Der Kreis und seine Ecken! (Geometrie)

ich habe mal eine Frage zu einem mathematischen Thema:

Und zwar hab ich folgende Diskusssion mit einem Kumpel am Start:

Hat ein Kreis bzw. eine Kugel unendlich viele Ecken oder gar keine?

Google liefert keine richtige Antwort! Und mit diesen Yahoo-Answers tue ich mich schwer, da nicht ausreichend mathemattisch begründet!

Jetzt gibt es die einen, die sagen:

- Ein Kres hat unendlich viele Ecken!

- Ein Kreis hat keine Ecken!

- Ein Kreis hat beides!

- Ein Kries hat weder noch!

Ich denke. letzteres können wir defintiv ausschhließen!

Weiß da jemand eine genaue Antwort?

Es wäre nett, wenn jemand auch eine mathematische Begründung für seine Behauptungen mit aufzeigt!

Danke im Vorraus! :)

Abhängig von den Pixeln :D

Letzten Endes geht es doch darum, was das "kleinste Teilchen" ist, mit dem ein Kreis gebildet wird.
Ich tippe - als Nichtmathematiker - auf unendlich viele Kurven, begründet durch die ggf. vorhandenen Strings (Z-Theorie), aus welchen sich alles bildet.

@Mindslaver

Ein Kreis ist auch nur eine geometrische Konstruktion. Und ich würde dazu tendieren zu sagen, er hatt unendlich viele Ecken, da man zur Kreisbestimmung von immer kleiner werdenden Kanten ausgeht.

In der Theorie hat ein Kreis unendlich viele Ecken. In der unsrigen Welt jedoch hat er endlich viele.
Ein Kreis besteht ja auch nur aus Atomen und die sind bekanntlich auch nicht unendlich klein.

Das ist so ein Sache mit dem unendlich.

Ich denke ein Kreis hat dann unendlich viele Ecken, wenn sich zwei Parallelen in der Unendlichkeit treffen.

Unendlich ist eigentlich nur fiktiv und keine Zahlengrösse. Es ist etwas das nie erreicht wird.

Es ist das selbe wie wenn du sagst: "Ein Kreis hat 'tan(PI/2)' Ecken".

Im Limes sollten die ersten drei Aussagen äquivalent zueinander sein. Wenn ich den Grenzwert für die Anzahl der Ecken nach unendlich bilde, dann habe ich eben am Ende eine Konstruktion die sich von einem Kreis ohne Ecken nicht unterscheidet. Also gilt dann

Ein Kreis hat unendlich viele Ecken! <=> Ein Kreis hat keine Ecken! <=> Ein Kreis hat beides!

Aber wenn ein Kreis unendlich viele Ecken hat hat er auch unendlich viele Seiten oder?
Und wenn diese Seiten eine mindestlänge haben dann hätte jeder kreis einen unendlich langen umfang
Wäre jede seitenlänge 0 dann wäre auch der Umfang=0
Also entweder hat er keine oder eine begrenzte Zahl Ecken

Die Steigung eines Kreises und seine Krümmung ist stetig, also hat er keine Ecken (Ecke = Unstetigkeit in der Steigung, Punkt selber undefiniert)

x²+y²=1

Damit:

y = +/- sqrt(x²+y²)

was beides für ]-1,1[ mindestens einmal stetig differenzierbar ist. Darüber hinaus ist die Ableitung im Intervall wohldefiniert. Für die Randpunkte kann man zeigen, dass die Ordnung der Divergenz für beide Seiten gleich ist.

Ein Polygon mit divergierender Seitenzahl konvergiert gegen eine Kreis. Aber das heißt nicht, dass der Grenzwert einer Reihe von Polygonen wieder ein Polygon ist. Der Grenzwert gehört nicht zur Menge der Polygone. Das ganze ist im Prinzip ein dedekindscher Schnitt.

Mathematisch gesehen darf es keine Ecken haben. @HYPATIA hat es gut erklärt.
Subatomarisch gesehen hat es unendlich viele Ecken und auch wieder nicht. Es ist wohl ein bisschen wie Schrödingers Katze.. Außer bei 0 K. Da müsste die Anzahl der Ecken gegen unendlich gehen.

Also per Definition hat der Kreis Ecken, außerdem ist ja jeder Punkt des Umfangs vom Kreis genauso weit entfernt. Das wiederspricht sich für mich zwar in der Vorstellung, da bei jeder Ecke eine Gerade sein müsste, aber da Sachen nunmal in Mathe definiert werden, würde ich das eifnach so stehen lassen.

HYPATIA schrieb:Damit:

y = +/- sqrt(x²+y²)

Sollte natürlich korrekt

y = +/- sqrt(x²-1)

heißen ;)

spiderDK schrieb:Also per Definition hat der Kreis Ecken

x²+y²=r

Aha. Ich sehe schon, die Definition ist voller Ecken :D

Achso und als "Beweis" würde ich ganz spontan mal die Annähherung von "Pi" geben.
http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Kreiszahl-Pi-Kreiszahl (Archiv-Version vom 10.03.2013)

Man sieht, um so mehr Ecken, man hinzufügt, um so genauer wird die Zahl.
Also hat ein Kreis unendlich viele Ecken.

@spiderDK
Als Beweis solltest du dir einfach mal die Definitionen der Objekte betrachten, von denen wir hier reden. Bloß weil eine unendliche Reihe Pi als Grenzwert hat heißt das noch lange nicht, dass Pi eine rationale Zahl ist. Ich hab schon die dedekindschen Schnitte erwähnt.

Twisted_Fate schrieb:Und wenn diese Seiten eine mindestlänge haben dann hätte jeder kreis einen unendlich langen umfang.

Also mal prinzipiell:

Eine Summe über unendlich viele positive reelle Summanden kann durchaus eine reelle Zahl sein. Voraussetzung ist allerdings, dass die Summanden gegen Null gehen. Also die Folge der Summanden muss eine Nullfolge sein.

spiderDK schrieb:Also per Definition hat der Kreis Ecken, außerdem ist ja jeder Punkt des Umfangs vom Kreis genauso weit entfernt. Das wiederspricht sich für mich zwar in der Vorstellung, da bei jeder Ecke eine Gerade sein müsste, aber da Sachen nunmal in Mathe definiert werden, würde ich das eifnach so stehen lassen.

Wennschon, dann ist eine Kannte bzw. Seite durch eine Grade parametrisiert (im Polygon), aber nicht eine Ecke.
Und wie raycluster schon schrieb, ist die lokale Parametrisierung des Kreisbogens eine glatte Fkt.

@HYPATIA

Ja, habe deinen Post ja auch gelesen.
Ich denke aber, dass man von unendlich vielen Ecken reden kann, weil der Flächeninhalt eines Kreises gleich mit dem eines n-Ecks ist,wenn dieses den selben "Radius" hat, wobei n gegen unendlich läuft.

Kann spontan auch einen großen Denkfehler drin haben.
Mir war, aber auch wirklich so als ob man in nahezu allen Mathebüchern auch von unendlich vielen Ecken per Definition spricht.
Obwohl Mathebücher nicht als Quelle dienen sollten, soviele Fehler wie da teilweise drin sind^^

@HYPATIA

HYPATIA schrieb:Ein Polygon mit divergierender Seitenzahl konvergiert gegen eine Kreis.

Nicht ganz. Wenn die Seitenzahl hin und her springt, hat man auch eine Folge von Polygonen mit divergierender Seitenzahl.
Aber diese Folge von Polygonen konvergiert nicht notwendiger Weise gegen einen Kreis.

Richtig wäre: Eine Folge von Polygonen dessen Seitenzahl uneigentlich gegen unendlich konvergiert, konvergiert gegen einen Kreis

@RaChXa
aber unendlich mal 1*10^-1000 ist immernoch unendlich
Aber sobald die seitenlänge 0 ist ist auch der Umfang 0

@Twisted_Fate

Twisted_Fate schrieb:Aber sobald die seitenlänge 0 ist ist auch der Umfang 0

Nein. Was bei Null * Unendlich rauskommt ist schlicht nicht definiert. Wenn es einen Hintergrund zur jeweiligen Fragestellung gibt, kann man mit dem Limes an die Sache rangehen, dann kann Null, Unendlich oder auch eine konkrete Zahl dazwischen rauskommen.


Aber die Aussage 0*Unendlich=0 ist so einfach nicht richtig.

@MareTranquil
naja ich kenne das so
Irgendeine Zahl mal ist immer 0
Mehr habe ich nicht gelernt

@Twisted_Fate

Nach der gleichen Logik gild aber:
Irgendeine Zahl mal unendlich ist immer unendlich.

Und wenn beides gleichzeitig gelten soll gibts halt ein Problem.