Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

@towel_42

towel_42 schrieb:Wie ist denn Deine Antwort auf die Frage warum Du zwar an 50:50 glaubst in den Simulationen (ob nun am Rechner oder am Küchentisch) zuverlässig 33,3:66,6 rauskommt?

Weil ich von zwei separaten Situationen ausging.

Versuch es andersrum zu betrachten, ohne erste Runde hast Du eine 50:50 Verteilung,

Das habe ich die ganze Zeit gemacht.

Daß bei der Show auch das erste Tor gleich richtig sein kann, drückt sich darin aus, daß Wechseln eben nur zu einer 2/3 Chance führt. Das restliche Drittel ist Tor 1.

Izaya schrieb:Oder hast du in deinen letzten Schuljahren noch den Doppelpunkt genutzt. Ich bezweifle es.

??? Ich benutze den Doppelpunkt heute noch. Nur am PC nehm ich oft den Slash. In der Schule war : Standard.

Na wie auch immer. Ich schreib oft "1:4", auch wenn andere das nur als"1/4" kennen. Für mich ist letzteres eher ne Art einen Bruch darzustellen, nicht ne Divisionsrechnung zu schreiben.

Dennoch bleibt es dabei, daß 1/4 (mein "1:4") eine Wahrscheinlichkeit bezeichnet, 0,25 ebenso, ferner die Darstellung als Bruch, und ebenso 25%. Aber "1 zu 3", was offensichtlich als 1:3 geschrieben wird, das gibt nicht den Wert einer Wahrscheinlichkeit wieder, es sagt also nicht, in wie vielen Fällen jenes Ereignis auftritt, dessen Wahrscheinlichkeit beschrieben werden soll. Sondern es benennt das Verhältnis des eingetroffenen Ereignisses zu den Fällen seines Nichteintretens. Bzw. vergleicht deren beider Wahrscheinlichkeiten (1/4:3/4; 4 weggekürzt).

off-peak schrieb:Versuch es andersrum zu betrachten, ohne erste Runde hast Du eine 50:50 Verteilung,
Das habe ich die ganze Zeit gemacht.

Und in wieweit geht Deine Antwort auf meine Frage ein?

off-peak schrieb:towel_42 schrieb:Wie ist denn Deine Antwort auf die Frage warum Du zwar an 50:50 glaubst in den Simulationen (ob nun am Rechner oder am Küchentisch) zuverlässig 33,3:66,6 rauskommt?
Weil ich von zwei separaten Situationen ausging

Jetzt nicht mehr? Entnehme ich Deinem Tonfall richtig, dass es Dir eigentlich nicht zuzumuten ist auf Gegenargumente einzugehen?

perttivalkonen schrieb: In der Schule war : Standard.

Echt, bis zum Ende?
Bei mir ist der irgendwann abhanden gekommen.

In den meisten Ländern, auch in Deutschland, wird in der Schulmathematik bevorzugt der Doppelpunkt ( : ) eingesetzt; im englischen Sprachraum und auf Taschenrechnern wird meist das Obelus-Zeichen (÷) verwendet. In der höheren Mathematik finden sich fast ausschließlich die Bruchschreibweise ( {\tfrac {a}{b}}, selten auch {}^{a}/_{b} ) oder die Schreibweise als Multiplikation mit dem Kehrwert ( ab^{-1} ), die insbesondere bei nicht-kommutativer Multiplikation die nötige Klarheit setzt

Wikipedia: Geteiltzeichen

mojorisin schrieb:Ich kann immer noch nicht nachvollzihen wie ihr auf die annährend 1/2 Wahrscheinliochkeit kommt und nicht auf die =1/2 Wahrscheinlichkeit.

Exakt dasselbe Problem kann kam ja definieren mit dem Urnenmodell wie in Wikipedia beschrieben:

4 Urnen gefüllt mit jeweils 2 Kugeln:

s = schwarz
w = weiß

Es gibt insgesamt 2x4 = 8 Kugeln; 4 davon sind weiß 4 davon sind schwarz

Dann erhählt man folgeden Verteilung:




Urne 1 w w
Urne 2 w s
Urne 3 s w
Urne 4 s s


Nun ziehen wir zufällig aus einer der Urnen eine Kugel. Diese sei weiß. WIe groß ist dann die Wahrscheinlichkeit das die andere Kugel auch weiß ist?

Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen wenn die erste Kugel bereits weiß ist:

P(K2=w∣K1=w)P(K_2 = w | K_1 = w)P(K2​=w∣K1​=w)


DIe Lösung wird hier beschrieben:
Wikipedia: Junge-oder-Mädchen-Problem#Lösung_mittels_Urnenmodell

Allersdings ist die Lösung:

P(K2=w∣K1=w)=12P(K_2 = w | K_1 = w) = \frac{1}{2}P(K2​=w∣K1​=w)=21​


Das heißt die Lösung ist tatsächlich exakt 0,5 und nicht annährend 0,5.

OK, bei der paarweisen Aufteilung auf einzelne Urnen geb ich Dir recht. Was auch der Prämisse eines Geschwisterpaares entspricht. Bei ner einzelnen Urne, in der sich alle Kugeln befinden, käme dann das "weniger als" zum Tragen. Aber das wäre dann eher "Du siehst nen Vater mit nem Sohn. Da siehst Du den nächsten Vater um die Hausecke kommen, ein Kind an der Hand, das DU noch nicht siehst. W?e hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß es sich ebenfalls um einen Jungen handelt? Zahl der Mädchen und Jungen in der Gesellschaft exakt gleich groß".

Mein abgegebener Fussball Tipp auf Seite 7 war sogar richtig, hätte ich gespielt wäre ich nun Reich gewesen :(

@perttivalkonen

perttivalkonen schrieb:OK, bei der paarweisen Aufteilung auf einzelne Urnen geb ich Dir recht. Was auch der Prämisse eines Geschwisterpaares entspricht.

Dann sind wir uns grundsaätzlich einig :-)

@Issomad

Man entscheidet zufällig, ob man nach Aufdecken einer Möglichkeit wechseln will oder nicht (z.B. per Münzwurf).
Eine Schülergruppe simulierte das mal durch mit einem guten Zufallssimulator und kam in diesem Fall bei 4000 Versuchen auf 2002 Gewinne und 1998 Nieten ...
https://docplayer.org/46321175-Simulation-des-ziegenproblems.html

Macht also etwa 50:50 ...

Es geht bei dem Ziegenproblem nicht darum, was passiert, wenn zufällig gewechselt wird. Dabei ist tatsächlich eine Trefferwahrscheinlichkeit von 50% zu erwarten. Beim Ziegenproblem geht es darum, wie sich die Trefferwahrscheinlichkeit ändert, wenn der Kandidat IMMER wechselt. Und in genau diesem Fall verdoppelt sich die ursprüngliche Trefferwahrscheinlichkeit.

Wenn ich z.B. immer Tor 1 nehme (Anfangs-Wahrscheinlichkeit 1/3), dann gibt es keinen Grund, warum das andere verbleibende Tor bei vielen Versuchen mehr Gewinne ausschütten würde, denn dessen Anfangs-Wahrscheinlichkeit ist auch 1/3 und die Wahrscheinlichkeit steigt nicht im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit von Tor 1.

Der Fehler, den Du begehst, ist, dass Du insgeheim annimmst, dass das "andere Tor" immer dasselbe Tor ist. Das ist aber nicht der Fall.

@off-peak

Wie ich schon sagte, ich kann ja nicht wissen, welche Tür jetzt diese tollen Chancen hat.

Beim Ziegenproblem wird auch nichts über die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Türe ausgesagt, sondern über die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel.

Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wo bei der Angelegenheit das Problem ist. Eigentlich handelt es sich beim Ziegenproblem noch nicht einmal um ein Paradoxon, denn es ist im Prinzip von Beginn an vollkommen logisch, dass die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3 sein muss! Die Ausgangssituation ist, dass sich hinter den drei Türen ein Treffer und zwei Nieten befinden. Das bedeutet, dass sich der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 für eine Niete entscheidet. Wenn nun ein Tor geöffnet wird und hinter dem Tor eine Niete ist, dann muss der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 einen Treffer landen, weil er eben auch bei seiner ersten Wahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 eine Niete gewählt hat.

Was genau berechnet denn Deine WSK? Berechnet sie, dass die WSK für eine der Türen steigt? Oder berechnet sie, welche davon es wäre?

Nein, die Wahrscheinlichkeitsrechnung berechnet in diesem Fall die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel. Wahrscheinlichkeiten sind im Einzelfall außerdem nicht unbedingt hilfreich. Beim Ziegenproblem würde immerhin noch ein Drittel der Spieler leer ausgehen, demgegenüber gibt es beim Lotto auch immer wieder Spieler, die den Jackpot knacken,obwohl dies äußerst unwahrscheinlich ist.

@off-peak

Ziegenrätsel noch nicht verstanden?

Wenn Du eins von drei Toren wählst, steht fest: in zwei von drei Fällen ist das Gewinntor eines der beiden anderen. Richtig? Nun zeigt Dir der Showmaster in diesen beiden Fällen auch noch, welches von beiden nicht das Gewinnertor ist. Was machst Du? Klar: wechseln.

Dumm nur, daß Du nicht weißt, wann diese zwei von drei Fällen dran sind. Im dritten Fall hast Du schon das richtige Tor gewählt, und ein Wechsel bringt Dir garantiert ne Niete ein. Aber da weißt Du ja ebenfalls nicht, wann dieser Fall der Fall ist.

Wenn aber zwei von drei Fällen beim Wechsel den Gewinn garantieren und nur ein Fall selbigen ruiniert, dann bringt Wechseln doppelt so wahrscheinlich den Gewinn ein wie bei der Anfangswahl zu bleiben.

So verstanden?

Und jetzt das Ziegenproblem andersrum:
Was haltet ihr von der folgenden Spielstrategie beim Lotto:

Tippe immer auf die Gewinnzahlen der vorangegangenen Ziehung.

@zalesi

zalesi schrieb:Tippe immer auf die Gewinnzahlen der vorangegangenen Ziehung.

Ganz spontan würde ich sagen: Kann man machen muss man aber nicht. Soll heißen diese Kombination der sechs Zahlen der vorangegangen Ziehung ist genauso wahrscheinlich wie zufällig gewählte sechs andere Zahlen. Man könnte auch einfach 1 2 3 4 5 6 ankreuzen.

Ich kann mir aber vorstellen das die Leute es für unwahrscheinlich halten das zweimal nacheinander sechs gleiche Zahlen gezogen werden was auch richtig ist. DAs Argument funktioniert aber nicht bei bereits gezogenen Zahlen. Daher ist das kein Grund das die vorherigen Zahlen nun unwahrscheinlicher werden bei der nächsten Ziehung, und diese deshalb nicht anzukreuzen.

Kleines Beipiel mit dem Würfel:

Die Chance eine sechs zu würfeln ist 1/6. Die Chance zweimal nacheinander zwei Sechser zu würfeln ist 1/6*1/6 = 1/36.

Übertragen aufs Lotto werden wohl die meisten sagen es ist so unwahrscheinlich das zweimal dieselben Lottozaheln drankommen. WEnn allerdings ein Kombination schon einmal gezogen wurde steigt diese Wahrscheinlihckeit dieser Kombination unmittelbar auf exakt 1, sie wurden ja schließlich gezogen.

Zurück zum Würfel wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu würfeln, wenn zuvor eine sechs gewürfelt wurde. Das obige Staement ändert isch dann :

DIe Chance das eine sechs gewürfelt wurde ist 1. Die Chance eine weitere sechs zu würfeln ist 1/6 --> GEsamtwahscheinlihckeit 1*1/6 = 1/6

Gesamtfazit: Es ist völlig wurscht was in den vorangegangen Ziehungen gezogen wurde, denn die einzelnen Ziehungen sind voneinander unabhängig.

zalesi schrieb:Die Paradoxien des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel
heute um 08:47
Und jetzt das Ziegenproblem andersrum:
Was haltet ihr von der folgenden Spielstrategie beim Lotto:

Tippe immer auf die Gewinnzahlen der vorangegangenen Ziehung.

Das ist Wahrscheilichkeitstechnisch egal und Quotentechnisch eine Katastrophe.

Ok ich habe eine neues Rätsel das auf einem hochinteressanten "Gesetz" basiert. (Mehr dazu wird später verraten).

Die Aufgabe zuerst:

Im Jahr 2011 war Zensus in Deutschland, und wir können uns nun vorstellen das ein Liste erstellt wurde mit allen Städten und Gemeinden und deren Eniwohnerzahl z.B.

Stadt	Einwohner
Berlin	3 601 131
Hamburg	1 830 669
...	...
Husum	895

Nun kommt die Frage:

Wir können wir nun aus allen Einwohnerzahlen die erste Ziffer herausnehmen (z.B. Berlin=3; Hamburg=1; Husum=8). Was schätzt ihr: Kommen die ZIffern 1-9 alle gleich häufig vor oder kommen bestimmte Ziffern häufiger vor als andere?

perttivalkonen schrieb: schukoplex schrieb:
Wie nun weiter?

Habich doch gesagt. Je größer der Pool wird, desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit dem Wert 1:2 an.

... und nun, viele Stunden später, habe auch ich es begriffen. Manchmal dauert's halt :)

Ja, die Wahrscheinlichkeit liegt bei 1/2. Fängt man bei 1M und 1S an, dann ist das zweite Kind zwar 100%ig eine Tochter; je mehr man sich jedoch der Unendlichkeit nähert, desto mehr verschiebt sich die Wahrscheinlichkeit in Richtung 1/2. Da keine Obergrenze für M und S vorgegeben ist, ergeben sich also 49,9999999...%, praktisch 1/2.

Wieder mal was gelernt.

@mojorisin
Ich meine mich erinnern zu können mal was von einem Gesetz der kleinen Zahl gelesen zu haben, also dass Zahlen umso häufiger vorkommen je niedriger sie sind, wenn es sich um Daten handelt, das wird wohl auch benutzt um Berügereien bei der Steuer aufzudecken, da die Betrüger dazu neigen eher gleichverteilte Zahlen zu erfinden (Könnte mir aber vorstellen dass da die 9 ausbricht wegen 1,99 , 2,99 - Beträgen)

towel_42 schrieb:Das ist Wahrscheilichkeitstechnisch egal

d’accord 😁

towel_42 schrieb:und Quotentechnisch eine Katastrophe.

Was heißt das?
@towel_42

@towel_42

Ja das geht sehr stark in die richtige RIchtung. Aber psst ;-)

NUr das

einem Gesetz der kleinen Zahl

ist etwas anders.

mojorisin schrieb:Kommen die ZIffern 1-9 alle gleich häufig vor oder kommen bestimmte Ziffern häufiger vor als andere?

Ich habe mal irgendwo gelesen (...), dass statistisch die meisten statistischen Zahlen mit einer 1 beginnen. Nähme man un von einer Menge Zahlen die jeweils führende Ziffer weg, entfernte man auch die meisten Einsen; sollte sich - nach erster Schätzung - also wieder ausgleichen.

Ich tippe daher auf gleiche Häufigkeit.

zalesi schrieb:Was heißt das?

Das ist ähnlich wie wenn Du Muster tippst oder Geburtsdaten, um so mehr Menschen auf die gleiche Idee kommen um so schlechter werden die Quoten da nur immer ein fester Betrag unter allen Gewinnern aufgeteilt wird. Da Du davon ausgehen kannst, dass noch mehr Menschen auf die Idee mit den Zahlen vom letzten Wochende kommen.... Die quotentechnisch Schlechteste Zahl ist wohl die 19.

https://www.sueddeutsche.de/panorama/sechser-flut-im-lotto-sechs-richtige-und-ein-kleiner-gewinn-1.1220545