Kann Pi plötzlich enden?

@zaeld

zaeld schrieb:Eine nicht zufriedenstellende Antwort, weil die Folgerung, daß Pi unendlich viele Stellen zur Folge hat, nicht logisch hergleitet wird, sondern nur einfach hinbehauptet wird..

Die Herleitung von Pi an sich bedingt ja schon eine unendliche Zahlenfolge.

zaeld schrieb:Pi beschreibt aber gar keinen Prozess, sondern ist einfach nur das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser bei einem Kreis. Das könnte genausogut eine rationale oder sogar natürliche Zahl sein.

Pi kann nur irrational sein weil sie eine Annäherung an das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist und keine Absolute Zahl.

@skmo

skmo schrieb:Ich sagte ja, wenn wir nicht das Dezimalsystem hätten.

Das hat aber nichts mit dem Dezimalsystem zu tun, denn das spielt erst eine Rolle, wenn man eine Zahl darstellen möchte. Man kann aber die Eigenschaften von Pi betrachten, ohne daß man konkrete Zahlen hinschreiben muß und sich damit auf ein Zahlensystem festlegt.

Daß Pi eine irrationale Zahl sagt nichts anderes aus, daß Pi nicht als "ganze Zahl geteilt durch ganze Zahl", also x/y dargestellt werden kann. Was mit sich bringt, daß in überhaupt keinem Zahlendarstellungssystem - egal ob Dezimal, Dual, Hexadezimal, Oktal usw. - die Stellen hinterm Komma irgendwann aufhören.

skmo schrieb:Die Antwort von @unecht ist durchaus zufriedenstellend, es kann ja keine rationale Zahl herauskommen, wenn man nur eine Annäherung verwendet indem man eckig etwas rundes beschreiben will !

Und es bleibt eine unbegründete Behauptung.

Wenn ich ein leeres Glas nehme und es zur Hälfte mit Waser fülle, dann ist der Füllstand anschließend 1/2. Wenn ich dann den verbliebenen Rest wieder zur Hälfte auffülle, ist der Füllstand 3/4. Das gleiche nochmal ergibt einen Füllstand von 7/8. Nochmal ergibt 15/16. Bei den Annäherungen haben wir es die ganze Zeit mit rationalen, nicht-natürlichen Zahlen zu tun. Dann dürfte ja nach deiner Logik das Ergebnis nach unendlich vielen Wiederholungen keine natürliche Zahl ergeben - tut es aber, das Glas ist am Ende exakt voll und hat den Füllstand 1.

skmo schrieb:Jede Integralrechnung liefert die gleiche nicht zufriedenstellende Genauigkeit.

Aber hallo, natürlich liefert die Integralrechnung exakte Genauigkeiten. Dort wird ja schließlich unendlich oft angenähert, sodaß am Ende die Differenz zum "eigentlichen" Ergebnis 0, periode 0 ist.

@Bumbelbee

Bumbelbee schrieb:Die Herleitung von Pi an sich bedingt ja schon eine unendliche Zahlenfolge

Das mag ja sein, dann muß man aber anhand dieser konkreten Herleitung argumentieren und nicht so allgemein mit einem Bauchgefühl. Deshalb hatte ich ja das Beispiel mit der Summe gebracht, man rechnet die ganze Zeit mit nicht-natürlichen Zahlen ("da kann doch keine natürliche Zahl herauskommen") und am Ende steht doch eine natürliche Zahl da.

Pi kann nur irrational sein weil sie eine Annäherung an das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist und keine Absolute Zahl.

Nein, Pi steht für das exakten Umfang/Durchmesser-Verhältnis und nicht für eine Annäherung. Allerdings ist jede Zahlendarstellung von Pi nur eine Annäherung, und ganz im Gegenteil ist jede konkrete Darstellung der Zahl Pi (genauer gesagt damit die angenäherte Darstellung) eine rationale Zahl. Damit kann man nichts darüber sagen, ob das "echte" Pi eine rationale oder eine irrationale Zahl ist.

Und natürlich zweifle ich nicht an, daß Pi eine irrationale Zahl ist. Allerdings reichen für den Beleg dafür nicht diese Behauptungen aus, die hier getätigt wurden.

Z.

@zaeld

zaeld schrieb:Aber hallo, natürlich liefert die Integralrechnung exakte Genauigkeiten. Dort wird ja schließlich unendlich oft angenähert, sodaß am Ende die Differenz zum "eigentlichen" Ergebnis 0, periode 0 ist.

Quatsch !
Bei der Berechnung von eckigen Flächen 0,0; dafür braucht man aber keine Integralrechnung.
Bei der Berechnung der Fläche, die beispielsweise eine umgedrehte Parabel einnimmt, wird letztendlich mit eckigen geometrischen Funktionen gearbeitet, das kannst Du so unendlich oft machen, wie Du willst, es bleibt eine Annäherung. Wenn Du aufhörst, wird immer jemand der weiter iteriert immer weitere Nachkommastellen liefern (müssen) !

@AnGSt

Kann man sagen dass PI chaotisch und nicht redundant ist?

@zaeld

zaeld schrieb:Das mag ja sein, dann muß man aber anhand dieser konkreten Herleitung argumentieren und nicht so allgemein mit einem Bauchgefühl.

Das ist so. Und das war auch kein Bauchgefühl. Sondern ne logische Schlussfolgerung, so habe ich das verstanden.

zaeld schrieb:Nein, Pi steht für das exakten Umfang/Durchmesser-Verhältnis und nicht für eine Annäherung.

Das ist schlichtweg Falsch. Ansonsten erkläre mir wie gross ein dimensionsloser Punkt in der Realität denn genau ist?

zaeld schrieb: und ganz im Gegenteil ist jede konkrete Darstellung der Zahl Pi (genauer gesagt damit die angenäherte Darstellung) eine rationale

Falsch.

ine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

Wikipedia: Rationale Zahl

zaeld schrieb:Damit kann man nichts darüber sagen, ob das "echte" Pi eine rationale oder eine irrationale Zahl ist.

Doch das kann man sagen weil es klar definiert ist.

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Eine irrationale Zahl ist dadurch gekennzeichnet, dass sie kein Verhältnis von ganzen Zahlen ist

Wikipedia: Irrationale Zahl

zaeld schrieb:Allerdings reichen für den Beleg dafür nicht diese Behauptungen aus, die hier getätigt wurden.

Wie gesagt das hat mit der Herleitung von Pi zutun. Das wird in diesem Link sehr gut beschrieben:

http://www.mathematrix.de/flacheninhalt-kreis-herleitung-pi/

@Bumbelbee
Guter Link !
Das erste Bild erklärt auch gleichzeitig die UNGENAUIGKEIT der Integralrechnung danke! ;)

@zaeld

zaeld schrieb:Wenn ich ein leeres Glas nehme und es zur Hälfte mit Waser fülle....

Dieses Beispiel hat aber ebenfalls seine Tücken, Gläser sind meistens rund, Du könntest mir auch hier ebenfalls nicht die absolut genaue Literangabe die dein Glas hat berechnen.

Halb leer, 15/16, sind dezimale Zahlenwerte von einer ungenauen Gefäßmenge, die Du nicht genau ausrechnen kannst. Also dann kann ich ja auch mit dem Bogenmaß-Gradsystem argumentieren.
90° sind genau 1/2 Pi, 1° sind genau 1/180 Pi, tue ich alle wieder zusammen habe ich wieder meinen vollen Kreis mit 360°, und der ist wiederum 2 volle Pi.

Die Irrationalität gibt es auch bei eckigen Berechnungen.
Welche Seitenlänge hat ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 2cm^2 ?
=Wurzel aus 2, und diese Zahl hat wieviele Stellen nach dem Komma......? ;)

@skmo

skmo schrieb:Bei der Berechnung der Fläche, die beispielsweise eine umgedrehte Parabel einnimmt, wird letztendlich mit eckigen geometrischen Funktionen gearbeitet, das kannst Du so unendlich oft machen, wie Du willst, es bleibt eine Annäherung.

Nein, wenn man es endlich oft macht, bleibt es eine Annäherung. Wenn man es unendlich oft macht, erhält man das exakte Ergebnis, weil die Differenz zwischen Annäherung und echtem Ergebnis genau 0 wird.

Bei der Integralrechnung wird das unendlich oft gemacht, deshalb ist das Ergbnis exakt und nicht angenähert.

skmo schrieb:Das erste Bild erklärt auch gleichzeitig die UNGENAUIGKEIT der Integralrechnung danke!

Nein, denn bei der Integralrechnung sind die Rechtecke unendlich schmal (Breite = 0), damit ist die Differenz zum Flächeninhalt eines echten Kreises 0.

Du kannst es dir spaßeshalber mal mit einem Dreieck klar machen, bei dem du das Integral unter dieser Kurve (ist in diesem Fall die schräge Gerade des Dreiecks) berechnest; da kommt exakt die Formel für die Flächenberechnung eines Dreiecks heraus und keine Näherung.

skmo schrieb:Dieses Beispiel hat aber ebenfalls seine Tücken, Gläser sind meistens rund, Du könntest mir auch hier ebenfalls nicht die absolut genaue Literangabe die dein Glas hat berechnen.

Man kann das mit einem idealen Glas betrachten, denn es geht ja um ein Gedankenexperiment. Wenn du Schwierigkeiten hast, das abstrakt zu sehen, dann nimm eben das andere von mir gebrachte Ding, die Summe von 1/2 + 1/4 + 1/8 usw.

Da rechnet man auch die ganze Zeit nur mit nicht-natürlichen Zahlen, und am Ende ist der Grenzwert eine natürliche Zahl. Das könnte analog bei Pi ebenfalls der Fall sein. Deshalb taugt die Argumentation nicht, daß man ja die ganze Zeit mit irrationalen Zahlen herumhantiert (macht man ja sogar nicht).

Du kannst natürlich alternativ auch einfach mal mathematisch zeigen, woraus sich die Irrationalität genau ergibt.

skmo schrieb:Die Irrationalität gibt es auch bei eckigen Berechnungen.

Ja, und?

@Bumbelbee

Bumbelbee schrieb:Das ist so. Und das war auch kein Bauchgefühl. Sondern ne logische Schlussfolgerung, so habe ich das verstanden.

Es wurde aber lediglich mit einem Bauchgefühl argumentiert, und nicht mit einer mathematischen Folgerung.

So wie mit dem leeren Glas, dessen Restleere immer zur Hälfte gefüllt wird. Da wird nur mit nicht-natürlichen, rationalen Zahlen hantiert. Nach eurem Bauchgefühl dürfte da auch nur ein nicht-natürliches Endergebnis herauskommen. Tut es aber nicht.

Nein, Pi steht für das exakten Umfang/Durchmesser-Verhältnis und nicht für eine Annäherung.


Das ist schlichtweg Falsch. Ansonsten erkläre mir wie gross ein dimensionsloser Punkt in der Realität denn genau ist?

In der mathematischen Realität? Genau 0. Pi ist ein mathematisches Konstrukt, und wie gesagt: Pi repräsentiert das Verhältnis vom Umfang zu Durchmesser, welches bei jedem Kreis gleich ist. Pi ist ein Platzhalter für genau diesen Wert.

Für die Dezimaldarstellung dieser Zahl gibt es eben diese Verfahren, diese können aber den Wert von Pi immer nur annähernd darstellen.

zaeld schrieb:
und ganz im Gegenteil ist jede konkrete Darstellung der Zahl Pi (genauer gesagt damit die angenäherte Darstellung) eine rationale


Falsch.

ine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

Genau. Und jede hingeschriebene Dezimalzahl ist eine rationale Zahl. Wenn du eine Darstellung von Pi mit 2 Nachkommastellen hast, kannst du das Komma in '3,14' wegstreichen (=> '314'), das in den Zähler des Bruchs packen und in den Nenner eine 1 mit der Anzahl der Nachkommastellen Nullen ('1' + 2 Nachkommastellen Nullen '00' => '100'), ergibt 314/100, eine rationale Zahl. Das gleiche kannst du auch mit 1 Million Nachkommastellen wiederholen; jede hingeschriebene Dezimalzahl ist damit eine rationale Zahl.

Damit ist jede konkret berechnete Annäherung von Pi eine rationale Zahl.

zaeld schrieb:
Damit kann man nichts darüber sagen, ob das "echte" Pi eine rationale oder eine irrationale Zahl ist.


Doch das kann man sagen weil es klar definiert ist.

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Eine irrationale Zahl ist dadurch gekennzeichnet, dass sie kein Verhältnis von ganzen Zahlen ist

Nun ist wie gerade gezeigt jede Annäherung an Pi eine rationale Zahl. Wie kann man nun daraus folgern, daß Pi eine irrationale Zahl ist? Vielleicht ist Pi ja auch rational, nur haben die Verfahren noch nicht das eigentliche Endergebnis geliefert?

zaeld schrieb:
Allerdings reichen für den Beleg dafür nicht diese Behauptungen aus, die hier getätigt wurden.


Wie gesagt das hat mit der Herleitung von Pi zutun. Das wird in diesem Link sehr gut beschrieben:

http://www.mathematrix.de/flacheninhalt-kreis-herleitung-pi/

In dem Link steht leider nichts davon, woraus sich die Irrationalität von Pi ergibt. Dort steht nur, daß es so ist.

Z.

@zaeld

zaeld schrieb:Bei der Integralrechnung wird das unendlich oft gemacht, deshalb ist das Ergbnis exakt und nicht angenähert.

VÖLLIGER QUATSCH !!
Deswegen gibt es wohl keine Integralrechnung, die jemals abgeschlossen werden konnte ?! ;)
Klar lässt man n gegen unendlich laufen, trotzdem bleibt es ein eckiges Ergebnis !!!!!!
Du kannst keine runden Sachen genau ausrechnen. Punkt
Jedes mal, wenn Du mir ein Ergebnis lieferst, könnte ich Dir ein noch genaueres liefern.
Wir könnten den Flächeninhalt eines Kreises oder einer Parabel bis in alle Ewigkeit rechnen, wir würden NIEMALS mit einer Abweichung von 0,0Periode aufhören, was ist daran so schwer zu begreifen !!

@zaeld

zaeld schrieb:In der mathematischen Realität?

Nein, in Wirklichkeit, ich habe nichts von mathematisch geschrieben ;)

zaeld schrieb:kannst du das Komma in '3,14' wegstreichen (=> '314'), das in den Zähler des Bruchs packen und in den Nenner eine 1 mit der Anzahl der Nachkommastellen Nullen ('1' + 2 Nachkommastellen Nullen '00' => '100'), ergibt 314/100, eine rationale Zahl.

3,14 ist nicht = 314 :D

Sonst könnte ich auch sagen "Addiere zu 3,14 noch 0,86, das gibt dann 4 daher ist 3,14 eine rationale Zahl". Das ist Humbug.

zaeld schrieb:Nun ist wie gerade gezeigt jede Annäherung an Pi eine rationale Zahl. Wie kann man nun daraus folgern, daß Pi eine irrationale Zahl ist?

Wie gerade gezeigt ist das Humbug, es sei denn ich heisse Pippi Langstrumpf und mache mir die Welt wie sie mir gefällt ;)

zaeld schrieb:Vielleicht ist Pi ja auch rational, nur haben die Verfahren noch nicht das eigentliche Endergebnis geliefert?

Ne das ist logisch ableitbar das Pi irrational ist.

zaeld schrieb:In dem Link steht leider nichts davon, woraus sich die Irrationalität von Pi ergibt. Dort steht nur, daß es so ist.

Ich habe dir ja noch Wikipedia verlinkt, da steht die genaue Definition was eine Irrationale Zahl ist. Das Pi irrational ist, ist nur logisch.

@zaeld

Bumbelbee schrieb:3,14 ist nicht = 314 :D

Sonst könnte ich auch sagen "Addiere zu 3,14 noch 0,86, das gibt dann 4 daher ist 3,14 eine rationale Zahl". Das ist Humbug.

Wobei noch Anzufügen ist 3,14 ist tatsächlich eine Rationale Zahl jedoch ist sie nicht = pi, sondern ein gerundeter Wert ;)

@Bumbelbee

zaeld schrieb:kannst du das Komma in '3,14' wegstreichen (=> '314'), das in den Zähler des Bruchs packen und in den Nenner eine 1 mit der Anzahl der Nachkommastellen Nullen ('1' + 2 Nachkommastellen Nullen '00' => '100'), ergibt 314/100, eine rationale Zahl.

Bumbelbee schrieb:3,14 ist nicht = 314 :D

Sonst könnte ich auch sagen "Addiere zu 3,14 noch 0,86, das gibt dann 4 daher ist 3,14 eine rationale Zahl". Das ist Humbug.

Er hat nicht gesagt, daß 3,14 dasselbe sei wie 314, sondern wie 314 / 100. Mit anderen Worten, es handelt sich um eine rationale Zahl. Jede Zahl, die sich als ein Bruch ganzer Zahlen darstellen läßt, ist eine rationale Zahl. Und jede Näherung an die Kreiszahl ist eine rationale Zahl.

Nun fragt er, wieso Pi eine irrationale Zahl sein kann, wenn jede Näherung eine rationale Zahl ist. Darum ging es. Und es wäre klug, den Gegenüber erst mal zu verstehen und nicht das Mißverstandene abzulehnen und Humbug zu nennen.

Bleibt natürlich Humbug, denn schon das vorherige Beispiel mit 1+1/2+1/4...=2 zeigt, daß jede Summe ein Ergebnis hat, welches keine ganze Zahl ist, aber das Endergebnis/Ziel bzw. der angestrebte Grenzwert, die 2, ist genau so etwas. Daß die "Zwischenergebnisse" etwas anderes sind, besagt nichts über das Ergebnis. Nicht notwendig.

Na jedenfalls wird aus dem Grenzwert Pi keine ganze Zahl mehr. Man sieht ja, woran die Ergebnisse sich mehr und mehr annähern. An den bisher erhaltenen 12 Billionen Nachkommastellen wird sich bis auf maximal eine ja nix mehr ändern.

@perttivalkonen
Du hast natürlich recht, ich hatte noch das "Exakte" pi im Kopf. 3,14 ist rational aber nicht = pi. So wäre es richtig gewesen....

@perttivalkonen

perttivalkonen schrieb: Jede Zahl, die sich als ein Bruch ganzer Zahlen darstellen läßt, ist eine rationale Zahl. Und jede Näherung an die Kreiszahl ist eine rationale Zahl.

Um die Zahl Pi mit einem Bruch ganzer Zahlen zu beschreiben, hätte sowohl die Zahl im Zähler als auch die im Nenner eine unendliche Länge, also wären es auch irrationale Zahlen.

@skmo

skmo schrieb:Deswegen gibt es wohl keine Integralrechnung, die jemals abgeschlossen werden konnte ?! ;)
Klar lässt man n gegen unendlich laufen, trotzdem bleibt es ein eckiges Ergebnis !!!!!!

Da wie gesagt die Rechtecke, die die Fläche unter der Kurve annähern sollen, bei der Integralrechnung die Breite 0 haben, wird die Fläche EXAKT nachgebildet, und zwar mit unendlich vielen Rechtecken.

Und daß man bei der Integralrechnung keine Iterationen durchführt, ist dir doch hoffentlich klar?!

skmo schrieb:Du kannst keine runden Sachen genau ausrechnen. Punkt

Doch, die Integralrechnung macht das möglich, auch wenn du doll mit dem Fuß aufstampfst.

skmo schrieb:Jedes mal, wenn Du mir ein Ergebnis lieferst, könnte ich Dir ein noch genaueres liefern.
Wir könnten den Flächeninhalt eines Kreises oder einer Parabel bis in alle Ewigkeit rechnen, wir würden NIEMALS mit einer Abweichung von 0,0Periode aufhören, was ist daran so schwer zu begreifen !!

Nimm die Parabel x^2. Die Fläche darunter (von 0 bis x) ist EXAKT 1/3 x^3, ohne Annäherungsfehler. Das ist Integralrechnung.

@Bumbelbee

Bumbelbee schrieb:Nein, in Wirklichkeit, ich habe nichts von mathematisch geschrieben ;)

Ach so, ich dachte, wir unterhalten uns gerade über Mathematik. Pi zumindest ist ein rein mathematisches Konstrukt - was da Ausdehnungen von nicht-mathematischen Punkten mit zu tun haben, ist mir gerade etwas schleierhaft.

Bumbelbee schrieb:3,14 ist nicht = 314 :D

Wie perttivalkonen schon bemerkt hat, ich schrieb 314/100. 3,14 ist somit eine rationale Zahl.

Bumbelbee schrieb:Sonst könnte ich auch sagen "Addiere zu 3,14 noch 0,86, das gibt dann 4 daher ist 3,14 eine rationale Zahl". Das ist Humbug.

Im Gegensatz zu 3,14, 0,86 und 4 handelt es sich bei 3,14 und 314/100 um dieselbe Zahl.

Bumbelbee schrieb:Ne das ist logisch ableitbar das Pi irrational ist.

Na dann zeige doch mal die Logik.

Wie kann man aus rationalen Annäherungen an Pi auf Irrationalität von Pi schließen?

Bumbelbee schrieb:Ich habe dir ja noch Wikipedia verlinkt, da steht die genaue Definition was eine Irrationale Zahl ist.

Danke, das ist mir bereits bekannt.

Z.

@skmo
Und jetzt lies mal den Beitrag direkt über Deinem.

@zaeld

Bumbelbee schrieb:
Ne das ist logisch ableitbar das Pi irrational ist.

Na dann zeige doch mal die Logik.

Wie kann man aus rationalen Annäherungen an Pi auf Irrationalität von Pi schließen?

Guter Trick ;) .... Nicht die Annäherung an Pi ist Irrational sondern Pi selbst, darum gings.

pi endet irgendwann da wo man keine lust hat mehr weiterzurechnen , um weitere stellen hinter dem komma zu erhalten , oder man stoppt die spirale :aluhut:

@Bumbelbee

Bumbelbee schrieb:Nicht die Annäherung an Pi ist Irrational sondern Pi selbst, darum gings.

Aus den Annäherungen wurde aber irgendwie gefolgert, daß Pi irrational sein muß. Hier die ursprüngliche Aussage (von der vorigen Seite):

"weil Pi, meines Wissens, zur Annäherung an ein Unendlicheck genutzt wird (Kreis) und da dieser bekanntlich über unendlich viele Ecken verfügt muss die Zahl auch unendlich lang sein."

Die Schlußfolgerung 'unendlich viele Ecken, deshalb muß Pi irrational sein' ist ganz einfach keine - zumindest fehlen dafür wesentliche Teile:

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden kurzen jeweiligen Seitenlängen 1 kann man auch durch viele schmale Rechtecke annähern, im Grenzfall unendlich viele. Nach dieser von mir kritisierten Schlußfolgerung müßte der Flächeninhalt logischerweise auch irrational sein, da ja unendlich viele Rechtecke verwendet wurden. Ist es aber nicht, der Flächeninhalt ist 1/2.

Mir geht es ausschließlich um diese falsche oder unvollständige Schlußfolgerung von der vorigen Seite. Daß Pi irrational ist, bezweifle ich nicht, allerdings läuft der Nachweis für die Irrationalität eben über eine andere Schiene.

Z.