Hier mal ein Auszug aus den Berechnungen von Meyl...
Mal sehen ob das jemand nachvollziehen kann:
2. Gibt es Skalarwellen-Lösungen der Fundamentalen Feldgleichung?
Die von K. Meyl postulierten Skalarwellen sind nach Bild 2 von [9] Longitudinalwellen, gekennzeichnet durch die Bedingung
(9. Bild 2) rot E = 0.
Geht man konsequenterweise davon aus, dass Skalarwellen auch den Ursprungsgleichungen der Fundamentalen Feldgleichung, d.h. den erweiterten Maxwellgleichungen des vorigen Abschnitts, genügen, so muss für Skalarwellen die Gleichung (3.13*) von Abschnitt 1 zusammen mit rot E = 0 erfüllt sein, oder auch die Fundamentalen Feldgleichung (3.15) zusammen mit (3.6-7). Damit vereinfachen sich die Meylschen Gleichungen (3.13*) und (3.15) zu
(*) (λ1 + Dt) (λ2 + Dt)E = 0.
Bemerkenswerterweise benötigt man zur Herleitung dieser Gleichung die Bedingung (3.7*) nicht. Das ist wichtig, weil K. Meyl sich zwischen der homogenen Version (3.7*) und der inhomogenen Version div E ≠ 0 in Bild 2 von [9] nicht entscheiden mag.
Die allgemeine Lösung der (gewöhnlichen) Differentialgleichung (*) lautet
(**a) E(x,t) = E1(x) e-λ1 t + E2(x) e-λ2 t für λ1 ≠ λ2
bzw.
(**b) E(x,t) = [E(x) + t E2(x)] e-λ1 t für λ1= λ2
mit frei wählbaren vektorischen Koeffizienten E1(x) und E2(x). Weil die Eigenwerte der Differentialgleichung (*), nämlich −λ1 und −λ2, beide reell sind, kann ein Wellen- oder Schwingungsvorgang daraus nicht entstehen, wie immer man die Koeffizienten in (**) auch wählt:
Skalarwellen sind als Lösung der Fundamentalen Feldgleichung nicht möglich.
3. Mathematische Klassifikation der Fundamentalen Feldgleichung
Die Zerlegbarkeit der in (3.15) rechts stehenden [...] begründet die Zugehörigkeit von (3.15) zu einer Klasse von hyperbolischen Differentialgleichungen, die in der Literatur auch unter dem Sammelnamen Telegraphen-Gleichung geführt werden, s. z.B. [5], S.419. Wir können (3.15) umschreiben in
(1) c2 Δ E = (Dt + λ1) (Dt + λ2) E mit λk> 0.
Macht man hier die umkehrbare Exponential-Transformation
(2) Ψ = eλt E, E = e−λt Ψ (mit λ = const),
so folgt mit Hilfe von
Dt Φ = e−λt (Dt − λ)(eλt Φ)
die Transformationsformel
(Dt + λ1) (Dt + λ2) E = (Dt + λ1) [e−λt (Dt + λ2 − λ)Ψ] = e−λt (Dt + λ1 − λ) (Dt + λ2 − λ) Ψ
Damit geht (3.15) bzw. (1) über in die Gleichung
(3) c2 Δ Ψ = (Dt + λ1 − λ) (Dt + λ2 − λ)Ψ
Für λ = λ2 erhält man mit λ0 = λ1 − λ2
(4) c2 ΔΨ = (Dt + λ0)Dt Ψ.
Diese Gleichung kann durch Maßstabsänderungen auf die Standard-Form
(4.83) Δ u = Dt2u +Dt u
gebracht werden. (In Formel (4.83) liegt im Original, wie sich aus dem Kontext ergibt, ein Druckfehler vor: Statt " ... + u " muss es heißen " ... + ut " .). Die Gleichung (4.83) wird in [4] (von 1937) mittels einer Exponential-Transformation vom Typ (2) auf die Gleichung
(4.76) Δ u = Dt2u − γ2u, γ > 0,
zurückgeführt, die in heute üblicher Terminologie als (die einfachste Form der) Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet wird.
Wir halten fest:
Satz Die Lösungsgesamtheit der Gleichung (3.15) entsteht aus der Lösungsgesamtheit der Telegraphen-Gleichung (4) durch Multiplikation mit der Exponentialfunktion e-λ2 t. Die Meylsche Fundamentale Feldgleichung ist also nichts anderes als eine einfache Transformierte der Telegraphen-Gleichung (4.83) oder auch der Klein-Gordon-Gleichung (4.76).
Meyl erwähnt die oben angegebenen Zusammenhänge nicht. Er wählt in (2) direkt
λ = (λ1+λ2)/2.
Dann liefert (3) mit δ = (λ1−λ2)/2
(3.30) c2 Δ Ψ = (Dt + δ) (Dt − δ)Ψ = (Dt 2 − δ2)Ψ.
Anzumerken ist, dass sich (3.30) für δ = 0 auf die Wellen-Gleichung reduziert.
4. Lösungsformel für das Anfangswertproblem der Telegraphen-Gleichung
R. Courant gibt in [4], S.408 ff., eine Integralformel für die Lösung u(x,t) des Anfangswertproblems
u(x,0) = 0, ut(x,0) = φ(x)
der Dgl. Δu + γ2u = utt an, die sich mittels der Exponential-Transformation (2) auf die gesamte Klasse der Telegraphengleichung anwenden lässt.
Wie kann man damit das allgemeine Anfangswertproblem
U(x,0) = ψ(x), Ut(x,0) = φ(x)
lösen?
Hilfsatz Sei v eine C³-Lösung der Anfangswertaufgabe (das leistet die Courant-Formel für ψ in C³.)
v(x,0) = 0, vt(x,0) = ψ(x).
Dann löst U = u + vt das allgemeine Anfangswertproblem.
Beweis Offensichtlich erfüllt U die lineare Dgl. ΔU + γ2U = Utt
Für die Anfangswerte ergibt sich
U(x,0) = u(x,0) + vt(x,0) = 0 + ψ(x) = ψ(x)
und
Ut(x,0) = ut(x,0) + vtt(x,0) = φ(x) +(Δv + γ2v)(x,0) = φ(x) + 0 = φ(x).
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/Fundamentale_Feldgleichung.htm
