Kleine mathematische Unlogik
21.02.2017 um 04:35Anzeige
Kleine mathematische Unlogik
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Mathematik ▪ Abonnieren: Feed E-Mail
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Kleine mathematische Unlogik
21.02.2017 um 12:56@BlackFlame
Ich bin ja ne Matheniete, kann Dir nicht folgen und schon gar nicht so ne Formeln aufstellen, gesvhweige denn, sie lösen. aber als ich sie Problemstellung las, dachte ich gleich daran, dass die Ameise auf dem Band ja beim Dehnen mitgezogen wird. Rein gefühlsmäßig denke ich aber, sie schaffts nie und muss bis Sankt Nimmerlein krabbeln...
Ich bin ja ne Matheniete, kann Dir nicht folgen und schon gar nicht so ne Formeln aufstellen, gesvhweige denn, sie lösen. aber als ich sie Problemstellung las, dachte ich gleich daran, dass die Ameise auf dem Band ja beim Dehnen mitgezogen wird. Rein gefühlsmäßig denke ich aber, sie schaffts nie und muss bis Sankt Nimmerlein krabbeln...
Kleine mathematische Unlogik
21.02.2017 um 18:28@Mittelscheitel
Wir können auch erstmal mit kleine und einfachere Zahlenbeispiele betrachten und schauen was passiert.
Starten wir also mit einem Band der Länge 2cm. Die Ameise kommt ans linke Ende. Am rechten Ende ziehen wir nach dem Ameisenschritt so, dass das Band um 1cm länger wird.
Wir starten also bei einem zurückgelegten Weg von 0cm am linken Rand mit momentan 2cm Bandlänge.
Die Ameise macht einen Schritt. Wir haben uns 1cm vom Rand entfernt, haben also 1/2 der momentanen Gesamtlänge hinter uns gebracht.
Nun ziehen wir, so dass das Band eine Länge von 3cm hat. Die sich in der Mitte befindende Ameise wird bei der Dehnung also mitgezogen, so dass sie auch nach der Dehnung in der Mitte des Bandes sein wird. Bei 3cm Gesamtlänge befindet sie sich also 1,5 cm vom linken Rand entfernt.
Das ist nur Dreisatz. Bei 2cm Länge hat sie die Hälfe (=1cm) des Weges zurückgelegt. Bei 3cm Länge soll sie immer noch die Hälfte des Weges zurückgelegt haben. Der neue zurückgelegte Weg ist also 1cm multipliziert mit 3/2.
Nun macht die Ameise wieder einen Schritt, und ist nun 2,5cm vom linken Rand entfernt.
Jetzt wird wieder am rechten Rand gezogen, die Bandlänge erhöht sich von 3 auf 4 cm. Wir werden wieder mitgezogen, d.h. wir rechnen wieder "vorher zurückgelegter Weg" mal "neue Bandlänge" geteilt durch "alte Bandlänge" bzw. 2,5 * 4/3 = 5/2 * 4/3 = 10/3 = 3,33 cm.
Von den 4cm haben wir jetzt schon 3,33cm zurückgelegt.
Nochmal ein 1cm-Schritt nach rechts, wir sind bei 4,33cm und haben damit das Band überquert. Es haben also bei der Bandlänge und der Ziehweite schon 3 Schritte und 2mal Ziehen ausgereicht.
Wenn man sich das jetzt wieder in Form einer Rekursion hinschreibt, dann wird man feststellen, dass da wieder genau das selbe passiert wie bei dem ursprünglichen Zahlenbeispiel.
Wie lang das Band ursprünglich war und um wie viel es folglich in jedem Schritt gedehnt wird spielt keine Rolle. Diese Längen legen nur fest wie Schritte wir brauchen werden, um das rechte Ende zu erreichen.
Also man könnte das jetzt auch nochmal betrachten, wenn man mit einer Startlänge von 20cm startet und um 10cm dehnt.
Dann wäre man nach 2 Schritten und 2mal Ziehen immer noch 3,33cm vom linken Rand entfernt und das Band wäre dann eben 40cm lang.
Diesmal würde es vielleicht 100 oder 1000 Durchgänge benötigen, um das rechte Ende zu erreichen und das Band wäre am Ende auch deutlich länger, aber ungeachtet dessen zeigt die Formulierung des allgemeinen Falles, dass sich das rechte Ende früher oder später immer erreichen lässt.
Das ganze basiert allein darauf, dass die Summe 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ewig weiter wächst - und das ist wahrhaftig ein Resultat, was intuitiv erstmal unglaubwürdig scheint. (Das bekommen Jahr für Jahr Mathematikstudenten im ersten Semester vorgesetzt und verblüfft nicht wenige.)
Wir können auch erstmal mit kleine und einfachere Zahlenbeispiele betrachten und schauen was passiert.
Starten wir also mit einem Band der Länge 2cm. Die Ameise kommt ans linke Ende. Am rechten Ende ziehen wir nach dem Ameisenschritt so, dass das Band um 1cm länger wird.
Wir starten also bei einem zurückgelegten Weg von 0cm am linken Rand mit momentan 2cm Bandlänge.
Die Ameise macht einen Schritt. Wir haben uns 1cm vom Rand entfernt, haben also 1/2 der momentanen Gesamtlänge hinter uns gebracht.
Nun ziehen wir, so dass das Band eine Länge von 3cm hat. Die sich in der Mitte befindende Ameise wird bei der Dehnung also mitgezogen, so dass sie auch nach der Dehnung in der Mitte des Bandes sein wird. Bei 3cm Gesamtlänge befindet sie sich also 1,5 cm vom linken Rand entfernt.
Das ist nur Dreisatz. Bei 2cm Länge hat sie die Hälfe (=1cm) des Weges zurückgelegt. Bei 3cm Länge soll sie immer noch die Hälfte des Weges zurückgelegt haben. Der neue zurückgelegte Weg ist also 1cm multipliziert mit 3/2.
Nun macht die Ameise wieder einen Schritt, und ist nun 2,5cm vom linken Rand entfernt.
Jetzt wird wieder am rechten Rand gezogen, die Bandlänge erhöht sich von 3 auf 4 cm. Wir werden wieder mitgezogen, d.h. wir rechnen wieder "vorher zurückgelegter Weg" mal "neue Bandlänge" geteilt durch "alte Bandlänge" bzw. 2,5 * 4/3 = 5/2 * 4/3 = 10/3 = 3,33 cm.
Von den 4cm haben wir jetzt schon 3,33cm zurückgelegt.
Nochmal ein 1cm-Schritt nach rechts, wir sind bei 4,33cm und haben damit das Band überquert. Es haben also bei der Bandlänge und der Ziehweite schon 3 Schritte und 2mal Ziehen ausgereicht.
Wenn man sich das jetzt wieder in Form einer Rekursion hinschreibt, dann wird man feststellen, dass da wieder genau das selbe passiert wie bei dem ursprünglichen Zahlenbeispiel.
Wie lang das Band ursprünglich war und um wie viel es folglich in jedem Schritt gedehnt wird spielt keine Rolle. Diese Längen legen nur fest wie Schritte wir brauchen werden, um das rechte Ende zu erreichen.
Also man könnte das jetzt auch nochmal betrachten, wenn man mit einer Startlänge von 20cm startet und um 10cm dehnt.
Dann wäre man nach 2 Schritten und 2mal Ziehen immer noch 3,33cm vom linken Rand entfernt und das Band wäre dann eben 40cm lang.
Diesmal würde es vielleicht 100 oder 1000 Durchgänge benötigen, um das rechte Ende zu erreichen und das Band wäre am Ende auch deutlich länger, aber ungeachtet dessen zeigt die Formulierung des allgemeinen Falles, dass sich das rechte Ende früher oder später immer erreichen lässt.
Das ganze basiert allein darauf, dass die Summe 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ewig weiter wächst - und das ist wahrhaftig ein Resultat, was intuitiv erstmal unglaubwürdig scheint. (Das bekommen Jahr für Jahr Mathematikstudenten im ersten Semester vorgesetzt und verblüfft nicht wenige.)
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21.02.2017 um 18:34uatu schrieb:so dass das Gummiband gleichförmig gedehnt wird
Ist das der Part welchen ich übersehen habe? @uatu Demnach sind @BlackFlame @McMurdo
@Izaya auf dem richtigen Weg?
BlackFlame schrieb:(Ohne die getroffene Annahme, dass wir uns beim Verlängern des Bandes mitgezogen werden, würden wir dagegen stabil in jedem Schritt nur 1/(10^5) der jeweiligen Gesamtlänge zurückgelegt haben und niemals das Ende erreichen.)
Ist das die richtige Annahme? @uatu Erhelle uns bitte.
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21.02.2017 um 18:42@TerracottaPie: Die entscheidene Punkt ist, wie einige Teilnehmer bereits geschrieben haben, dass nicht nur der von der Ameise noch zurückzulegende Teil des Bandes, sondern auch der bereits zurückgelegte Teil des Bandes gedehnt wird. Deshalb erreicht die Ameise unter den vorausgesetzten Bedingungen -- auch wenn's ziemlich lange dauert -- tatsächlich das andere Ende des Bandes. Ich werde auch noch eine quantitative Lösung posten, das kann aber (aus Zeitgründen) noch ein bisschen dauern.
Kleine mathematische Unlogik
21.02.2017 um 18:44Okay danke. Ich habe zu starr gedacht. Ganz im Gegensatz zu besagtem Gummiband.
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22.02.2017 um 10:21Auch wenn ich nicht weit über die mathematischen Grundlagen hinausdenken kann. Ich finde es sehr unlogisch Berechnungen über ein Band anzustellen, welches bis in's unendliche gezogen werden kann aber dennoch einen Dehnungsfaktor besitzt.
Das klingt mehr nach Phantasie und Hokuspokus und jenes vermischt man nicht mit Mathematik. Wenn dann sollte dieses Band schon klar definiert sein in Sachen Material und Verhaltensweisen bei diversen Beanspruchungen.
Meinem damaligen Mathemaikprofessor würde sich vermutlich der Magen umdrehen, wenn ich ihm was von einer unsterblichen Ameise und einem unendlich langem dehnbaren Band daherlabern würde. Aber gut, der war auch allgemein ein etwas seltsamer Kerl. 😂
Das klingt mehr nach Phantasie und Hokuspokus und jenes vermischt man nicht mit Mathematik. Wenn dann sollte dieses Band schon klar definiert sein in Sachen Material und Verhaltensweisen bei diversen Beanspruchungen.
Meinem damaligen Mathemaikprofessor würde sich vermutlich der Magen umdrehen, wenn ich ihm was von einer unsterblichen Ameise und einem unendlich langem dehnbaren Band daherlabern würde. Aber gut, der war auch allgemein ein etwas seltsamer Kerl. 😂
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22.02.2017 um 10:53@Redox
Das nennt sich Gedankenexperiment und ist in der Wissenschaft durchaus nicht ungewöhnlich. Insbesondere in der theoretischen Physik und Mathematik. Dein damaliger Matheprofessor hat das sicherlich auch gemacht.
Das nennt sich Gedankenexperiment und ist in der Wissenschaft durchaus nicht ungewöhnlich. Insbesondere in der theoretischen Physik und Mathematik. Dein damaliger Matheprofessor hat das sicherlich auch gemacht.
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22.02.2017 um 21:05@Rho-ny-theta
Du meinst sicherlich 3/2, aber prinzipiell ist die ursprüngliche Frage geklärt, das stimmt.
Auf der letzten Seite kam aber noch eine andere Fragestellung auf, wobei diese zumindest aus meiner Sicht auch geklärt ist.
Solche Problemstellungen lassen sich in der Regel auf die Frage herunterbrechen, ob gewisse Reihen konvergieren oder divergieren.
Du meinst sicherlich 3/2, aber prinzipiell ist die ursprüngliche Frage geklärt, das stimmt.
Auf der letzten Seite kam aber noch eine andere Fragestellung auf, wobei diese zumindest aus meiner Sicht auch geklärt ist.
Solche Problemstellungen lassen sich in der Regel auf die Frage herunterbrechen, ob gewisse Reihen konvergieren oder divergieren.
Kleine mathematische Unlogik
23.02.2017 um 03:54Hab da auch noch eine kleine Aufgabe, nicht ganz so konstruiert sondern eher aus dem Alltag :)
Ein Rennwagen fährt zwei Runden auf einer Rennstrecke. Nach der ersten Runde wird eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 100km/h gemessen.
Wie schnell muss die 2. Runde gefahren werden damit nach beiden Runden eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 200km/h gemessen wird?
Ein Rennwagen fährt zwei Runden auf einer Rennstrecke. Nach der ersten Runde wird eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 100km/h gemessen.
Wie schnell muss die 2. Runde gefahren werden damit nach beiden Runden eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 200km/h gemessen wird?
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23.02.2017 um 04:33@McMurdo: Ich weiss nicht, ob man Stargates im Kreis verschalten kann, aber sowas in der Art bräuchte man wohl für die 2. Runde ... ;)
Kleine mathematische Unlogik
23.02.2017 um 04:47Habs mir mal ausgerechnet. Man bräuchte genau 1.638.010.333.890 Striche bis man die 2 Meter erreicht hat. Gerngeschehen
Ps: Die Formel darf ich leider nicht verraten :)
Ps: Die Formel darf ich leider nicht verraten :)
Kleine mathematische Unlogik
23.02.2017 um 09:10@McMurdo
Machen wir es konkret. Die Runde sei 100km lang. Dann wird für die erste Runde eine Stunde benötigt. Die zweite Runde soll nun also so gefahren warden, dass für die Gesamtstrecke von 200km eine Stunde benötigt wird. D.h. wie @uatu schon sagt, ein Stargate oder ein Teleporter ware nicht schlecht...
Machen wir es konkret. Die Runde sei 100km lang. Dann wird für die erste Runde eine Stunde benötigt. Die zweite Runde soll nun also so gefahren warden, dass für die Gesamtstrecke von 200km eine Stunde benötigt wird. D.h. wie @uatu schon sagt, ein Stargate oder ein Teleporter ware nicht schlecht...
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23.02.2017 um 10:09@McMurdo
Die Antwort etwas allgmeiner
Bei einer Rundenlänge von x km erhält man folgendes Ergebnis:
Strecke x der ersten Runde wird in Zeit t1 absolviert
x km / t1 = 100 km/h --> t1 = x km / 100 km/h
Nach der zweiten Runde soll sich der Gesamtdurchschnitt ergeben zu:
Gesamtdurchschnitt=
(2*x) /( t1 + t2)) = 200 km/h
Umstellen nach t2
(2*x / 200 km/h) - t1 = t2
Kürzen der 2:
((x / 100 km/h) - t1 = t2
Jetzt ist:
x / 100 km/h = t1 das heißt man erhält:
t1 - t1 = 0 = t2
--> Nur wenn man in der zweiten 0 Sekunden braucht kann man die 200 km/h noch schaffen.
Die Antwort etwas allgmeiner
Bei einer Rundenlänge von x km erhält man folgendes Ergebnis:
Strecke x der ersten Runde wird in Zeit t1 absolviert
x km / t1 = 100 km/h --> t1 = x km / 100 km/h
Nach der zweiten Runde soll sich der Gesamtdurchschnitt ergeben zu:
Gesamtdurchschnitt=
(2*x) /( t1 + t2)) = 200 km/h
Umstellen nach t2
(2*x / 200 km/h) - t1 = t2
Kürzen der 2:
((x / 100 km/h) - t1 = t2
Jetzt ist:
x / 100 km/h = t1 das heißt man erhält:
t1 - t1 = 0 = t2
--> Nur wenn man in der zweiten 0 Sekunden braucht kann man die 200 km/h noch schaffen.
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