Mathematische Frage- und Problemstellungen (Sammelthread)

Suppenhahn schrieb:So ist die gröte Zahl, di eman mit 3 Ziffern darstellen kann 9^9^9 , was 1.966 × 10^77 entspricht.

Nö, da geht definitiv noch was. Ist letztendlich alles nur eine Frage der Notation. Ein Beispiel wäre etwa folgender Ausdruck, der auch nur mit drei Ziffern und einem unscheinbaren Pfeil auskommt:

9\uparrow^99

Diese Zahl ist bereits so unfassbar groß, das ist wirklich jenseits von gut und böse....

@OmegaMinus

OmegaMinus schrieb am 27.03.2026:9^9^9 = 9^(9^9) = 9^387420489 und das ist wesentlich größer, der TR steigt aus.

Zumindest die materiellen aus Plastik und Elektronik, mein TR auf dem Smartphone gibt als Ergebnis 4,28124773176 x 10^369.693.099 an.

Ob das allerdings stimmt, sage ich Euch wenn ich mit dem Nachrechnen fertig bin. :D

Africanus schrieb:Zumindest die materiellen aus Plastik und Elektronik,

Ja, die sind üblicherweise bei 10^99 oder 10^500, ich hatte auch mal einen, der ging bis 10^320 oder so.

Africanus schrieb:mein TR auf dem Smartphone gibt als Ergebnis 4,28124773176 x 10^369.693.099 an.

Müsste ich mal ausprobieren. Der Windoof-TR kanns auch nicht.

Deswegen ja die Preisfrage: Wie könnte ich das (9^(9^9)) ausrechnen mit einem TR, der bei 10^99 aussteigt? Keine Idee?

Grüße
Omega Minus

Africanus schrieb:4,28124773176 x 10^369.693.099

Wird wohl stimmen.

4.28 × 10^{369 693 099}

Quelle: GPT-5

OmegaMinus schrieb am 27.03.2026:9^9^9 = 9^(9^9) = 9^387420489 und das ist wesentlich größer, der TR steigt aus.

Preisfrage: Wie kann ich die Größenordnung des korrekten Ergebnis mit einem TR ausrechnen?

Ich verstehe die Frage nicht ganz. Man kann die Zahl zunächst als Potenz zur Basis 10 darstellen:



Letzteres wäre 'ne 1 mit 369693100 Nullen dahinter bzw. eine 369693100-stellige Zahl. Damit hast du zumindest die Größenordnung des Ergebnisses bestimmt. Um das Ergebnis selbst darzustellen, müsste man allerdings 369693100 Ziffern darstellen. Und dafür bräuchte es bspw. eine ca. 370 MB große Textdatei...

Will man die führenden Stellen bestimmen, braucht es einen kleinen Trick bzw. eigentlich auch nur die Anwendung elementarer Logarithmengesetze, wie oben schon. Zunächst ist:

Und damit:

Durch den ersten Faktor wird im Prinzip bloß das Komma verschoben. Der zweite Faktor liefert die ersten Stellen:

Also:

@OmegaMinus

OmegaMinus schrieb:Deswegen ja die Preisfrage: Wie könnte ich das (9^(9^9)) ausrechnen mit einem TR, der bei 10^99 aussteigt? Keine Idee?

Das weiß ich nicht, aber ich wüsste einen Weg, zumindest die Größenordnung herauszubekommen. Ich würde log₁₀(9^9^9) machen und erhalte dann (9^9)*log₁₀(9). Das Ergebnis wären dann ja die Zahl der Stellen der Lösung.

Ein bekanntes Paradox ist das Paradox von Zenon (und gleichzeitig eine Art Fabel) vom
Wettrennen von Achilles und der Schildkröte, wo Achilles die Schildkröte nicht überholen kann

Einst begegnete Achilles einer Schildkröte, deren Geist flinker war als ihre Beine. Sie forderte den athletischen Helden zum Wettlauf heraus, und er willigte belustigt ein. Die Schildkröte bat allerdings wegen ihrer sprichwörtlichen Langsamkeit um einen Startvorsprung. Den räumte Achilles ihr großzügig ein, und sie begann eifrig davonzukriechen; er aber ließ sich viel Zeit, schnürte seine Sandalen fester und lief ihr endlich nach.

In kürzester Zeit überwand er die Entfernung, die ihn beim Start von der Schildkröte getrennt hatte. Zwar war auch das Tier unterdessen ein kleines Stückchen weitergekommen, doch diesen geringeren Abstand legte Achilles noch rascher zurück. Allerdings war die Schildkröte auch in dieser Spanne wieder ein bißchen vorangerückt, und während Achilles den neuen Vorsprung einholte, war sie wiederum ein kleines Stückchen weiter. Mit einem Wort: Gleichgültig, wie schnell Achilles rannte, immer blieb die Schildkröte vorn

https://www.spektrum.de/magazin/eine-loesung-fuer-zenons-paradoxien/822041

Das Paradox konnte erst mit moderner Mathematik 2000 Jahre später gelöst werden

Die unbesiegbare Schildkröte

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Es gibt meiner Meinung nach eine viel einfachere Erklärung, nämlich es hat nichts mit Unendlichkeitsproblemen zu tun, sondern
es wird dem Achilles ein künstlicher Zeitrahmen aufgezwängt, wo er niemals die Schildkröte erreichen darf. Die Zeit, die Achilles laufen darf, ist zu kurz um die Schildkröte zu erreichen.

parabol schrieb:es wird dem Achilles ein künstlicher Zeitrahmen aufgezwängt, wo er niemals die Schildkröte erreichen darf. Die Zeit, die Achilles laufen darf, ist zu kurz um die Schildkröte zu erreichen.

Ich denke, das ist im Prinzip das gleiche wie die normale Erklärung, nur etwas "schwammiger", unmathematisch ausgedrückt. :-)

parabol schrieb:sondern es wird dem Achilles ein künstlicher Zeitrahmen aufgezwängt

Der Ansatz IMHO ist: Wann/wo genau überhilt Achilles die Schlidkröte?

Die Antwort darauf kann man als unendliche Summe betrachten. Und da genau liegt das Problem: Die alten Griechen konnten sich weder unter einer unendlichen aber konvergierenden Summe etwas vorstellen noch Grenzwertprozesse, bei denen mal 'null duch null' betrachtet (die Geschichte mit dem Pfeil,der 'eigentlich' gar nicht flkiegt, denn bei immer kürzeren Abständen würde er sich immer weniger bewegen) bzw. diesem den Wert 0 zu weisen.

Und nach den Formulierungen der Analysis haben sich noch Generationen daran gestört, dass der Grenzwert eines Differenzenquotienten einen definierten Werte haben kann.

Grüße
Omega Minus

stefan33 schrieb:Ich denke, das ist im Prinzip das gleiche wie die normale Erklärung, nur etwas "schwammiger", unmathematisch ausgedrückt. :-)

OmegaMinus schrieb:Der Ansatz IMHO ist: Wann/wo genau überhilt Achilles die Schlidkröte?

Die Antwort darauf kann man als unendliche Summe betrachten. Und da genau liegt das Problem: Die alten Griechen konnten sich weder unter einer unendlichen aber konvergierenden Summe etwas vorstellen noch Grenzwertprozesse, bei denen mal 'null duch null' betrachtet

Mein Lösungsvorschlag kommt ohne die Unendlichkeitsparadoxa aus, es handelt sich eigentlich nur um ein einfaches Zeitberechnungsproblem, man kann das Ganze als Ungleichung darstellen

t_verfügbar < w / (v_a - v_s)

v_a ist die Geschwindigkeit von Achill, v_s ist die Geschwindigkeit von Schildkröte, w ist die Wegstrecke (Vorsprung) der Schildkröte am Anfang, und t die Zeit, die Achill verfügbar hat, um die Schildkröte nicht zu erreichen

parabol schrieb:Mein Lösungsvorschlag kommt ohne die Unendlichkeitsparadoxa aus, es handelt sich eigentlich nur um ein einfaches Zeitberechnungsproblem, man kann das Ganze als Ungleichung darstellen

t_verfügbar < w / (v_a - v_s)

v_a ist die Geschwindigkeit von Achill, v_s ist die Geschwindigkeit von Schildkröte, w ist die Wegstrecke (Vorsprung) der Schildkröte am Anfang, und t die Zeit, die Achill verfügbar hat, um die Schildkröte nicht zu erreichen

Dass man das ganze auch anders darstellen und lösen kann sollte jedem klar sein. Zwei Geraden, die sich schneiden, kann man grafisch lösen. Das Entscheidende für mich ist ja gerade (deswegen Paradoxon) die vermeintliche (Nicht-)Lösung aufgrund unverstandener Grenzwertprozesse.


Moderne Version I:
Nimm ein Quadrat mit Seitenlänge 2, Fläche 4, Umfang 8.
Jetzt schnipsel immer Quadrate ab, der Umfang bleibt. Aber ich kann mich unendlich vielen hintereinandergeschalteten Schnipseleien dem einbeschrieben Kreis mit Radius 1 näheren, aber die Gesamtstrecke, die ich außen der gestuften Approximation entlanglaufen muss, bleibt immer gleich und wird sich nie Annähern an den Strecke des Umfang des Kreises (2 pi).

Natürlich komme ich anders an Umfang des Kreises, aber das ist gar nicht der Punkt! Sondern die Überlegung: Was passiert beim Grenzwertprozess!?

Moderne Version II:
lim(n->inf) (1 + 1/n)^n
Für jedes endliche n, was ich einsetze, bekomme ich eine rationale Zahl.
Das Ergebnis des Grenzprozesses ist aber keine rationale Zahl, sondern eine transzendente.


Das ist ja gerade das Paradoxon: ein scheinbarer Widerspruch.
Jeder Mensch mit ein paar intakten Restzellen kann ausrechnen (grafisch oder algebraisch oder 'scharfes Hinsehen'), wann die Schildkröte überholt wird => Ich habe eine Lösung und sie ist eindeutig!
Aber wenn ich die Grenzwertbetrachtung mache, dann bekomme ich ein falsches Ergebnis, hier Unkenntnis von Infenitesimalrechnung.

So ähnlich ging es damals mit den Mysterien um komplexe Zahlen. Man musste erst einmal verstehen,was man da macht und heraus bekommen, wie man damit umgeht.


Der Kern ist IMHO nicht 'unlösbares Problem', sondern 'scheinbarer Widerspruch'.

Grüße
Omega Minus

parabol schrieb am 05.04.2026:Es gibt meiner Meinung nach eine viel einfachere Erklärung, nämlich es hat nichts mit Unendlichkeitsproblemen zu tun, sondern
es wird dem Achilles ein künstlicher Zeitrahmen aufgezwängt, wo er niemals die Schildkröte erreichen darf. Die Zeit, die Achilles laufen darf, ist zu kurz um die Schildkröte zu erreichen.

Ja das ist eine konvergierende Reihe: dadurch, dass die Entfernung bis zur Schildkröte immer kleiner betrachtet wird, wird auch die Zeit, die der Läufer dahin braucht immer kleiner. Wenn man das unendlich fortsetzt so ist die Strecke (und auch die Laufzeit) ein fester Wert, über den nicht weitergerechnet wird.

Beispiel:





Wenn 1 = 1m ist, so werden hier zwar unendlich viele Intervalle betrachtet, aber nur auf dem ersten Meter.

Achso, im obigen Beispiel war der Läufer dopplt so schnell wie die Schildkröte, diese hatte 1/2 Vorsprung.

Ganz allgemein, wenn der Läufer einen Vorsprung von "s" Metern hat und den Faktor "p" schneller ist als die Kröte, dann wird er in der Betrachtung die endliche Strecke S zurücklegen und die Schildkröte im Intervall einholen.





Beispiel der Läufer ist 50x so schnell und gibt der Kröte 100m Vorsprung:





Das gleiche bekommt man auch heraus, wenn man physikalisch mit Geschwindigkeit und Zeit rechnet:





Man kann also sagen das Zenon die Strecke beschreibt, nach der der Läufer die Schildkrote eingeholt hat.

Wer an der Zeit interessiert ist, muss halt oben bei "t=" die Geschwindigkeit der Schldkröte einsetzen.