Haben wir die Mathematik (etc.) "erfunden" oder "entdeckt"?

@Groucho

Ja, ich hatte bereits erwartet, dass das, was ich hier mit "Zerstören" meine, Fragen aufwirft.

Groucho schrieb:Ja, warum denn nicht?

Was Du tun kannst, ist eher, dass Du - enthymematisch oder nicht - ein neues System entwirfst, während Du das "Alte" zu zerstören versuchst. Die Regeln selbst jedoch bleiben dort nach wie vor bestehen. Dies ist allein durch die Stipulation der jeweiligen, vorherrschenden Gesetze begründet.

@sarevok

sarevok schrieb:also war mathe lange vor den menschen da

ergo haben wir sie nur für uns entdeckt.

Nun ja, wie ich ausführte, kann dies auch daran liegen, dass zwischen den mathematischen Strukturen, die wir beobachten, und dem, was in der Tiefe des Universums als Grundmuster aufwarten könnte, eine Art Isomorphie besteht.
Dann wäre Mathematik lediglich die Sprache, die wir verwenden, um jene Grundmuster zu erfassen. Es wäre nicht Mathematik selbst.

@Lufu

Freut mich, dass ich Dir ... zumindest etwas helfen konnte? :D Wir können ja deine "neuen Fragen" auch gerne diskutieren, sofern Du Lust hast.

Noch ein Wort zu folgenden Aspekten (dann ist der Dreifachpost perfekt):

Die Begriffe Logik und Mathematik sind nicht gleichzusetzen

und

dir scheint das grundwissen zu fehlen ;)

Die (Aussagen-)Logik ist für sämtliche Teilbereiche der Mathematik von grundlegender Bedeutung.

Stephenson hat schon nicht Unrecht, jedenfalls, wenn man von bestimmten Definitionen ausgeht. Die "Logik" - oder besser gesagt die Prädikatenlogik - kann als Metasprache über Mathematik angesehen werden. Darüber hinaus sichert Gödels Vollständigkeitssatz (es vergessen viele, dass er den ebenfalls gezeigt hatte), dass unser informales Beweisen auf eine mechanische Art (Stichwort: Rekursives aufzählen) dargestellt werden kann. Es wurde auch bereits argumentiert, dass er damit genau das erreicht hat, was die Logizisten des 19. Jahrhunderts sich wünschten, nämlich die Mathematik aus einer rein logischen Form herzuleiten. Nun ja, zumindest das Abbilden der Mathematik in "Logik" ist damit geglückt.

Mr.Dextar schrieb:Dann wäre Mathematik lediglich die Sprache, die wir verwenden, um jene Grundmuster zu erfassen. Es wäre nicht Mathematik selbst.

dankeschön :) das muss ich mir merken

sarevok schrieb:dankeschön :) das muss ich mir merken

Darüber freust du dich.

Was ist so anders in dieser Aussage, die du nicht annimmst?

Nemon schrieb:Die Mathematik ist ein System, das der Mensch entwickelt hat, eine abstrakte Sprache, die Vieles zu beschreiben in der Lage ist, aber nicht an sich den Dingen innewohnt.

@Mr.Dextar

Gerne :)

Ich lese mal stillschweigend mit.. Weiß selbst noch nicht genau, wie ich meine Fragen auszuformulieren habe. Bin nicht so bewandert auf diesem Themengebiet.

@Mr.Dextar

Mr.Dextar schrieb:Dann wäre Mathematik lediglich die Sprache, die wir verwenden, um jene Grundmuster zu erfassen.

Zu dem Schluss bin ich aber mittlerweile gekommen.

Es wäre nicht Mathematik selbst.

Ist mal wieder eine Frage der Definition.

Wenn ich diese Sprache/die Methode/das geistige Werkzeug, die das vorhandene Grundmuster aufdecken kann, Mathematik nenne, dann ist/heißt auch diese Sprache/die Methode/das geistige Werkzeug, eben Mathematik.
Dann benötige ich nur einen neuen Namen für das Grundmuster, zB könnte man es Grundmuster nennen.

Wenn Du aber das Grundmuster Mathematik nennst, dann benötigst Du einen neuen Namen für diese Sprache/die Methode/das geistige Werkzeug.

Für mich sieht es so aus, als wäre der Begriff/Mathematik jene/s Sprache/Methode/das geistige Werkzeug.
Somit hätten wir die Mathematik erfunden und als geignetes Mittel zur Deduktion von Grundmustern entdeckt.

Dafür spricht für mich auch, dass es ja auch andere Rechenmethoden und Zahlensysteme gab, die es eben nicht bis zu einer Mathematik schafften. Das sind eben ungeiegnete Methoden/Systeme, um Grundmuster zu erkennen.

@off-peak

Ja, das Problem ist auch eines auf sprachlicher Ebene (ohne jetzt den alten Wittgenstein wieder auszugraben). :)

Was wir mit der Mathematik beschreiben, sind sehr abstrakte Entitäten, welche sich aber prima dafür eignen, physikalische Phänomene und Gesetze zu modellieren.
Je tiefer wir jedoch in die Physik schauen (sprich: Theoretische Physik), desto abstrakter wird es; es entzieht sich völlig unserer Anschauung. Die Stringtheorie ist dafür ein sehr gutes Beispiel: Es ist eine fast schon metaphysische 'Theorie', die auf einem gewaltigen, mathematischen Gerüst steht und der Empirie bisher nur sehr schwer zugänglich ist. Und in der Tat ist es so, dass die Strings durch rein geometrische Operationen verschiedene Gesetze und Konstante generieren sollen. Wir haben hier praktisch eine völlig mathematische Theorie, welche platonischen Charakter zu haben scheint; was für mich ebenso der Grund ist, wieso ich von ihr schwärme. ;-)

Also ja, ab einem gewissen Level wird es für uns Menschen sehr schwierig, eine echte Distinktion oder Abgrenzung zwischen abstrakten und physikalischen Objekten zu finden.

Mr.Dextar schrieb:Ja, das Problem ist auch eines auf sprachlicher Ebene (ohne jetzt den alten Wittgenstein wieder auszugraben).

Leider ja. Es gelingt mir auch nicht immer, Fachfremdes so auszuformieren, dass auch mir klar wäre, was ich meine. ;)

Ich würde jetzt sagen, wir haben in der Mathematik eine Methode entdeckt.

Es ist ja auch die Frage in Sachen anderer Methoden, ob man sie erfindet oder entdeckt. Wenn ich eine Methode als Möglicheit, etwas bestimmtes damit machen zu können, interpretiere, dann entdecke ich sie ja eigentlich.

off-peak schrieb:Es gelingt mir auch nicht immer, Fachfremdes so auszuformieren, dass auch mir klar wäre, was ich meine. ;)

Das ist schön gesagt.
Deswegen ist ja das Formulieren, der Weg zum Ziel, so wichtig ... ob man die Leiter dann anschließend noch braucht, kann man erst dann wissen. Man denkt vielleicht vorher, man wisse schon, was man ausformulieren will ...aber wer weiß ... man kann abgetrieben werden - und hat man überhaupt die richtige Frage gestellt? Ist man in der Kage dazu? Jetzt so von wegen Wittgenstein.

Wie schon allein diese wenigen Beiträge auf den letzten Seiten wieder mal zeigen, kann man am Ende dasselbe meinen, ohne denselben Weg/dieselben Formulierungen oder Begriffe zu verwenden, wenn die Annäherung aus verschiedenen Richtungen erfolgt. Das ist ein Reiz des Interdisziplinären. Negativ betrachtet, sind die Begriffe oft bis zum Ende nicht geklärt. Oder aber ein Mr. Dextar sieht als Spezialist noch ganz andere Ebenen, als man vermutet hätte.

Ist Mathematik analytisch oder synthetisch ?
Davon hängt diese Frage meines Erachtens ab.

Ist sie analytisch, dann sind wir dabei sie zu entdecken, was nicht heißt das ihr System auch Grundlage der Außenwelt sein muss.
Ist sie synthetisch, dann sind wir dabe sie zu konstruieren.

Mr.Dextar schrieb am 13.08.2019:Ist Mathematik konstruiert oder hat sie eine ontologische Wirklichkeit? Dies gehört zweifellos zu den faszinierendsten philosophischen Fragen, die man sich meiner Auffasung nach stellen kann.

Schön, wenn sich dieser Thread hier weiterhin einer gewissen Beliebtheit erfreut und hin und wieder auch gehaltvolle Beiträge zu lesen sind... :)

Mr.Dextar schrieb am 13.08.2019:Das Interessante aber, das wir konstatieren können, ist, dass mathematische Resultate uns logische Grenzen setzen, die für *alle* Universen gelten, also nicht nur für unseres, in welchem bloß eine spezifische Menge von Naturgesetzen instantiiert werden.

Guter Punkt!

Mr.Dextar schrieb am 13.08.2019:Dann wäre Mathematik lediglich die Sprache, die wir verwenden, um jene Grundmuster zu erfassen. Es wäre nicht Mathematik selbst.

Das habe ich hier schon ad nauseam klarzustellen versucht, dass Mathematik gerade nicht nur im Sinne einer Sprache zu verstehen ist. Ja, es gibt natürlich eine Sprache der Mathematik, die sog. Mathematische Notation, welcher sich die Mathematik bedient, um logisch-mathematische Zusammenhänge sprachlich darzustellen und zum Ausdruck zu bringen. Und um genau jene Zusammenhänge geht es (nicht um die Mathematische Notation).

Es ist, zugegeben, manchmal schwierig, beides auseinanderzuhalten. Denn sobald wir über jene logisch-mathematischen Zusammenhänge nachzudenken, zu reden oder sie darzustellen versuchen, greifen wir automatisch wieder zum Mittel der Sprache, also zur mathematischen Symbolik & Notation.
Ich hatte es wohl mal versucht, am Beispiel der Chemie verständlich zu machen, die ja - wie so ziemlich alle Fachgebiete - ebenfalls mit einer eigenen (erfundenen) fachspezifischen Sprache & Symbolik daherkommt. Nehmen wir etwa die für die Chemie typischen Strukturformeln wie etwa die sog. Valenzstrichformel. Derartige Formeln mögen in einem gewissen Sinne erfunden sein und letztendlich gibt es ja auch verschiedene Formelschreibweisen unterschiedlicher Abstraktionsgrade (siehe Link). Nichtsdestotrotz werden hier über die Bedeutung oder Semantik wiederum faktische Gegebenheiten zum Ausdruck gebracht, und nicht etwa frei erfundene Sachverhalte (obgleich man natürlich auch frei erfundene Strukturformeln niederschreiben könnte).
Ein weiteres Beispiel sind die sog. Reaktionsgleichungen wie etwa:



Hier erkennen wir auch aus der Mathematik entlehnte Symbole wieder ("2", "4", "+"), aber nicht nur ("C", "H", "O" und der Reaktionspfeil). Und obwohl zwar Symbolik & Sprache der Chemie erfunden sein mögen, wäre es doch absurd, zu unterstellen, dass das, was die Chemie mit Hilfe von Sprache zum Ausdruck zu bringen versucht, ebenfalls frei erfunden sei.

Mr.Dextar schrieb am 13.08.2019:Nun ja, wie ich ausführte, kann dies auch daran liegen, dass zwischen den mathematischen Strukturen, die wir beobachten, und dem, was in der Tiefe des Universums als Grundmuster aufwarten könnte, eine Art Isomorphie besteht.

Etwas unglücklich formuliert ("...mathematische Strukturen, die wir beobachten..."), aber ich denke, dass du es in etwa so meinst, wie ich es verstehe: Es gibt real-faktische Gegebenheiten einerseits, und unsere Konzepte, Symbolik, Sprache usw. andererseits (siehe bspw. Semiotisches Dreieck...!).
Ich weiß gerade nicht, ob ich das Beispiel vor ein paar Wochen/Monaten noch brachte, aber es gibt bspw. dieses schöne Königsberger Brückenproblem, demnach es keine Möglichkeit eines Rundgangs durch Königsberg mit gleichem Start- und Endpunkt gibt, bei dem jede Brücke genau ein einziges Mal überquert wird. Das ist Fakt. Das ist knallharte Realität. :D Man kann es insbesondere auch mit Hilfe der Mathematik beweisen. Und da kann dann auch nicht irgendein Heini daherkommen und einfach eine neue Mathematik oder Logik erfinden, welche jenes Faktum obsolet macht.

Natürlich kann man zwar bspw. leicht eine Gruppe konstruieren, wo 1+1=0 gilt (oder gar alternative Mengenlogiken usf.), aber das ist bei der u.a. hier diskutierten philosophischen Frage nach dem Realismus der Mathematik eben nicht gemeint und führt nur allzu häufig zu Missverständnissen in solchen Diskussionen.

off-peak schrieb am 13.08.2019:Ist mal wieder eine Frage der Definition.

Wenn ich diese Sprache/die Methode/das geistige Werkzeug, die das vorhandene Grundmuster aufdecken kann, Mathematik nenne, dann ist/heißt auch diese Sprache/die Methode/das geistige Werkzeug, eben Mathematik.
Dann benötige ich nur einen neuen Namen für das Grundmuster, zB könnte man es Grundmuster nennen.

Wenn Du aber das Grundmuster Mathematik nennst, dann benötigst Du einen neuen Namen für diese Sprache/die Methode/das geistige Werkzeug.

Für mich sieht es so aus, als wäre der Begriff/Mathematik jene/s Sprache/Methode/das geistige Werkzeug.
Somit hätten wir die Mathematik erfunden und als geignetes Mittel zur Deduktion von Grundmustern entdeckt.

Dafür spricht für mich auch, dass es ja auch andere Rechenmethoden und Zahlensysteme gab, die es eben nicht bis zu einer Mathematik schafften. Das sind eben ungeiegnete Methoden/Systeme, um Grundmuster zu erkennen.

Mich persönlich stört einfach die Deutung und Aussage, Mathematik sei 'erfunden'. Erfunden - das sind für mich Märchen, Fabeln, Mythen, Legenden, Esoterik oder bspw. die Astrologie. Und die Mathematik gehört - als Lehre oder gar Wissenschaft, wenn man so will - definitiv nicht in die gleiche Schublade...!

off-peak schrieb am 13.08.2019:Somit hätten wir die Mathematik erfunden und als geignetes Mittel zur Deduktion von Grundmustern entdeckt.

Ich würde bspw. auch nicht sagen, dass etwa die Physik lediglich erfunden sei (als lediglich geeignetes Mittel zur Beschreibung der Realität). In einem gewissen Sinne mag das zwar so sein (physikalische Konzepte, Modelle, Theorien usw. entstehen natürlich auch nur in denkenden Köpfen, sind also "auch nur" erdacht...!), dennoch fände ich den Terminus "erfunden" einfach unpassend, wenn es ganz allgemein um Physik geht. Und so sehe ich es auch im Falle der Mathematik.

off-peak schrieb am 13.08.2019:Dafür spricht für mich auch, dass es ja auch andere Rechenmethoden und Zahlensysteme gab, die es eben nicht bis zu einer Mathematik schafften. Das sind eben ungeiegnete Methoden/Systeme, um Grundmuster zu erkennen.

Ja, gut, es gab aber in der Historie bspw. auch genug andere physikalische Konzepte, Modelle, Theorien usw., die sich als ungeeignet zur Beschreibung der Realität herausgestellt haben, um bei obiger Analogie zu bleiben. Nichtsdestotrotz - again... - fände ich den Terminus "erfunden" einfach unpassend, wenn es ganz allgemein um Physik geht.

Physik beschränkt sich - ähnlich wie die Mathematik - eben nicht nur auf eine handvoll Konzepte, Methoden oder Theorien, sondern basiert letztendlich auf einem ganzen Theoriengebäude, welches eigentlich nie ganz fertig ist und wo ständig weiter daran rumgezimmert wird. Analog lässt sich auch die Mathematik nicht einfach auf einzelne "Rechenmethoden und Zahlensysteme" herunterbrechen, siehe:
Wikipedia: Mathematik#Inhalte und Teilgebiete

Noumenon schrieb:Mich persönlich stört einfach die Deutung und Aussage, Mathematik sei 'erfunden'. Erfunden - das sind für mich Märchen, Fabeln, Mythen, Legenden, Esoterik oder bspw. die Astrologie. Und die Mathematik gehört - als Lehre oder gar Wissenschaft, wenn man so will - definitiv nicht in die gleiche Schublade...!

Natürlich würde niemand die Mathematik mit den oben genannten Sachen in eine Schublade tun wollen. Allein schon aus dem Grund, dass die Obigen, keinen Bezug zur Realität haben, die Mathematik schon.

Ich habe noch kein Argument lesen können, dass mich davon überzeugt hat, dass die Mathematik nicht erfunden ist.

Noumenon schrieb:Ich würde bspw. auch nicht sagen, dass etwa die Physik lediglich erfunden sei

Die Gegenstände der Physik sind ja auch Teil der Natur/Realität.
Die Gravitation ist da, die Physik erklärt sie.
Das kann ich bei der Mathematik nirgends erkennen.

@Groucho
Wenn ich das richtig sehe, dann räumst du einerseits zwar ein, dass die Mathematik einen Bezug zur Realität hat, andererseits scheinst du dem aber gleichzeitig zu widersprechen, wenn du bspw. sagst, dass - im Gegensatz zur Physik - die Gegenstände der Mathematik nicht Teil der Natur/Realität seien. Wie passt das zusammen? Wie kann sich etwas auf real-faktische Gegebenheiten beziehen (= sie zum Gegenstand haben), gleichzeitig dann aber doch nicht?

Noumenon schrieb:Wenn ich das richtig sehe, dann räumst du einerseits zwar ein, dass die Mathematik einen Bezug zur Realität hat, andererseits scheinst du dem aber gleichzeitig zu widersprechen, wenn du bspw. sagst, dass - im Gegensatz zur Physik - die Gegenstände der Mathematik nicht Teil der Natur/Realität seien. Wie passt das zusammen?

Bestens.
Ich sehe da keinen Widerspruch.

Noumenon schrieb:Wie kann sich etwas auf real-faktische Gegebenheiten beziehen (= sie zum Gegenstand haben), gleichzeitig dann aber doch nicht?

Das habe ich nun wirklich nirgends gesagt.

Nochmal:

Die Gegenstände der Physik sind ja auch Teil der Natur/Realität.
Die Gravitation ist da, die Physik erklärt sie.
Das kann ich bei der Mathematik nirgends erkennen.

Ohne Mathematikern zu nahe treten zu wollen, mit der folgenden Formulierung, aber ich sehe die Mathematik als Werkzeug.

Ich will das auch niemandem als letzte Wahrheit verkaufen, aber ich habe noch kein Argument gelesen, was mich vom Gegenteil überzeugt hätte.

Hallo @Noumenon :)

Noumenon schrieb:Das habe ich hier schon ad nauseam klarzustellen versucht, dass Mathematik gerade nicht nur im Sinne einer Sprache zu verstehen ist. Ja, es gibt natürlich eine Sprache der Mathematik, die sog. Mathematische Notation, welcher sich die Mathematik bedient, um logisch-mathematische Zusammenhänge sprachlich darzustellen und zum Ausdruck zu bringen. Und um genau jene Zusammenhänge geht es (nicht um die Mathematische Notation).

Ich schrieb zuvor, dass die beschriebenen (also mithilfe der von Dir erwähnten Notation, die ich implizit annahm) Entitäten, Objekte, Sachverhalten durchaus eine reale Instantiierung erhalten, und zwar mindestens in einem Träger - in unserem Falle also in bewussten und kognitiv dazu in der Lage seienden Menschen. Die für mich offene Frage ist hierbei lediglich, ob sich diese Realität Stufen tiefer, also in unserer rein 'physikalischen' Wirklichkeit, manifestiert. Dadurch aber - und das erwähnte ich ebenso zuvor - dass sich die theoretische Physik (und meinewtegen auch Metaphysik, wenn wir in einem philosophischen Rahmen bleiben möchten) unserer Anschauung entzieht und sehr abstrakt ist, wird eine echte Distinktion zwischen den rein abstrakt-mathematischen Zusammenhängen und der Physik (bzw. dem "bedrock" unseres Seins) schwierig.

Noumenon schrieb:Und obwohl zwar Symbolik & Sprache der Chemie erfunden sein mögen, wäre es doch absurd, zu unterstellen, dass das, was die Chemie mit Hilfe von Sprache zum Ausdruck zu bringen versucht, ebenfalls frei erfunden sei.

Ein gutes Beispiel. Der Grund dafür aber ist, dass wir klare Konstrukte (chemische Entitäten) mit klarer Semantik in einer physikalischen Wirklichkeit vorfinden und uns im Kopf Modelle erdenken, die diese Konstrukte in einen Zusammenhang stellen. Wir haben also intern eine recht klare Vorstellung zu etwas, was wir in einer res extensa referenzieren können. Bei rein mathematischen Zusammenhängen ist dies nicht eindeutig, da beide Ebenen intern im Geiste vorzufinden sind. Die Konstrukte (mathematische Entitäten) sind also im Bewusstsein genauso vorhanden wie ihre Referenten, während die Referenten im Beispiel der Chemie außerhalb vorzufinden sind. Ich hoffe, Du versteht, was ich damit sagen will.

Noumenon schrieb:Etwas unglücklich formuliert ("...mathematische Strukturen, die wir beobachten..."), aber ich denke, dass du es in etwa so meinst, wie ich es verstehe: Es gibt real-faktische Gegebenheiten einerseits, und unsere Konzepte, Symbolik, Sprache usw. andererseits (siehe bspw. Semiotisches Dreieck...!).

War natürlich nicht präzise von mir formuliert, aber ich dachte, es sei klar, was ich damit ausdrücken wollte: Nämlich, dass wir klare Gemeinsamkeiten (informationserhaltende, also isomorphe Strukturen) zwischen physikalischen Strukturen außerhalb und den mathematischen Konstrukten innerhalb erkennen können.

Noumenon schrieb:Natürlich kann man zwar bspw. leicht eine Gruppe konstruieren, wo 1+1=0 gilt (oder gar alternative Mengenlogiken usf.), aber das ist bei der u.a. hier diskutierten philosophischen Frage nach dem Realismus der Mathematik eben nicht gemeint und führt nur allzu häufig zu Missverständnissen in solchen Diskussionen.

Korrekt. Und nichtstdestotrotz finden wir eine innere Konsistenz innerhalb von scheinbar paradoxen Systemen, Gruppen etc. vor. Bspw. kommen auch parakonsistente Logiken nicht ohne definierte Axiome & Schlussregeln aus, in dessen Rahmen man sich bewegen muss, will man ihre Gesetze nicht verletzen.

Noumenon schrieb:Mich persönlich stört einfach die Deutung und Aussage, Mathematik sei 'erfunden'. Erfunden - das sind für mich Märchen, Fabeln, Mythen, Legenden, Esoterik oder bspw. die Astrologie. Und die Mathematik gehört - als Lehre oder gar Wissenschaft, wenn man so will - definitiv nicht in die gleiche Schublade...!

Das sehe ich allerdings auch so! Doch ich kann diese Aussage verzeihen, insbesondere dann, wenn sie von mathematischen Laien (dies ist selbstverständlich keineswegs abwertend gemeint!) geäußert wird.

Mr.Dextar schrieb:Doch ich kann diese Aussage verzeihen, insbesondere dann, wenn sie von mathematischen Laien (dies ist selbstverständlich keineswegs abwertend gemeint!) geäußert wird.

Egal wie du es meinst, es ist gönnerhaft und gleichzeitig abwertend. ;-)

Um mich nicht im Gewirr von 'erfunden' und 'entdeckt' zu verirren, formuliere ich es mal anders:

Die Gegenstände der Physik (bspw. Gravitation) gibt es in der Realität.
Die Gegenstände der Chemie (bspw. Reaktionen wie Oxidation) gibt es in der Realität.
Die Gegenstände der Mathematik (bspw. Dreiecke) gibt es so nicht in der Realität.

Und vielleicht hört sich dieser Absatz weniger abwertend an, wenn man einige Vokabeln austauscht:

Noumenon schrieb:Mich persönlich stört einfach die Deutung und Aussage, Mathematik sei 'erfunden'. Erfunden - das sind für mich Märchen, Fabeln, Mythen, Legenden, Esoterik oder bspw. die Astrologie. Und die Mathematik gehört - als Lehre oder gar Wissenschaft, wenn man so will - definitiv nicht in die gleiche Schublade...!

Erfunden, das sind für mich der Otto-Motor, das Satelliten-Telefon, der Computer oder bspw. das Internet.