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Kleine mathematische Unlogik

95 Beiträge, Schlüsselwörter: Mathematik

Kleine mathematische Unlogik

13.02.2017 um 20:40
@uatu
@Izaya
Okay danke.
Mathematik, Quantenphysik, die menschliche Dummheit. Alles sind eigene Welten für sich wo Naturgesetze nicht mehr gelten :D

Danke für eure Antwort. Nett wenn man hier noch Antworten bekommt von Leuten, selbst wenn man jetzt da nicht so qualitativ hochwertige Beiträge schreibt wie manch andere.


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Kleine mathematische Unlogik

13.02.2017 um 20:55
@Niederbayern88: Die Behandlung von "quasi unendlich kleinen" Zahlen ist schwierig. Das beginnt bereits bei der umgangssprachlichen Formulierung, wo "quasi" (oder jeder vergleichbar anwendbare Begriff) ziemlich schwammig bleibt. Ein anderes Beispiel für das Problem sind Differentialquotienten, wo man (anschaulich zur Berechnung der Steigung einer Kurve) zwei "quasi unendlich kleine" Zahlen dy/dx durcheinander dividiert, und (im Normalfall) eine ganz gewöhnliche Zahl, z.B. 1 als Ergebnis erhält. Es gibt natürlich auch eine Theorie dahinter (sogar mehrere), aber die sind nur ziemlich schwer verständlich.


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Kleine mathematische Unlogik

13.02.2017 um 21:04
@uatu
Grob gesagt:
es ist kompliziert :D
Aber Menschen mögen es nicht, wenn Rätsel ungelöst bleiben. Genau wie die "unlösbaren mathematischen Aufgaben" 
Jedoch ist es, theoretisch gesehen, relativ einfach, ein Paradoxon zu erstellen.
Allerdings stellt sich da vielen Leuten die Frage: Wozu? Was bringt eine Antwort? :D 


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Kleine mathematische Unlogik

13.02.2017 um 21:26
@Niederbayern88: Hinter sehr viel von der modernen Technik stecken mathematische Verfahren, bei denen zum Zeitpunkt ihrer Entwicklung (z.T. Jahrhunderte früher) nicht absehbar war, ob und wann sie sich praktisch nutzen lassen würden. Es ist einfach spannend, nach Lösungen zu suchen. ;)

Je tiefer man einsteigt, um so mehr erschliesst sich einem auch die tiefe Eleganz, die hinter vielen mathematischen Zusammenhängen steckt, und die geradezu süchtig machen kann. Ein Mathematik-Professor von mir erzählte uns mal, dass er, nachdem er die folgende "simple" Formel gesehen (und verstanden) hatte, beschlossen hat, sein Leben der Mathematik zu widmen: e = -1 (Eulersche Identität).


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Kleine mathematische Unlogik

13.02.2017 um 22:05
Wandermönch schrieb:was denkt ihr ?
Wenn ich das jetzt richtig verfolgt habe gibt es 2 Lösungen? Eine mathematische in der die 2m nie erreicht werden und eine physikalische in der irgendwann die 2m erreicht werden, weil man nicht beliebig kleine Schritte machen kann. Hab ich das richtig verstanden? 


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Kleine mathematische Unlogik

13.02.2017 um 22:17
@McMurdo
Erstmal gilt das, was @uatu ausgerechnet hat. Rein mathematisch, was nach dem Titel wohl gewünscht war.


Physikalisch kann man nicht beliebig kleine Schritte machen. Wir würden halt bei der typischen Unschärfe sein, die Naturwissenschaften nun mal mit sich bringen. Jedoch machen diese aus 1,5 cm keine 2 Meter.
(Außerdem, wenn die Schritte zu klein werden, um sie umzusetzen, würde man da nicht eher aufhöre weitere Schritte zu gehen, statt einfach wie gehabt bis zu den 2 Metern durchzuziehen?)


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14.02.2017 um 08:11
Auf der englischen WIkipedia ist ein passendes Bild dazu, mit 2 statt 3, d.h. 1/2 + 1/4 +....:

Das ist was @uatu hier geschrieben hat:
Für q = 1/3 cm ergibt sich 3/2 cm, der Spass ist nach 1,5 cm also vorbei. Für eine 2-m-Linie müsste man q = 1/2 m wählen, also mit 1 m (q0) anfangen, und dann immer halbieren.
1662px-Geometric Segment.svg

Der Limes geht dann gegen 1.

aus: Wikipedia: Geometric_series

deutscher Link:
Wikipedia: Geometrische_Reihe


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BlackFlame
ehemaliges Mitglied

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Kleine mathematische Unlogik

14.02.2017 um 18:16
Izaya schrieb:(Außerdem, wenn die Schritte zu klein werden, um sie umzusetzen, würde man da nicht eher aufhöre weitere Schritte zu gehen, statt einfach wie gehabt bis zu den 2 Metern durchzuziehen?)
Ich denke schon.
Irgendwo bei 1 Meter, 49 Zentimetern und einem Bisschen müsste man sowieso ein Abbruchkriterium einbauen, weil wir nicht die Ewigkeit abwarten können, bis die erwähnte Reihe nach unendlich vielen Additionen den Wert 1,5 erreicht.

Zudem besteht irgendwann das grundlegende Problem der Berechenbarkeit. Jemand der mit Rechentechnik oder numerischer Mathematik etwas bewandert ist, könnte uns vielleicht sogar sagen, ab welcher Zahl n wir die Summanden (1/3)^n mit unseren technischen Möglichkeiten nicht mehr ausrechnen können.
Also selbst wenn wir eine Maschine konstruierten, die stur diese winzigen, immer kleiner werdenden Schritte umsetzen sollte, so würde es irgendwann an Input fehlen und sie würde mit einer Fehlermeldung stehen bleiben.

Um den Effekt zu demonstrieren reichen aber schon ein paar Schritte, wenn ich mir mal die Zwischenwerte der ersten 11 Schritte anschaue:
s[  0] = 1 
s[  1] = 1.3333333333333333 
s[  2] = 1.4444444444444444 
s[  3] = 1.4814814814814814 
s[  4] = 1.4938271604938271 
s[  5] = 1.4979423868312758 
s[  6] = 1.4993141289437586 
s[  7] = 1.4997713763145861 
s[  8] = 1.499923792104862 
s[  9] = 1.4999745973682874 
s[ 10] = 1.499991532456096

Bei der groben Rechengenauigkeit, die das zur Rechnung verwendete Tool hat, wird schon beim 34. Schritt auf 1,5 gerundet und man wäre fertig:
s[ 32] = 1.4999999999999998 
s[ 33] = 1.5
s[ 34] = 1.5 
s[ 35] = 1.5 
s[ 36] = 1.5
...


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14.02.2017 um 21:11
Zur Numerik: Das genaueste Ergebnis würde man erhalten, indem man den aktuellen Wert als Bruch aus zwei Ganzzahlen speichert. Da das Ergebnis gegen 1,5 geht, haben Zähler und Nenner stets eine vergleichbare Grössenordnung, und benötigen daher ungefähr gleich viel Speicherplatz. Bei jedem Schritt erhöht sich der Nenner um den Faktor 3. Der notwendige Speicherplatz in Bits, um den Nenner binär zu speichern, beträgt daher log2(3n) = n * log2(3) ≈ n * 1,585 Bits. Spendiert man Zähler und Nenner z.B. jeweils ein GiB = 230 Bytes = 230 * 8 Bits ≈ 8,59E9 Bits, reicht das ungefähr für 8,59E9 / 1,585 ≈ 5,42E9 Schritte, also etwa 5,4 Milliarden Schritte. Zähler und Nenner hätten dann jeweils dezimal log10(2^(230 * 8)) = 230 * 8 * log10(2) ≈ 2,586E9 Stellen, also etwa 2,6 Milliarden Stellen.


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Kleine mathematische Unlogik

15.02.2017 um 01:10
Izaya schrieb:Physikalisch kann man nicht beliebig kleine Schritte machen. Wir würden halt bei der typischen Unschärfe sein, die Naturwissenschaften nun mal mit sich bringen. Jedoch machen diese aus 1,5 cm keine 2 Meter.
Da die Planck-Länge doch >0 ist wird man doch irgendwann die 2m erreichen, oder nicht? Denn die muss man ja in jedem Fall immer gehen (oder zeichnen wie es im EP glaub ich geschrieben wurde :)), also in der Realität, nicht in mathematischen Unendlichkeiten. :) 


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15.02.2017 um 01:11
@McMurdo
Izaya schrieb:Außerdem, wenn die Schritte zu klein werden, um sie umzusetzen, würde man da nicht eher aufhöre weitere Schritte zu gehen, statt einfach wie gehabt bis zu den 2 Metern durchzuziehen?
PS: Fällt mir erst jetzt beim zitieren auf *aufhören


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Kleine mathematische Unlogik

15.02.2017 um 01:26
@Izaya
Wenn ich mich recht erinnere ist die Aufgabe da eindeutig : man geht solange weiter bis die 2m erreicht sind. Bzw. erreicht man die 2m? Und auch wenn sich das dann in der kleinsten möglichen Länge abspielt muss die Antwort doch dann ja heißen?


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Kleine mathematische Unlogik

15.02.2017 um 01:31
@McMurdo
Aber du verstößt gegen die Regel mit einem drittel der Länge. Irgendwann hast du immer wieder die selbe Länge (Planck-Länge). Das bedeutet du ignorierst die Regel, dass du ein drittel davon nehmen müsstest. Dahingehend ist die Aufgabe auch eindeutig.

Die Tatsache, dass kleiner als die Planck-Länge nunmal nicht geht zeigt nur, dass es aus dem physikalischen Standpunkt genauso wenig möglich ist, wie aus dem mathematischen. (Wobei ich mehr Wert auf den mathematischen lege)


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Kleine mathematische Unlogik

15.02.2017 um 01:41
@Izaya
Mit dem Dritteln hast du natürlich recht. Nur was passieren soll wenn in der Realität keine kleinerer Schritt mehr möglich ist, darüber schweigt die Aufgabe ja auch. Ich stell mich da auf den Standpunkt das immer ein weitere Schritt getan werden soll. :) die andere Möglichkeit wäre dann stehenbleiben wenn es nicht kleiner geht. Beides denkbar meiner Meinung nach. 


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Kleine mathematische Unlogik

15.02.2017 um 01:43
@McMurdo
Naja, von immer weitergehen müssen steht da nichts. Von dritteln der zuletzt zurückgelegten Strecke schon.

Aber ja, mit der Formulierung kann man beides hineininterpretieren.


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15.02.2017 um 07:50
Izaya schrieb:Aber ja, mit der Formulierung kann man beides hineininterpretieren.
:)


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15.02.2017 um 09:35
Das ist doch der selbe Mist, wie ich damals hörte das zwei parallele Linien ihren Schnittpunkt in der Unendlichkeit haben. Da kann man logisch denken was man will, die Mathematik will nun mal nicht immer die einfachste Antwort.


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15.02.2017 um 15:50
Redox schrieb:die Mathematik will nun mal nicht immer die einfachste Antwort.
Stimmt wohl, sie will die richtige ;)
Redox schrieb:Das ist doch der selbe Mist, wie ich damals hörte das zwei parallele Linien ihren Schnittpunkt in der Unendlichkeit haben.
Muss nicht sein. In der nicht-euklidischen Geometrie geht man nicht davon aus.
Wenn man es [das Parallelenaxiom] aber streicht oder abändert, stößt man auf zwei neue Geometrien, die sich auf interessante Weise von der euklidischen unterscheiden: In der einen lassen sich durch besagten Punkt neben der Geraden unendlich viele Geraden legen, welche die Ausgangsgerade nicht schneiden - und in der anderen überhaupt keine. Die erste heißt "hyperbolische Geometrie", in ihr ist die Winkelsumme eines Dreiecks kleiner als 180° und der Kreisumfang größer als 2 mal Radius, und in der zweiten, der "elliptischen", ist es genau umgekehrt.
http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-mehr/euklids-parallelenaxiom-treffen-sich-zwei-geraden-im-unendlichen-11011924....
Und Mist ist es bestimmt nicht. 


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15.02.2017 um 19:15
Irgendwann erreicht man dann die Plancksche Länge,alles darunter wird zum Problem.


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15.02.2017 um 19:50
@overscanner
Wenn es darunter geht, wird es einfach auf 0 abgerundet, dann ist nur noch Stillstand ;)


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