Kleine mathematische Unlogik

hab ne frage

stellt euch vor ihr zeichnet einen strich - und wollt ihn zwei meter lang machen

ihr fangt an mit einem Zentimeter ... dürft aber das nächste mal nur ein drittel vom Zentimeter machen - und danach ein drittel davon ... und immer so weiter

erreicht man die 2 meter ?

oder verliert man sich in der Unendlichkeit der mitte

einerseits kommt man nicht weiter

andererseits muss man doch irgendwann in einer Ewigkeit trotzdem die zwei meter erreichen

was denkt ihr ?

Musst du genauer formulieren.
Nimmst du immer den gleichen Betrag (z. B. 0,33cm) kommst du irgendwann auf deine 2 m.
Nimmst du aber immer nur 1/3 der noch ausstehenden Strecke kommst du nie ans Ziel.
Ist das so ein abgewandeltes "Achilles und die Schildkröte"?

@emanon
stimmt das ist noch besser ... ein drittel der ausstehenden fläche

ich meinte aber immer ein drittel vom vorherigen strich - also 1cm - dann 0,33 --- dann ein drittel davon ... usw

erreicht man so die 2 meter ?

@emanon
Erst nimmt man einen Centimeter. Dann 1/3 Centimeter. Dann 1/3 von 1/3 Cenitmeter.
Also immer ein drittel von der zuletzt zurückgelegten Strecke.

Da finde ich dieses Video sehr schön:

What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

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Da nicht alle des englischen mächtig sind (und man eine Videozusammenfassung machen muss)

Es geht um Zenon's Paradoxon. Wenn man eine gewisse Strecke läuft, kann man diese in Teile der Strecke aufteilen. Zum Beispiel gehe ich zuerst 1/2 der strecke. Danach 1/4. Danach 1/8 usw.
Jede dieser Strecken braucht eine gewisse Zeit um zurückgelegt zu werden. Und da man dieses Spiel unendlich lange treiben kann, sollte auch das zurücklegen der Strecke unendlich lange dauern.
Der Fehler in der Argumentation ist, dass man unendlich viele endliche Mengen addieren kann, ohne, dass zwingend unendlich als Ergebnis rauskommt. Auch endliche Zahlen sind mögliche Ergebnisse.


Aber gut, das nur als kleiner Exkurs, der mir spontan eingefallen ist. Nach allem, handelt es sich hier um eine andere Problemstellung.

@Dr.Manhattan
Ich würde spontan sagen, nein.
Die zurückgelegte Strecke wird immer kleiner. Und würde man die Ewigkeit nehmen, wäre sie irgendwann unendlich klein, also Null. 
Man geht immer kleinere Schritte, bis man steht. Und ich denke, du kommst vor den zwei Metern zum stehen.

Nein, die wirst du nicht erreichen

@Dr.Manhattan
Eigentlich um bei Meter als Einheit zu bleiben: 0,01+0,0033+0,0011...usw.
Ich sage ja, es geht, denn es ist immer ein Zuwachs.

@Abahatschi
@Dr.Manhattan
Wenn du immer ein Drittel der noch ausstehenden Stecke x zurücklegst bleib immer der Rest von 2/3+x.
 Davon gehst du dann wieder 1/3 usw.
Du kommst nie an, weil das zugehende Drittel immer kleiner wird.

emanon schrieb:Wenn du immer ein Drittel der noch ausstehenden Stecke x zurücklegst bleib immer der Rest von 2/3+x. Davon gehst du dann wieder 1/3 usw.

Das hat er aber so nicht gesagt...schau mal mein Beispiel an.

Dr.Manhattan schrieb:ich meinte aber immer ein drittel vom vorherigen strich - also 1cm - dann 0,33 --- dann ein drittel davon ... usw

Abahatschi schrieb:0,01+0,0033+0,0011...usw.

@emanon
Nee, in dem Fall würde man ankommen. 
Man Teilt dabei die Strecke ja nur in unendlich viele Teile auf. Aber die kann man ja wieder aufeinanderaddieren.
Also in dem Fall würde ich sagen, er schaffst. Aber so, wie es im EP geschildert wurde, nicht.

@Izaya
Wenn du immer 1/3 der noch ausstehenden Strecke gehst bleiben doch immer 2/3 der Strecke übrig. Wie willst du da ans Ziel kommen?

@emanon
Du nimmst die ganze Strecke und teilst diese.
Ein Teil ist 1/3 lang. Der nächste 1/3 von 1/3 usw.
Die Tatsache, dass du die Strecke aufteilst, ändert nichts daran, dass sie endlich bleibt. Sie hat einen gewissen Wert und diesen erreicht man irgendwann.


Falls meine Erklärung nicht hilft, hilft vielleicht das: Wikipedia: Teilungsparadoxon

Dr.Manhattan schrieb:stellt euch vor ihr zeichnet einen strich - und wollt ihn zwei meter lang machenihr fangt an mit einem Zentimeter ... dürft aber das nächste mal nur ein drittel vom Zentimeter machen - und danach ein drittel davon ... und immer so weiter

@emanon
@Izaya
Man möchte eine 2m Linie zeichnen.
Erster Schritt: 1cm
Zweiter Schritt: ein Drittel von einem cm -> 0,33 ! nicht ein drittel von der Reststrecke!
Dritter Schritt: danach wieder ein Drittel davon (von einem Drittel) ->0,11
Summe nach drei Schritte: 1,44cm.
usw.

@Abahatschi
Ist mir klar.
Trotzdem wollte ich das mal geklärt haben.

Abahatschi schrieb:Eigentlich um bei Meter als Einheit zu bleiben: 0,01+0,0033+0,0011...usw.Ich sage ja, es geht, denn es ist immer ein Zuwachs.

Ist es nicht!
Der Zahlenwert wird immer kleiner und wenn er unendlich klein wird, ist er quasi gleich Null.
Oder professioneller formuliert. limes von x gegen unendlich für 1/x ist gleich Null.
Wir haben also nicht immer einen zuwachs. Sonst wären periodische Zahlen (solche, mit unendlich vielen Nachkommastellen) ja auch alle gleich unendlich, weil immer wieder der Zahlenwert der nächsten Nachkommastelle hinzuzuzählen wäre. Dem ist aber nicht so, weil der Wert der Nachkommastellen gegen null läuft, so wie unser Fortschritt auf dieser Linie. 

Ich bleibe bei Nein für das Beispiel im EP.

@Izaya
Hierauf habe ich mich bezogen

Dr.Manhattan schrieb:stimmt das ist noch besser ... ein drittel der ausstehenden fläche

Ich nehme an, er meinte Strecke. Nun steht ja in deinem Teilungsparadoxon, dass man die Strecke in unendlich kleine Teilstrecken zerlegen kann. Wandermönch tut das, indem er immer nur 1/3 der noch ausstehenden Strecke zurücklegt. Er kann also nie den Punkt "2m" erreichen, bzw. die Distanz überwinden, weil immer noch 2/3 der letzten Strecke übrig sind.

Ich bin kein Mathematiker, beileibe nicht :D , aber für mich ist das so ähnlich wie ein Kurve, die sich asymptotisch einem Wert nähert ohne ihn je zu erreichen.

So wie Wandermönch es im EP geschildert hat, müsste er die 2 Meter erreichen.
Er sprach davon ausgehend des Centimeters immer nur ein Drittel der vorher zurückgelegten Strecke vorranzuschreiten.
Er sprach nicht von der verbleibenden Distanz.
Hätte er es nur leicht anders formuliert würde meine Antwort auch nein lauten.

emanon schrieb:Nimmst du aber immer nur 1/3 der noch ausstehenden Strecke kommst du nie ans Ziel.

Damit gehe ich konform.

@emanon
Ich bei meiner Antwort auch.
Sonst hätte ich das Teilungsparadoxon ja nicht verlinkt. Oder dachtest du, das passen des Links wäre ein Zufall?

Aber du machst weiterhin nichts, als die strecke aufzuteilen. Du veränderst sie nicht. Die Strecke bleibt gleich, hier ist also keine Unendlichkeit vorzufinden.

Die Unendlichkeit liegt bei den Teilen die man überwinden muss. Man muss alle diese Teile miteinander addieren, um die komplette Strecke zu bekommen. Dies scheint zunächst unmöglich, da es unendlich sind. Als wäre man immer einen Schritt vom Ziel entfernt. Jedoch ist das nicht der Fall. Mann kann unendlich viele endliche Mengen addieren und eine endliche Menge erhalten. Oder anders gesagt, die benötigte Addition ist möglich.

emanon schrieb:Ich bin kein Mathematiker, beileibe nicht :D , aber für mich ist das so ähnlich wie ein Kurve, die sich asymptotisch einem Wert nähert ohne ihn je zu erreichen.

Jetzt ist das Problem nur, dass sie das schon tut, wenn ich sie gegen unendlich laufen lasse. Sie erreicht diesen Wert. Ich weiß, ich hasse unendlich auch.
Falls du des englischen mächtig bist, könntest du dir das von mir verlinkte Video anschauen. Vielleicht hilft es, wenn die Erklärung visuell unterstützt wird.
@TerracottaPie

TerracottaPie schrieb:Hätte er es nur leicht anders formuliert würde meine Antwort auch nein lauten.

Bevor ich mich zum Rest äußere, wie genau hätte es anders formuliert werden müssen?

@TerracottaPie
Ist das eine Antwort an meine Frage?
Na dann nochmal an dich, ich gehe nicht konform.
Du kannst meine bisherigen Posts lesen und dann versuchen, mich vom Gegenteil zu überzeugen.

@emanon
Wandermönch meinte aber nicht einen Drittel der noch ausstehenden Strecke, sondern jeweils einen Drittel der bisher zurückgelegten Strecke, aufgeteilt in die einzelnen Etappen.