1:unendlich
10.09.2005 um 10:06Anhang: Harmonikale_Grundlagen_300.jpg (163, KB)
@md-knight
Du hast vollkommen recht!
Unendlich bezeichnet einen Grenzwert, die Grenze selbst, die eigentlich nicht mehr zum betrachteten System gehört, außerhalb von ihm liegt und damit keinen konkreten Zahlenwert besitzt, also auch keine wirkliche Zahl ist!
Bezieht man also eine Ganzheit in Form der Einheit Eins auf unendlich, dann geht im Ergebnis dieses Wechselbezuges die Grenze gegen Null. Bezieht man die selbige Einheit Eins auf Null, dann geht im Ergebnis dieses Wechselbezuges die Grenze selbst gegen unendlich!
Dieses Ergebnis lieferte uns ja die Grenzwertbetrachtung in der Differential- und Integralrechnung!
@Mûreth: >Nein. Mathematik ist Logik und keine Definitionssache... In der Mathematik wird nichts definiert.
Oh doch!
Mathematik baut zwar auf Axiomen auf, von denen ausgehend dann aber jeder weitere Schritt, jede weitergehende mathematische Operation einer ganz konkrete Definierung bedarf!
Das Axiom selbst aber wird als selbsterklärend angenommen. Da hast Du vollkommen Recht, lieber Mûreth. Es wird nur logisch begründet aber selbst nicht wirklich auch mathematisch begründet definiert!
Mathematik ist also sehr wohl auch Definitionssache, auch wenn ihr Ausgangspunkt im Absoluten, in einer Annahme über das Absolute welche im Axion widergespiegelt wird, ist!
@nax: >Was aber den Sinn von 1/x mit x gegen unendlich bringt weiß ich nicht....
Vielleicht hierzu einmal ein Beispiel aus der Musiktheorie über das Wesen unendlicher Begebenheiten und über den Bezug Null zu Null. Ich denke, daß dieses Beispiel Dir etwas vom Sinn des Bezuges auf einen unendlichen Wert und auf Null erklären kann.
Entschuldigt bitte alle hier gleich die Länge der folgenden Ausführungen. Aber sie kann ohne ihren Sinn zu entstellen nicht weiter gekürzt werden. Es ist schon eine sehr gekürzte Fassung der Ausführungen von S. 49-51 aus Dieter Kolks Buch: "Zahl und Qualität". Wem es interessiert, der kann es ja lesen und wem nicht der braucht sich auch nicht damit zu befassen!
Entsprechend einem Entwicklungsgesetz der Musiktheorie nähern sich die Tonwerte in zunächst größeren, dann in immer kleineren Schritten dem Zeugerton an, so daß sie sich bei immer weiterer Entfaltung schließlich nicht nur geometrisch im unendlich fernen Punkt mit der Zeugertonlinie schneiden, sondern auch tonal mit ihr konvergieren.
Nun wiederholt sich nicht nur der Zeugerton, sondern alle Tonwerte wiederholen sich auf Geraden, die man deshalb als > Gleichtonlinie < bezeichnet. Sie führen weder durch den Zeugerton noch durch einen anderen Tonpunkt des Systems, schneiden sich aber sämtlich in einem Punkt außerhalb der Ordnung der Tonzahlen.
Und das ist das Wichtigste an dieser ganzen Sache, eben, daß der Schnittpunkt auf der Gleichtonlinie außerhalb der Ordnung der Tonzahlen zu finden ist. Die Grenze selbst liegt also bei diesem Bezug auf einen unendlich fernen Punkt - wie oben gesagt - außerhalb des eigentlich betrachteten Systems der Tonzahlen-Ordnung!
Nun sind die Abstände der Tonwiederholungen auf den Gleichtonlinien um so größer, je später der jeweilige Tonwert erstmalig aufgetreten ist. Schreitet man nun entlang einer Gleichtonlinie rückwärts über das erste Auftreten eines Tonwertes hinaus um den Abstand seiner Wiederholungen fort, trifft man jedesmal auf den Schnittpunkt der Gleichtonlinie. Betrachtet man dabei das Bildungsgesetz der Zahlenfolge, also die Differenzen, die sich jeweils in Zähler und Nenner ergeben, führt das auf den Ausdruck 0/0 für den gemeinsamen Punkt (Bild im Dateianhang). Dieser Ausdruck ist mathematisch nicht definiert (zumindestens nicht innerhalb der natürlichen Rechenarten); aber auch einen bestimmten Tonwert kann man diesem Punkt nicht zuordnen, weil er schließlich der Gleichtonlinie jedes beliebigen Tonwertes angehört.
Und wie gesagt liegt er ja auch außerhalb der Ordnung der Tonzahlen!
Nun muß man beachten, daß in der Harmonik nicht die ganze Zahl das Primäre ist, aus der die rationalen Zahlen durch die Verallgemeinerung der Quotientenbildung hervorgehen, sondern die rationalen Zahlen selbst als Ausdruck der Intervallqualität am Anfang stehen. Diese ist eine Ganzheit, die wesentlich in der Beziehung zwischen zwei Zahlwerten (Saitenlängen oder Schwingungszahlen) besteht. Es wäre deshalb nicht sinnvoll, den Schnittpunkt der Gleichtonlinien lediglich als Ursprung eines mathematischen Koordinatensystems anzusehen, weil die beiden Koordinatenachsen keine selbständige Bedeutung haben. Man erhält vielmehr ihre Werte, indem man von den Tonreihen aus extrapoliert, wie sich auch der Ausdruck 0/0 durch Verlängerung der Gleichtonlinien fand. Auch auf den > Koordinatenachsen < stehen damit nicht reine Zahlen, sondern Zahlenpaare, die man sogar als Verhältnisse verstehen muß. Die Werte der oberen Reihe haben die Form n/0, was als Proportion im mathematischen Sinn nicht definiert ist (zumindestens in den natürlichen Rechenarten). Man kann den Ausdruck korrekt nur in folgender Weise als Grenzwert verstehen:
lim n/k = unendlich, wenn k gegen 0 geht.
Wohlgemerkt: Als Grenzwert verstehen!
Der Einfachhheit halber mögen diese Paare daher für den Grenzwert unendlich stehen.
Wohlgemerkt: sie stehen nur der Einfachheit halber für den Grenzwert unendlich!
Die Zahlenausdrücke des senkrechten Schenkels haben die Form 0/n was schlichtweg Null bedeutet. Keiner der beiden Reihen lassen sich aber Tonwerte zuordnen.
Daraus ergibt sich nun auch ein Anhaltspunkt, wie das Symbol 0/0, das Verhältnis der Null zu sich selbst, aufgefaßt werden muß. Da der damit bezeichnete Punkt beiden Reihen angehört, stellt dieser Ausdruck die Einheit von Null und Unendlich dar, eine Paradoxie, der man zwar keinerlei mathematischen, wohl aber einen harmonikalen Sinn abgewinnen kann. Offenbar ist diese Paradoxie in der folgenden Weise zu verstehen: Geometrisch wie dem numerischen Bildungsgesetz nach gehört der mit 0/0 bezeichnete Punkt jeder Gleichtonlinie an, deren es unendlich viele gibt, und zwar genau dort, wo im Rückwärtsschreiten auf der Gleichtonlinie die jeweils nächste Manifestation ihres Tonwertes zu erwarten ist. Alle Tonwerte fallen somit in diesem Punkt zusammen, er ist mit jedem Teilton identisch und enthält insofern unendlich viele Töne. Es kommt ihm aber keine konkrete Existenz zu im Sinne eines bestimmten, von anderen verschiedenen Teiltons. Man könnte auch sagen, daß er potentiell mit der Gesamtheit der Teiltöne identsch ist, aber aktuell nicht existiert.
Hier haben wir also das Verhältnis einer absolut gegebenen aber aktuell nicht verwirklichten Gegebenheit, einer nur potentiell gegebenen Gesamtheit der Teiltöne, zu einer ganz konkret, aber dann immer nur relativ verwirklichten Ganzheit von Tonwerten, der Ganzheit einer aktuell verwirklichten Tonzahlen-Ordnung, zu tun!
Wobei zu beachten ist, daß hier sowohl Unendlich als auch das Verhältnis 0/0 absolut als Grenzwerte auffaßbare, aber aktuell nicht wirklich als Grenzwerte stehende Gegebenheiten symbolisieren!
Diese Grenzwerte liegen nun einmal außerhalb der betrachteten Ordnung, eigentlich außerhalb jeglicher auch wirklich beobachtbarer Ordnung!
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@md-knight
Du hast vollkommen recht!
Unendlich bezeichnet einen Grenzwert, die Grenze selbst, die eigentlich nicht mehr zum betrachteten System gehört, außerhalb von ihm liegt und damit keinen konkreten Zahlenwert besitzt, also auch keine wirkliche Zahl ist!
Bezieht man also eine Ganzheit in Form der Einheit Eins auf unendlich, dann geht im Ergebnis dieses Wechselbezuges die Grenze gegen Null. Bezieht man die selbige Einheit Eins auf Null, dann geht im Ergebnis dieses Wechselbezuges die Grenze selbst gegen unendlich!
Dieses Ergebnis lieferte uns ja die Grenzwertbetrachtung in der Differential- und Integralrechnung!
@Mûreth: >Nein. Mathematik ist Logik und keine Definitionssache... In der Mathematik wird nichts definiert.
Oh doch!
Mathematik baut zwar auf Axiomen auf, von denen ausgehend dann aber jeder weitere Schritt, jede weitergehende mathematische Operation einer ganz konkrete Definierung bedarf!
Das Axiom selbst aber wird als selbsterklärend angenommen. Da hast Du vollkommen Recht, lieber Mûreth. Es wird nur logisch begründet aber selbst nicht wirklich auch mathematisch begründet definiert!
Mathematik ist also sehr wohl auch Definitionssache, auch wenn ihr Ausgangspunkt im Absoluten, in einer Annahme über das Absolute welche im Axion widergespiegelt wird, ist!
@nax: >Was aber den Sinn von 1/x mit x gegen unendlich bringt weiß ich nicht....
Vielleicht hierzu einmal ein Beispiel aus der Musiktheorie über das Wesen unendlicher Begebenheiten und über den Bezug Null zu Null. Ich denke, daß dieses Beispiel Dir etwas vom Sinn des Bezuges auf einen unendlichen Wert und auf Null erklären kann.
Entschuldigt bitte alle hier gleich die Länge der folgenden Ausführungen. Aber sie kann ohne ihren Sinn zu entstellen nicht weiter gekürzt werden. Es ist schon eine sehr gekürzte Fassung der Ausführungen von S. 49-51 aus Dieter Kolks Buch: "Zahl und Qualität". Wem es interessiert, der kann es ja lesen und wem nicht der braucht sich auch nicht damit zu befassen!
Entsprechend einem Entwicklungsgesetz der Musiktheorie nähern sich die Tonwerte in zunächst größeren, dann in immer kleineren Schritten dem Zeugerton an, so daß sie sich bei immer weiterer Entfaltung schließlich nicht nur geometrisch im unendlich fernen Punkt mit der Zeugertonlinie schneiden, sondern auch tonal mit ihr konvergieren.
Nun wiederholt sich nicht nur der Zeugerton, sondern alle Tonwerte wiederholen sich auf Geraden, die man deshalb als > Gleichtonlinie < bezeichnet. Sie führen weder durch den Zeugerton noch durch einen anderen Tonpunkt des Systems, schneiden sich aber sämtlich in einem Punkt außerhalb der Ordnung der Tonzahlen.
Und das ist das Wichtigste an dieser ganzen Sache, eben, daß der Schnittpunkt auf der Gleichtonlinie außerhalb der Ordnung der Tonzahlen zu finden ist. Die Grenze selbst liegt also bei diesem Bezug auf einen unendlich fernen Punkt - wie oben gesagt - außerhalb des eigentlich betrachteten Systems der Tonzahlen-Ordnung!
Nun sind die Abstände der Tonwiederholungen auf den Gleichtonlinien um so größer, je später der jeweilige Tonwert erstmalig aufgetreten ist. Schreitet man nun entlang einer Gleichtonlinie rückwärts über das erste Auftreten eines Tonwertes hinaus um den Abstand seiner Wiederholungen fort, trifft man jedesmal auf den Schnittpunkt der Gleichtonlinie. Betrachtet man dabei das Bildungsgesetz der Zahlenfolge, also die Differenzen, die sich jeweils in Zähler und Nenner ergeben, führt das auf den Ausdruck 0/0 für den gemeinsamen Punkt (Bild im Dateianhang). Dieser Ausdruck ist mathematisch nicht definiert (zumindestens nicht innerhalb der natürlichen Rechenarten); aber auch einen bestimmten Tonwert kann man diesem Punkt nicht zuordnen, weil er schließlich der Gleichtonlinie jedes beliebigen Tonwertes angehört.
Und wie gesagt liegt er ja auch außerhalb der Ordnung der Tonzahlen!
Nun muß man beachten, daß in der Harmonik nicht die ganze Zahl das Primäre ist, aus der die rationalen Zahlen durch die Verallgemeinerung der Quotientenbildung hervorgehen, sondern die rationalen Zahlen selbst als Ausdruck der Intervallqualität am Anfang stehen. Diese ist eine Ganzheit, die wesentlich in der Beziehung zwischen zwei Zahlwerten (Saitenlängen oder Schwingungszahlen) besteht. Es wäre deshalb nicht sinnvoll, den Schnittpunkt der Gleichtonlinien lediglich als Ursprung eines mathematischen Koordinatensystems anzusehen, weil die beiden Koordinatenachsen keine selbständige Bedeutung haben. Man erhält vielmehr ihre Werte, indem man von den Tonreihen aus extrapoliert, wie sich auch der Ausdruck 0/0 durch Verlängerung der Gleichtonlinien fand. Auch auf den > Koordinatenachsen < stehen damit nicht reine Zahlen, sondern Zahlenpaare, die man sogar als Verhältnisse verstehen muß. Die Werte der oberen Reihe haben die Form n/0, was als Proportion im mathematischen Sinn nicht definiert ist (zumindestens in den natürlichen Rechenarten). Man kann den Ausdruck korrekt nur in folgender Weise als Grenzwert verstehen:
lim n/k = unendlich, wenn k gegen 0 geht.
Wohlgemerkt: Als Grenzwert verstehen!
Der Einfachhheit halber mögen diese Paare daher für den Grenzwert unendlich stehen.
Wohlgemerkt: sie stehen nur der Einfachheit halber für den Grenzwert unendlich!
Die Zahlenausdrücke des senkrechten Schenkels haben die Form 0/n was schlichtweg Null bedeutet. Keiner der beiden Reihen lassen sich aber Tonwerte zuordnen.
Daraus ergibt sich nun auch ein Anhaltspunkt, wie das Symbol 0/0, das Verhältnis der Null zu sich selbst, aufgefaßt werden muß. Da der damit bezeichnete Punkt beiden Reihen angehört, stellt dieser Ausdruck die Einheit von Null und Unendlich dar, eine Paradoxie, der man zwar keinerlei mathematischen, wohl aber einen harmonikalen Sinn abgewinnen kann. Offenbar ist diese Paradoxie in der folgenden Weise zu verstehen: Geometrisch wie dem numerischen Bildungsgesetz nach gehört der mit 0/0 bezeichnete Punkt jeder Gleichtonlinie an, deren es unendlich viele gibt, und zwar genau dort, wo im Rückwärtsschreiten auf der Gleichtonlinie die jeweils nächste Manifestation ihres Tonwertes zu erwarten ist. Alle Tonwerte fallen somit in diesem Punkt zusammen, er ist mit jedem Teilton identisch und enthält insofern unendlich viele Töne. Es kommt ihm aber keine konkrete Existenz zu im Sinne eines bestimmten, von anderen verschiedenen Teiltons. Man könnte auch sagen, daß er potentiell mit der Gesamtheit der Teiltöne identsch ist, aber aktuell nicht existiert.
Hier haben wir also das Verhältnis einer absolut gegebenen aber aktuell nicht verwirklichten Gegebenheit, einer nur potentiell gegebenen Gesamtheit der Teiltöne, zu einer ganz konkret, aber dann immer nur relativ verwirklichten Ganzheit von Tonwerten, der Ganzheit einer aktuell verwirklichten Tonzahlen-Ordnung, zu tun!
Wobei zu beachten ist, daß hier sowohl Unendlich als auch das Verhältnis 0/0 absolut als Grenzwerte auffaßbare, aber aktuell nicht wirklich als Grenzwerte stehende Gegebenheiten symbolisieren!
Diese Grenzwerte liegen nun einmal außerhalb der betrachteten Ordnung, eigentlich außerhalb jeglicher auch wirklich beobachtbarer Ordnung!
