen Modellen sehe ich da noch nicht.
Also ich habs nicht ganz exakt erklärt. Vielleicht klingt das komisch aber man baut sich seine Symmetrien in eine Matrix B aus Zufallsmatrizen A zusammen (mehr oder weniger). Die Bedingung an die Einträge der Matrix A sind aber nach wie vor iid (independent identical distributed).

Der Hauptvorteil ist erstmal der, dass man damit Sachen statstisch beschreiben kann die vorher garnicht zugänglich waren. Auf die anderen Vorteile im Detail wollte ich ja im nächsten Post noch genauer eingehen.

@kleinundgrün
Zitat von kleinundgrünkleinundgrün schrieb:Und die Quellen zu dieser Behauptung? Es klinkt eher nach einer urban legend.
arXiv:0710.3671
arXiv:math/0510414
arXiv:physics/0609053v1
arXiv:0910.1205
A. M. Tulino, S. Verdu: Random matrix theory and wireless communications,
Hanover MA: Now Publishers Inc.
H.J. Sommers, A. Crisanti, H. Sompolinsky: Chaos in Random Neural Networks,
Phys. Rev. Lett. Vol. 61 259-262

@fritzchen1
Zitat von fritzchen1fritzchen1 schrieb:Ist das hier mit Random Matrix Theorie gemeint?
Ja.
Zitat von fritzchen1fritzchen1 schrieb:Wo sich die Wurzel aus N Regel vorteilhaft anwenden lässt, würde mich jetzt aber mal brennend intressieren.
Welche Wurzel aus N Regel meinst du? Es gibt so einige Dinge bei den der Wurzel aus N Faktor auftritt.


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 12:11
@atraback
im Prinzip danke für die Quellenangaben. Natürlich fehlt mir die Möglichkeit, es mit einem vertretbaren Aufwand selbst zu lesen.


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 12:29
Zitat von atrabackatraback schrieb:Welche Wurzel aus N Regel meinst du?
Die, die das Naturgesetz hinlänglich gut bestätigt.


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Random Matrix Theory

04.06.2012 um 16:03
Zitat von atrabackatraback schrieb:Wo die Vorteile der Anwedung von Problemen mit Hilfe dieser Theorie liegen erkläre ich nächstes mal.
schieß los :)


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Random Matrix Theory

05.07.2014 um 14:54
Ich würde wirklich gerne mehr über die Dinger erfahren, also schieß los :Y:


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