Kann Pi plötzlich enden?

zaeld schrieb:Das "Beste Antwort" bezieht sich auf diese Aussage:

"weil Pi, meines Wissens, zur Annäherung an ein Unendlicheck genutzt wird (Kreis) und da dieser bekanntlich über unendlich viele Ecken verfügt muss die Zahl auch unendlich lang sein."

Unendliche lange Zahl heißt für mich irrationale Zahl. Unendlich lang bezieht sich ja wohl auf die Nachkommastellen...

Ist Pi jetzt die Annäherung oder der mit der Annäherung angestrebte Grenzwert?

Bei 1+1/2+1/4+1/8... ist jedes einzelne Rechenergebnis auf dem Weg zu unendlichen Termen eine Zahl unterhalb der 2 mit immer mehr Nachkommastellen. Jedes einzelne Rechenergebnis ist nur die Näherung an den Grenzwert, aber der Grenzwert ist 2.

Dies wurde ja bereits geklärt, daß die Näherung in Sachen Kommastellen sich anders verhalten kann als der Grenzwert.

Richtig ist, daß bei der Annäherung an die Kreiszahl Pi jeder Grenzwert als Flächeninhalt eines N-Ecks ermittelt wird. Das bedeutet aber nicht, daß Pi notwendig eine unendliche Folge von Nachkommastellen besitzen muß. Bis zur zwölfbillionsten Stelle kommen immer wieder andere Ziffern zutage, doch ab der zwölfbillionundeinsten Stelle könnten nur noch Neunen folgen, oder eine bisherige Ziffernfolge bis hin zur zwölfbillionsten wiederholt sich ab da. Ich rechne nicht damit, aber daß jede einzelne Rechenetappe ein Ergebnis mit noch einer weiteren Nachkommastelle ergeben wird, und daß es unendlich viel Etappen gibt, bedeutet nicht, daß der Grenzwert eine unendliche (im Sinne von nichtwiederkehrender) Ziffernkette wird haben müssen. Nur die Näherungen steigen so gegen unendlich in der Zahl der Nachkommastellen.

Schreibe:
5
5,5
5,55
5,555
5,5555
...
Keine der so niedergeschriebenen Zahlen hat eine periodische Ziffernfolge in den Nachkommastellen. Keine! Aber die Zahl, der man sich auf diese Weise immer mehr annähert, ist 5,5(periode)

Aus dem Charakter einer Näherung, so einheitlich jede dieser Näherungen untereinander auch ist, kann nicht notwendig der Charakter des Grenzwertes gefolgert werden. Nicht ohne weiteres, etwa mit dem Argument, daß die Zeichenfolge nach dem Komma immer länger wird, es also ne irrationale Zahl werden muß.

perttivalkonen schrieb:Bis zur zwölfbillionsten Stelle kommen immer wieder andere Ziffern zutage, doch ab der zwölfbillionundeinsten Stelle könnten nur noch Neunen folgen, oder eine bisherige Ziffernfolge bis hin zur zwölfbillionsten wiederholt sich ab da.

Geht nicht, da jede periodische Zahl a, selbst wenn sie erst ab einem gewissen Punkt periodisch ist, durch zwei ganze Zahlen p,q (q nicht 0) mit a = p/q ausgedrückt werden kann. Damit wäre Pi rational und nicht irrational.

@Heizenberch

Was willst Du? Noch jede Näherung für die Kreiszahl, selbst die mit den zwölf Billionen Nachkommastellen, kann doch ebenfalls als Teiler zweier natürlicher Zahlen wiedergegeben werden. Ist Pi also erwiesenermaßen rational?

Und wenn, wie ich sagte, ab der zwölfbillionundeinsten Stelle sich dann ne periodische Wiederholung der bisherigen Nachkommastellen oder eines Teiles davon einstellt, dann ist Pi eben eine rationale Zahl. War ja meine Aussage, daß Pi als irrationale Zahl nicht damit bewiesen werden kann, daß jede noch größere Näherung noch mehr Stellen hinterm Komma haben wird.

perttivalkonen schrieb:Was willst Du? Noch jede Näherung für die Kreiszahl, selbst die mit den zwölf Billionen Nachkommastellen, kann doch ebenfalls als Teiler zweier natürlicher Zahlen wiedergegeben werden.

Klar ist eine Approximation rational. Das heißt nicht, dass die Zahl, die approximiert wurde rational ist.

perttivalkonen schrieb:dann ist Pi eben eine rationale Zahl.

Hier eine kleine Sammlung von Beweisen, dass Pi irrational ist.
Wikipedia: Proof that π is irrational

perttivalkonen schrieb:War ja meine Aussage, daß Pi als irrationale Zahl nicht damit bewiesen werden kann

Und diese Aussage ist bewiesenermaßen Bullshit. Sorry für diesen Ausdruck.

Heizenberch schrieb:Hier eine kleine Sammlung von Beweisen, dass Pi irrational ist.

Um die gings mir nicht, sondern um einen hier angesprochenen.

Daher ist Deine Erklärung von 23;12 eben auch nicht hilfreich für meine Darlegung. Ich habe nur gesagt, daß der von mir angesprochene Beweis eben auch auf ein rationales Pi hinauslaufen kann und nicht beweist, daß Pi irrational sein muß.

Heizenberch schrieb:Und diese Aussage ist bewiesenermaßen Bullshit.

Ne Erklärung zum Wieso wäre zwar sinnvoller gewesen, aber wie so oft nehme ich eher an, daß Deine Wertung mehr Deinem Mißverstehen meines Anliegens geschuldet war.

perttivalkonen schrieb:Daher ist Deine Erklärung von 23;12 eben auch nicht hilfreich

Tipp: Auf Namen neben dem Post klicken und Link in der Adressleise kopieren ;)

@Heizenberch
Tip: Nimm den Link von "melden", gleicher Effekt. Aber nur, wenn Du verlinken willst

@zaeld

zaeld schrieb:Unendliche lange Zahl heißt für mich irrationale Zahl. Unendlich lang bezieht sich ja wohl auf die Nachkommastellen...

Weshalb denn? Die Unendlichkeit der Nachkommastellen einer Zahl alleine sagt doch nicht zwingend etwas über deren Irrationalität aus.

zaeld schrieb:Und was meinst du nun mit "Unendlichkeit der Zahl Pi", wenn damit nicht die Irrationalität gemeint ist?

Wenn wir mal die Nummerphilie beiseite legen und uns Bildlich vorstellen wie pi zustande kommt dann ist es meiner Meinung nach einfach einleuchtend das sie unendlich sein Muss (unendlicheck). Jedoch kann ich daraus nicht direkt auf die Irrationalität schliessen.

perttivalkonen schrieb:Daher ist Deine Erklärung von 23;12 eben auch nicht hilfreich für meine Darlegung. Ich habe nur gesagt, daß der von mir angesprochene Beweis eben auch auf ein rationales Pi hinauslaufen kann und nicht beweist, daß Pi irrational sein muß.

Ihr habt mich doch dazu gebracht nochmal den alten Fichtenholz herauszukramen, Kapitel 2: 9. Die Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche
Seite 26 unten:
"(...) Hieraus folgt insbesondere, daß die Dezimalbruchentwicklung einer Zahl, die nicht nach endlich vielen Stellen abbricht, weder die Periode 0 noch die Periode 9 hat, da jeder Bruch mit der Periode 0 oder 9 ein endlicher Dezimalbruch ist.
Von nun an kann sich der Leser die reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche vorstellen. (...)"
Das aber nur als Bemerkung...

Ich hoffe ich habe dich dahingehend richtig verstanden, dass du lediglich zum Ausdruck bringen wolltest, dass viele Nachkommastellen allein nicht hinreichend sind, um die Irrationalität zu beweisen?

Bumbelbee schrieb:Weshalb denn? Die Unendlichkeit der Nachkommastellen einer Zahl alleine sagt doch nicht zwingend etwas über deren Irrationalität aus.

Wenn ich das Buch schon einmal offen habe, so zitiere ich einfach mal weiter.
Seite 27 oben, selbes Kapitel:
"Aus der Schule ist bekannt, daß jeder periodische unendliche Dezimalbruch eine rationale Zahl darstellt und umgekehrt jede rationale Zahl in einem periodischen Dezimalbruch entwickelbar ist. Somit können die nichtperiodischen unendlichen Dezimalbrüche zu Darstellung der neu eingeführten irrationalen Zahlen dienen."

Also ja ich stimme zu, die Unendlichkeit allein ist nicht entscheidend, die Periodizität ist zu untersuchen.

Die Zahl Pi ist eine irrationale Zahl und besitzt von daher weder eine endliche noch eine periodische Dezimaldarstellung.

Pi ist weiterhin transzendent und kann folglich nicht Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein.

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/

BlackFlame schrieb:Ich hoffe ich habe dich dahingehend richtig verstanden, dass du lediglich zum Ausdruck bringen wolltest, dass viele Nachkommastellen allein nicht hinreichend sind, um die Irrationalität zu beweisen?

Correctalmente!

@AnGSt
Nur die Meinung eines Laien der "nie" gut war in Mathematik:

Pi ist gleich 3, 13 .................................................................... usw. richtig ?

Wenn man Pi aufrundet auf 3,14 um die Fläche zu berechen dann müßte doch die Rechnung eigentlich ungenau bis Falsch sein, oder ?

@perttivalkonen
Tut mir leid, mir war nicht klar, was du aussagen wolltest. (Wie du gemerkt hast)

@Bumbelbee

Bumbelbee schrieb:Weshalb denn? Die Unendlichkeit der Nachkommastellen einer Zahl alleine sagt doch nicht zwingend etwas über deren Irrationalität aus.

Wenn eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat (und sich diese nicht periodisch wiederholen), dann ist das eine irrationale Zahl. Das folgt aus der Definition der irrationalen Zahlen.

Bumbelbee schrieb:Wenn wir mal die Nummerphilie beiseite legen und uns Bildlich vorstellen wie pi zustande kommt dann ist es meiner Meinung nach einfach einleuchtend das sie unendlich sein Muss (unendlicheck). Jedoch kann ich daraus nicht direkt auf die Irrationalität schliessen.

Ja was heißt denn bei dir nun "eine Zahl ist unendlich"? Ist das eine Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat, die nicht periodisch sind? Wenn ja, dann ist das irrationale Zahl.

Oder ist die Zahl unendlich, weil man sie mit unendlich vielen Komponenten addiert (oder so) annähern kann? Wenn ja, dann erinnere dich an das Beispiel mit der Summe von 1/x^2 (1/2 + 1/4 + 1/8 +...). Diese Zahl besteht auch aus unendlich vielen Komponenten, das Ergebnis ist aber 1 (bzw. 2, wenn man mit der 1 anfängt). 1 ist aber schätzungsweise keine unendliche Zahl, oder?

Pi kommt dadurch zustande, indem man sagt "Pi ist die Zahl, die sich ergibt, wenn man den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilt".

Welchen Wert diese Zahl hat, kann man durch Näherungsverfahren ermitteln, indem z.B. der Kreis als ein Unendlicheck angesehen wird. Warum allerdings die Konstruktion eines Unendlichecks zwingend zu einer irrationalen Zahl führen soll, ist nach wie vor nicht geklärt. Wie ich zeigte, kann man ein Dreieck auch durch unendlich viele Ecken (bzw. Stufen) annähern, und da ist das Ergebnis rational.

@Heizenberch
@perttivalkonen

Ihr sprecht doch das gleiche; man kann aus den Approximationen von Pi nicht schlußfolgern, daß Pi irrational ist, Pi könnte also immer noch rational sein.

Daß Pi irrational ist, ist euch beiden (soweit ich das verstanden habe) ja durchaus bewußt, allerdings braucht es dafür eben andere Beweise.

Ach so, hat sich gerade geklärt...

Z.

@Heizenberch
Shit happens halt immer mal, freun wir uns auf den nächsten...

@zaeld

zaeld schrieb:Wie ich zeigte, kann man ein Dreieck auch durch unendlich viele Ecken (bzw. Stufen) annähern, und da ist das Ergebnis rational.

Vielleicht, nur so eine Idee, ist es deshalb so, weil die Restflächen also die Stufen zufälligerweise genau die Geometrie aufweisen, die man errechnen möchte, so daß man die Lösung die man noch nicht hat für das Gesamtdreieck, als Integral-Ausdruck dennoch schon verwenden kann und in die letzt zu berechnenden "Fehlstellen" einfügt, also ein Loop in einem Loop einfügt. Ein Integralausdruck in ein Integralausdruck einfügt !?
Mein Gott hoffentlich versteht einer was ich sagen wollte !?

Bei dem Kreis wiederum, entsteht ein Restfläche wo ein Rechteck auf ein Bogen trifft, diese Restfläche sieht aus wie ein Bogen mit Sehne und müsste völlig anders berechnet werden, bzw. ist es halt nicht so wie bei dem Dreick, wo die identische Form die man sucht genau die Restflächengeometrie besitzt.

Nur eine Idee, wie gesagt

Der Beweis dass pi irrational ist ist nich so schwer, aber wer kann beweisen dass pi transzendent ist? :p
Mutige vorann!

@zaeld

zaeld schrieb:Wenn eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat (und sich diese nicht periodisch wiederholen), dann ist das eine irrationale Zahl. Das folgt aus der Definition der irrationalen Zahlen.

Stimmt ja völlig nur ist diese Aussage was anderes als deine vorhergehende:

zaeld schrieb:Unendliche lange Zahl heißt für mich irrationale Zahl. Unendlich lang bezieht sich ja wohl auf die Nachkommastellen...

Btw. die Klammern würde ich weglassen denn die "nicht" Periodizität ist wesentlich.

zaeld schrieb:Ja was heißt denn bei dir nun "eine Zahl ist unendlich"? Ist das eine Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat, die nicht periodisch sind?

Lies mal den Disskussionstitel und überlege dir was damit gemeint sein könnte. Wo du daraus eine Aussage über die Periodizität liest ist mit schleierhaft.

zaeld schrieb:Warum allerdings die Konstruktion eines Unendlichecks zwingend zu einer irrationalen Zahl führen soll, ist nach wie vor nicht geklärt. Wie ich zeigte, kann man ein Dreieck auch durch unendlich viele Ecken (bzw. Stufen) annähern, und da ist das Ergebnis rational.

Stimmt, ich habe auch deutlich ausgedrückt das man dadurch auf die Unendlichkeit der Zahl Pi kommt und nicht auf die Irrationalität, das kannst du gerne jemand anderem erklären.

@zaeld
Noch was gefunden, vielleicht war meine vorherige Idee gar nicht so schlecht:



Am Ende gibt es hier 0% Restfläche.

@Bumbelbee

Bumbelbee schrieb:Stimmt ja völlig nur ist diese Aussage was anderes als deine vorhergehende:

Wieso, da steht in beiden Sätzen, daß eine Zahl mit unendlich vielen nichtperiodischen Nachkommastellen irrational ist. Ich kann da keinen Widerspruch sehen, oder was da nur anders sein soll.

Bumbelbee schrieb:Lies mal den Disskussionstitel und überlege dir was damit gemeint sein könnte.

Ob es sich bei Pi um eine irrationale Zahl handelt, lese ich aus dem Titel.

Bei dir ist aber anscheinend eine "unendliche Zahl" etwas anderes als als eine irrationale Zahl. Leider willst du ja nicht verraten, was für dich eine unendliche Zahl ist. In deinen Kopf gucken kann ich leider nicht.

Bumbelbee schrieb:Wo du daraus eine Aussage über die Periodizität liest ist mit schleierhaft.

Wo mache ich das denn?

Bumbelbee schrieb:Stimmt, ich habe auch deutlich ausgedrückt das man dadurch auf die Unendlichkeit der Zahl Pi kommt und nicht auf die Irrationalität,

Da, schon wieder. Was soll denn eine "Unendlichkeit einer Zahl" sein?

Ich fragte ja schon, ob damit die Anzahl der Nachkommastellen gemeint ist, aber zu einem eventuellen "Ja" oder "Nein, sondern damit ist gemeint, daß..." kannst du dich ja leider nicht durchringen.

@skmo

skmo schrieb:Vielleicht, nur so eine Idee, ist es deshalb so, weil die Restflächen also die Stufen zufälligerweise genau die Geometrie aufweisen,

Vielleicht ist das so, vielleicht auch nicht. Aber das genügt schon als Gegenbeispiel um aufzuzeigen, daß man alleine aus einer Approximation durch sehr viele bis unendlich viele Rechtecke eben nicht auf Irrationalität schließen kann.

Z.