@nocheinPoetIn Kurzform: der Beweis des 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatzes setzt voraus, dass in gegebener formalen Theorie die natürlichen Zahlen ausgedrückt werden können.
Eine formale Theorie besteht aus einer Axiomen und Inferenzregeln (Das Kalkül der Theorie, dass es erlaubt, aus bestehenden Aussagen durch Manipulation von Zeichenketten neue Aussagen zu bilden).
z.B.:
Die übliche Schreibform in Hilbert Kalkülen:
G
_______
F v G
wird gelesen als: "Wenn G dann F oder G"
Die Wahrheit spielt hier erst einmal keine Rolle, Beweisbarkeit und Wahrheit von Aussagen sind 2 völlig verschiedene Dinge in formalen Theorien.
Ich habe das hier auf allmy schon einmal verfasst:
Sei das Hilbert Kalkul mit dem
Axiom (A1) not F v F
und den Regeln,
G
_______ (R1)
F v G
not F, not G
____________ (R2)
F v G
P v P
_____ (R3)
P
F v G, not F v H
________________ (R4)
G v H
gegeben. Wir wollen zeigen, dass {A, not A v B} |- B
a_1: A | Annahme
a_2: A v A | (R1) mit F = A, G = A
a_3: not A v B | Annahme
a_4:
A v A, not A v B | (R4) auf a_2, a_3 angewandt mit F = A, G = A, H = B
________________
A v B
a_5: A v B | Ergebnis aus vorheriger Regelanwendung
a_6:
A v B, not A v B | (R4) auf a_3, a_4 angewandt mit F = A, G = B, H = B
________________
B v B
a_7: B v B | Ergebnis aus vorheriger Regelanwendung
a_8:
B v B | (R3) auf a_7 mit P = B
_____
B
a_9: B | Ergebnis aus vorheriger Regelanwendung, zu beweisende Behauptung q.e.d.
Einziges was ich hier getan habe, waren Zeichenketten zu manipulieren.
Ein mathematischen Beweisarchiv mit streng formalen Beweisen findest Du hier:
http://us.metamath.org/ Diese Art des Rechnens ist de facto so trivial, dass sogar ein Computer es ausführen kann. Faktisch sind Zeichenmanipulationen die einzigen Rechenoperationen die ein digitaler Computer ausführen kann. Ein Computer ist mathematisch ein Random Access Machine und damit Turing Vollständig.
(Obiges Verfahren beruht programmiertechnisch auf einem simplen Markow Algorithmus - ein String Rewriting System.
Wikipedia: Markow-Algorithmus)
Ist eine Theorie nicht mächtig genug um die natürlichen Zahlen auszudrücken, können auch keine Gödel Nummern in ebendieser Theorie encodiert werden. Die Sätze der Theorie können dann eben auch nicht arithmetisiert werden. Kurz: Können keine Gödel Nummern encodiert oder anderweitig ausgedrückt werden, kann auch der Gödel Satz nicht abgeleitet werden. Für den zweiten Satz muss man weiter ausholen, ist allerdings vergleichbar.
nocheinPoet schrieb: dass ein System nie vollständig aus sich selber heraus beschrieben werden kann
Physik nutzt nun eben ein solches formales System - die Mathematik basierend auf ZFC Mengenlehre, die sowohl dem ersten als auch dem zweiten Unvollständigkeitssatz unterworfen ist. Vielleicht später mehr.
@Z. 
Z. schrieb:@ArchLinux
Vielen Dank für die professionellen Ausführungen.
Mit Freude gelesen.
HG Z.
Danke,
Grüße
