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Mathematische Spielereien

155 Beiträge, Schlüsselwörter: Mathematik

Mathematische Spielereien

17.09.2006 um 09:59
Das soll ein Thread für Querdenker sein. Es gibt einige interessante mathematischeZusammenhänge zur Physik, die ich gern mit Gleichgearteten diskutieren würde.
Ichwerde mich dabei weitesgehend auf die Schulmathematik beschränken, damit auch allesverständlich ist für jedermann. Meine Mathematikkenntnisse sind leider auch noch nichtvollständig, aber ausbauungsfähig. :)

Nun gut, ich werde hier mal den Anfangmachen mit einem Zusammenhang der mir aufgefallen ist.
Und zwar geht es um die beidenFunktionen f(x)=x^2 und die Funktion Wurzel aus x, einfachhalber und zum Verständnis alsf(x)=x^(1/2) dargestellt.

Für die graphische Dartellung, gehe man bitte aufdiese Seite:

http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html

undgebe dort die beiden Funktionen ein. Leider kriege ich es hier nicht hin, esdarzustellen, da es ein Java-Applet ist. (Vielleicht hat jemand einen Tip?)

Umden physikalischen Zusammenhang zu verstehen, reicht es sich bei der Betrachtung auf denII. Quadranten zu beschränken. Dort fällt sofort auf, dass es sich um eineSpiegelsymmetrie handelt. Das interessante dabei ist, dass der Exponent(Hochzahl) derFunktion f(x)=x^(1/2) der reziproke Wert(Kehrwert) vom ganzzahligen Exponenten derFunktion f(x)=x^2 ist. Verallgemeinernd auch darstellbar als x^n und x^(1/n). (DerDefinitionsbereich von n entspricht alle reelen Zahlen).

Nun zum physikalischenZusammenhang. In der Stringtheorie gibt es ein Prinzip, (das Dualitätsprinzip), daslautet, dass sich für ein Universum mit dem Umfang R und 1/R(reziproker Wert) diegleichen physikalischen Konsequenzen ergeben. Der Zusammenhang zur Mathematik ist derExponent n und 1/n.

Jetzt noch mal zur graphischen Darstellung. Es fällt aufdas f(x)=x^(1/2) um eben -½ verschoben ist, wenn man nun den Einheitskreis im Gedankeneinbaut, heisst das, dass es eine Verschiebung von 90° gibt. Universum R=360°, 1/R=270°.Ein weiterer Zusammenhang, der mir aufgefallen ist, ist der Spin einesElementarteilchens, der eben um -1/2 verschoben ist. Das heisst ein Elementarteilchenbenötigt nur 270° um eine volle Drehung zu vollführen.

So, dass soll erstmalreichen für den Anfang.

Es gibt noch einige interessante Fragen dazu,deutungswürdige Ergebnisse, die sich daraus ableiten lassen, z. B. die Überschneidung imPunkt 1 und 0. Oder der I. Quadrant in der graphischen Darstellung, der Zusammenhang zurtranszenten euler´schen Zahl, e^x, deren Grenzwert (1+1/n)^n ist.

PS. Fallsdieser Thread keine Begeisterungsstürme auslösen sollte, dann solle man ihn bittelöschen. Leider kann ich darüber nicht in meinem privaten Umfeld diskutieren, sonst würdeich meine Freunde vergraulen :D und das Forum ist ein gutes Sprachrohr für solche Sachen.


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17.09.2006 um 10:04
"transzenten" soll natürlich heissen transzendente euler´sche Zahl. ;)


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17.09.2006 um 11:59
wow...ich begeister mich privat auch sehr für solche "spielereien", aber an dich komm ichnet mal ansatzweise ran. respect. leider kann ich dir zu deinem thema absolut nichtweiterhelfen


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17.09.2006 um 12:13
Ist zwar was ganz simples, aber dafür kanns jeder verstehen:

Wenn man 1 durch 3teilt erhält man 0,333..Periode wen man dies mit 3 multipliziert erhält man0,999..Periode.
Das heist 0,999..Periode = 1 weil ja drei drittel eins sein müssen.

Demzufolge ist auch z.B. 27,999..Periode = 28 usw.


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17.09.2006 um 12:18
lässt sich zwar nicht mit schulmathematik vollständig beleuchten, aber für mich dasgrößte mathematische kuriosum: das banach tarski theorem.

als mathematischbeweisbarer extremfall der exotischen "surrealen mengenlehre" lässt sich nach dem BTTeine vollkugel (und wenn ich voll sage, dann meine ich auch voll) eines bestimmtenradius r sich so in sieben teile zerlegen, dass mann aus dreien der sieben und denrestlichen vieren wieder zwei kugel zusammen setzten lassen, sodass die neu enstandenenkugeln wieder vollkugeln mit dem radius r bilden.

übertragen auf unsere weltimplizierte das ja auf den ersten blick 1=2. das dies aberoffenbar nicht der fall ist(damit wäre das zweite peano axoim falsch und die ganze analysis....) wird hier klar,dass eine mathematische lösung eines problems nicht zwangläufig eine realeEntsprechung hat.

wie gesagt, ohne höhere mathematik kann man das nichtnachrechnen, es sei nur so viel gesagt, dass man die kugel in derart komplizierte teilezerlegt, sodass ihr "volumen" in landläufiger sicht nicht mehr beschreibbar ist,praktisch wie eine wolke. darin liegt der schlüssel.

auf diese art wäre es auchmöglich, die quadratur des kreises zu berwerkstelligen. allerdings müsste man sich hierwie beim BTT auch von jeglicher menschlicher anschauung verabschieden und sich komplettdem abstrakten hingeben.


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17.09.2006 um 12:21
Omg ich komm in 3 Jahren wieder, dann hab ich meinen mathe und meinn physik lk fertig :D


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17.09.2006 um 20:06
@lageramt

Deine Überlegungen sind korrekt, die Relation 0.999...=1 habe ichschonmal in einem Buch von Albrecht Beutelsbacher ("Mathematik für die Westentache")gelesen. Hab noch was Kurioses für euch:

sqrt(n*sqrt(n*sqrt(n*...))) = n

Genauer gesagt:

1. Wählt eine Zahl n
2. Nehmt die Wurzel daraus
3.Multipliziert das Ergebniss mit der Zahl n

Wiederholt die Schritte 2 und 3beliebieg oft. Je öfter ihr die Prozedur wiederholt, desto näher liegt das Ergebniss bein.

Bsp.:
sqrt(2) = 1.414
sqrt(2*sqrt(2)) = 1.682
sqrt(2*sqrt(2*sqrt(2)) = 1.834

Nach drei weiteren Iterationen liegt dasErgebniss schon bei 1.978. Und wer meint das ist trivial, der soll mal versuchen das zubegründen.

Und wer einen Plotter für Rekursionen hat der sollte sich denAusdruck
x(n+1)=ln(x(n)²) mal anzeigen lassen (Startwerte dürfen nicht 0 oder 1sein, sonst ist alles erlaubt)...

Es wurde endlich Zeit das es einen Strang fürmath. Kuriositäten gibt! ;)


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17.09.2006 um 20:19
Oh fast hätt ichs vergessen:

Unendlich*k = Unendlich + Unendlich + ... +Unendlich = Unendlich
Unendlich^k = Unendlich * Unendlich * ... * Unendlich =Unendlich

Aber
Unendlich / Unendlich = Unendlich
oder
Unendlich /Unendlich = k
je nach Ausdruck.

Letzteres ist nicht so schwer zu verstehen:

(3*x²+3)/(2*x²+8) = 3/2 wenn x gegen Unendlich geht
(3*x³+3)/(2*x+8) =Unendlich wenn x gegen Unendlich geht

Obwohl in beiden Fällen sowohl Zähler alsauch Nenner gegen unendlich gehen, ist das Ergebniss in dem einen Fall endlich und in demanderen Fall unendlich! Unendlich/Unendlich kann also endlich oder unendlich sein.

k ist natürlich eine reelle Zahl. Unendlich gehört NICHT zu der Menge der reellenZahlen, es ist nämlich ein Ausdruck und keine Zahl. Ich poste mal ein Link zu denRechenregeln für den Ausdruck Unendlich, da könnte ihr die obigen Regeln nachlesen.


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17.09.2006 um 20:22
Ich weiß nicht was da oben passiert ist, aber die Terme lauten:

(3*x²+3)/(2*x²+8) und (3*x³+3)/(2*x+8 )

Der Computer hat 8 ) als 8) interpretiert. ;)

Und eigentlich wollte ich den Zähler unverändert lassen, aber mit dem x³ passt dasgenauso gut.


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17.09.2006 um 20:38
sqrt(2) = 1.414
sqrt(2*sqrt(2)) = 1.682
sqrt(2*sqrt(2*sqrt(2)) = 1.834

Nach drei weiteren Iterationen liegt das Ergebniss schon bei 1.978. Und wer meint dasist trivial, der soll mal versuchen das zu begründen.



Ansatz:

sqrt(2) = 2^(1/2)
sqrt(2*sqrt(2)) = 2^(3/4)
sqrt(2*sqrt(2*sqrt(2)) = 2^(7/8)
...
sqrt(2*sqrt(2*....))) = 2^(n/(n+1))


n/(n+1) nähert sich fürsteigende n immer weiter an 1 an

2^(n/(n+1)) nähert sich also an 2^1 = 2 an


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17.09.2006 um 20:39
@sanchez79

Schade, aber trotzdem danke. :)

@Palladium

Interessant, von dem Theorem habe ich noch nicht gehört.

"...dass einemathematische lösung eines problems nicht zwangläufig eine reale Entsprechung hat."

Zu dem Schluss bin ich mittlerweile auch gekommen, die Mathematik ist nun mal nur einWerkzeug. ;)

Es geht mir hier hauptsächlich darum, dass man den Sachverhalt sovereinfacht wie möglich darstellt, dass ist auch mit "Schulmathematik" möglich. Das woranich persönlich momentan noch scheitere sind einfache mathematische Regeln, die mir nichtalle bekannt sind.

Ich zitiere einmal Richard P. Feynman an dieser Stelle, erwar ein wirklich kluger Mann "Wenn ich es nicht schaffe, die theoretische Physik so zuvereinfachen, dass es auch für einen "Laien" verständlich ist, dann habe ich denSachverhalt selbst nicht verstanden." Das heisst Hinterfragen und konkretisieren.

Ich denke, dass man alles mit einfachsten mathematischen Mitteln darstellen kann.

@lageramt

Was ziehst du aus dem, was du geschrieben hast, als Fazit?

Noch mal zurück zum Spin eines Elementarteilchens. Da muss ich noch mal eineKorrektur, bzw. Erweiterung vornehmen.

Der Spin eines Elementarteilchens kanndie Werte 1/2, 1, 1 1/2 und 2 annehmen.

Bei einem Teilchen mit einem Spin von1/2, was meiner Aufstellung nach theoretisch 1/R = 1/n darstellen könnte würde es sichder Graphik nach logischerweise nicht um eine 360° Wendung handeln, dargestellt in einemkartesischen Koordinatenkreuz. :D

Interessant ist, dass die Leptonen alle einenhalbzahligen Spin haben. Elektronen haben einen Spin von 1/2 z. B..
Dann gibt es abernoch das hypothetische Teilchen der Gravitation, das Graviton, das einen Spin mit demganzzahligen Wert 2 hat. Zusammenhang zu meiner graphischen Darstellung (hat mittlerweilejemand einen Tip für mich, wie ich das als Bild reinstellen kann?:) ) wäre, das derExponent 2 ist, das soviel bedeuten würde wie R = n.
Die Frage, die sich dannaufwirft, wäre, dass ein Graviton experimentell nicht bestätigt werden kann?! Es müsstedemnach makroskopische Ausmaße haben. Oder könnte man das Problem anders lösen? Eine Ideehabe ich, aber ich will erstmal wissen, was ihr davon haltet.

Photonen sind auchinteressant. Sie besitzen einen Spin mit dem ganzzahligen Wert 1. Das wäre sozusagengraphisch darstellbar, wenn man die Funktion f(x)=x^1 dazu zeichnet. Überschneidungebenfalls bei Punkt (1/1) und bei 0, aber die Null will ich erstmal aussparen. Wenn mannun die Achsen noch bezeichnet mit den Parametern x=t, y=x,y,z könnte man sogar nochweiter "spinnen". :D

@aboutblank

Interessant, muss ich mir mal genaueranschauen. Mir stechen die Werte 1 und 0 ins Auge. :)


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17.09.2006 um 21:05
@tommy

Genau dieser Beweis wird auch in meinem Buch angegeben. Die Berechnungkann im Endeffekt wieder auf ein Grenzwertproblem zurückgeführt werden, aber das istnatürlich kein Hinweis auf eine evt. Trivialität!

@saravasti

DeineBöswilligkeit erstaunt mich. ;)


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17.09.2006 um 23:03
Link: www.mathlab.de (extern)

Für solche Spieleren ist es mir jetzt ehrlich schon zu spät.
Aber im Link könnte manfähige Gleichgesinnte treffen.


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18.09.2006 um 12:51
@aboutblank

Meine Böswillgkeit? Der Mathematik gegenüber oder was meinst du?!Wenn ich die Mathematik vergewaltige mache man mich bitte darauf aufmerksam, was ichmomentan von ihr verstehe ist weniger als ein Tropfen, leider. Aber ich bin dabei. ;)

Ich korrigiere mich an der Stelle.

"Überschneidung ebenfalls bei Punkt(1/1) und bei 0, aber die Null will ich erstmal aussparen."

Auch nichtsbesonderes, da Parameter a=1 ist. Für meine Zwecke reicht das erstmal.


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18.09.2006 um 12:56
@sarasvati23:

>>@lageramt

Was ziehst du aus dem, was dugeschrieben hast, als Fazit? <<


hab ich doch gesagt: z.B.27,999..Periode = 28 usw.

0,4444... + 0,5555... = 1
was willst du noch ?^^


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18.09.2006 um 13:02
@sarasvati

War ja nur ein Scherz, keine Sorge. :)


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18.09.2006 um 13:07
@lageramt

Okay, no Prob. Ich hatte den Thread so angelegt, dass man dieMathematik ein bisschen kreativer ausgestalten könnte, was die Deutung der Ergebnissebetrifft. Zum Beispiel physikalische Zusammenhänge herstellen, aber es können auch andereAussagen gemacht werden z. B. philosophische, wie jedem beliebt oder auch gar keine.
Aber ich freue mich, dass der Thread überhaupt ankommt. Hätte ich fast nicht gedacht.:)

@aboutblank

Okay. Dann ist ja gut. :D


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18.09.2006 um 14:06
ich finde es immer wider erstaunlich, dass das riesengroße gebäude der mathematik (mitausnahme der grundlegenden geometrie) sich durch 5 die zahlen betreffende axiome und 8axiome, wie man mit ihnen umzugehen hat beschreiben lässt.
wenn man zeit hat, könnteman sich also eigentlich alles selber herleiten


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18.09.2006 um 14:27
@sarasvati23:

Achsoo. Ne, da kann man wohl nicht viel mehr draus schließen, istmir zumindest nichts bekannt.


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18.09.2006 um 14:36
Wie wäre es mit eigenen Überlegungen? Zu sehr Ausschweifen kann man dabei nicht, wenn essich im Rahmen des Möglichen hält. ;)

@Palladium

Genau dieseHerleitungen, die ich mir gerade in der Physik antue, ich tue es aber gerne, machen denReiz aus an der Sache. Damit kann man seinen kreativen Geist schulen.


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boomer
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18.09.2006 um 19:45
eine kurze frage für euch mathematiker:
also Y=-x²+9 diese gleichung muss eineparabel ham die nach unten geöffnet ist oder aba wieso rechnet mit exel dann eine nachoben geöffente aus?


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