Haben wir die Mathematik (etc.) "erfunden" oder "entdeckt"?

Groucho schrieb:Das habe ich nun wirklich nirgends gesagt.

Vielleicht nicht wortwörtlich, aber sinngemäß hatte ich dich so in etwa verstanden. Du meintest ja:

Groucho schrieb:Natürlich würde niemand die Mathematik mit den oben genannten Sachen in eine Schublade tun wollen. Allein schon aus dem Grund, dass die Obigen, keinen Bezug zur Realität haben, die Mathematik schon.

Und wenn etwas "Bezug zur Realität" hat, verstehe ich darunter, dass etwas - bspw. sämtliche Wissenschaften - die Realität (oder Teile davon) zum Gegenstand hat. Falls du mit "Bezug zur Realität" etwas anderes meintest, wäre es wohl noch einmal zu erläutern.

Groucho schrieb:Ohne Mathematikern zu nahe treten zu wollen, mit der folgenden Formulierung, aber ich sehe die Mathematik als Werkzeug.

Naja, "Werkzeug" ist eine ziemlich grobe Metapher, die man auf ziemlich viele Dinge anwenden kann (u.a. auch wieder auf die Physik). Das erinnert ein wenig an esoterische Diskussionen, wo bspw. von der "Seele" als eine Art "Gefäß" die Rede ist. In solche Metaphern kann man dann immer viel reininterpretieren, letztendlich kann man damit aber wenig anfangen und es ist dann auch wenig überzeugend.

Groucho schrieb:Erfunden, das sind für mich der Otto-Motor, das Satelliten-Telefon, der Computer oder bspw. das Internet.

Ja, diese Dinge gingen mir ebenfalls durch den Kopf, aber ich wollte es halbwegs vergleichbar halten und mich daher auf die Schublade "Lehre" beschränken. ;)

Groucho schrieb:Egal wie du es meinst, es ist gönnerhaft und gleichzeitig abwertend. ;-)

Warum? Nur, weil man Laie in Mathematik ist, ist man nicht automatisch 'blöd'. Intelligenz kommt in vielen verschiedenen Formen und letztendlich sind wir alle Laien in sehr vielen (oder gar fast allen) Gebieten, wenn man sich die abgeschlossene Menge an Disziplinen und Handwerken anschaut. ;)

Groucho schrieb:Die Gegenstände der Physik (bspw. Gravitation) gibt es in der Realität.
Die Gegenstände der Chemie (bspw. Reaktionen wie Oxidation) gibt es in der Realität.
Die Gegenstände der Mathematik (bspw. Dreiecke) gibt es so nicht in der Realität.

Wie eng fasst Du hier den Begriff der 'Realität'? Es steckt bereits eine implizite, philosophische Annahme hinter der Argumentation, namentlich der Realismus, wie wir ihn momentan verstehen. Allerdings schließt dieser meines Erachtens nach NICHT explizit die Existenz abstrakter Entitäten aus, wie bereits das Beispiel von mir aus der Theoretischen Physik nahelegt. Wie willst Du auf solch tiefen Ebenen eine strikte Unterscheidung treffen? Insbesondere, wenn man wie ich argumentiert und sagt, dass diese Zusammenhänge bereits in fähigen, physikalischen Systemen (Menschen, tw. Computer) manifestiert sind. Darüber hinaus setzen diese Zusammenhänge 'natürliche', logische Grenzen. Am Anfang hatte ich bspw. angeführt, warum wir in *keinem* Universum in der Lage sein würden, einen Supercomputer zu bauen, welcher das Halteproblem löst. Und nein, auch die vielgepriesenen Quantencomputer könnten dies nicht; sie umgehen lediglich Schranken, die die Zeit betreffen (sehr schnelles Rechnen), aber kommen nicht um ihre logischen Grenzen herum.

Ideale Kreise, Dreiecke etc. magst Du vielleicht nicht in unserer Natur vorfinden, aber es ist definitiv in anderen, hypothetischen Universen möglich. Unseres könnte bspw. eines sein, welches bloß anderen Rahmenbedingungen (Konstanten, Gesetzen, etc ...) genügt.

Groucho schrieb:Um mich nicht im Gewirr von 'erfunden' und 'entdeckt' zu verirren, formuliere ich es mal anders:

Die Gegenstände der Physik (bspw. Gravitation) gibt es in der Realität.
Die Gegenstände der Chemie (bspw. Reaktionen wie Oxidation) gibt es in der Realität.
Die Gegenstände der Mathematik (bspw. Dreiecke) gibt es so nicht in der Realität.

Diese Klarstellung hätte ich fast übersehen, kann dem allerdings nach wie vor nicht so recht folgen bzw. zustimmen. Ich sehe hier bspw. klar ein Dreieck:

Nach einem Bild von der Gravitation suche ich aktuell noch... ;)

"Gravitation" ist ja ferner bspw. auch kein Ding oder Objekt, welches man in der Natur in ähnlicher Weise vorfinden und mit Sinnen wahrnehmen kann wie bspw. Steine oder Bäume. Wenn man nun entgegnet, dass Dinge doch aber zumindest und offensichtlich die seltsame Angewohnheit haben, nach unten zu fallen, dann geht das zwar in Ordnung, kann man als "Gravitation" bezeichnen, von deren Realität sich dann jeder überzeugen kann, allerdings sehe ich hier immer noch keinen nennenswerten Unterschied zu Konzepten wie "Abstand", "Anzahl" oder "Menge", von deren Vorhandensein in der Realität man sich ebenfalls jederzeit überzeugen kann und welche wiederum Gegenstand der Mathematik sind.

Mr.Dextar schrieb:Ideale Kreise, Dreiecke etc. magst Du vielleicht nicht in unserer Natur vorfinden, aber es ist definitiv in anderen, hypothetischen Universen möglich.

Da wir nicht wissen, wie genau die Mathematik in einem definitiv hypothetischen Universum aussieht, mag auch auch nicht weiter darüber spekulieren, ob es da Dreiecke in freier Wildbahn gibt.

Auf unserer Erde gibt es sie jedenfalls nicht.

Noumenon schrieb:Ich sehe hier bspw. klar ein Dreieck:

Tja, die einen sehen ein Dreieck, die anderen einen schlechten Witz.

Mr.Dextar schrieb:Es steckt bereits eine implizite, philosophische Annahme hinter der Argumentation, namentlich der Realismus, wie wir ihn momentan verstehen. Allerdings schließt dieser meines Erachtens nach NICHT explizit die Existenz abstrakter Entitäten aus,[...]

Ob die nun theoretisch nicht explizit ausgeschlossen sind, oder nicht, ändert ja nichts daran, dass es in der Natur keine Dreiecke, Quadrate oder Kreise gibt.

Noumenon schrieb:"Gravitation" ist ja ferner bspw. auch kein Ding oder Objekt, welches man in der Natur in ähnlicher Weise vorfinden und mit Sinnen wahrnehmen kann wie bspw. Steine oder Bäume.

Du kannst es nicht mit denselben Sinnen wahr nehmen, aber wenn du fällst (Folge der Gravitation) nehmen deine Sinne durchaus dein Fallen wahr.
Aber da ich ja nicht damit argumentiert habe, dass man es mit seinen Sinnen wahr nehmen können muss, ist das egal.

Noumenon schrieb:sehe ich hier immer noch keinen nennenswerten Unterschied zu Konzepten wie "Abstand", "Anzahl" oder "Menge", von deren

Ich schon. Aber um das in verständliche differenzierende Worte zu fassen, brauche ich ein wenig Zeit. (Wenn ich es nicht vergesse, dazu später mehr).

Ich würde die Diskussion gern einfach halten und deshalb, wäre es schön, wenn ihr versuchen würdet, anhand meines Dreiecks zu erklären, warum Mathematik entdeckt und nicht erfunden wurde.

Mr.Dextar schrieb:Ich schrieb zuvor, dass die beschriebenen (also mithilfe der von Dir erwähnten Notation, die ich implizit annahm) Entitäten, Objekte, Sachverhalten durchaus eine reale Instantiierung erhalten, und zwar mindestens in einem Träger - in unserem Falle also in bewussten und kognitiv dazu in der Lage seienden Menschen.

Also quasi als "Gedankending"...? Ich nehme mal an, dass das nicht gemeint ist, denn anderenfalls wären selbst der Osterhase, Feen & Kobolde real. ;)

Mr.Dextar schrieb:Die für mich offene Frage ist hierbei lediglich, ob sich diese Realität Stufen tiefer, also in unserer rein 'physikalischen' Wirklichkeit, manifestiert. Dadurch aber - und das erwähnte ich ebenso zuvor - dass sich die theoretische Physik (und meinewtegen auch Metaphysik, wenn wir in einem philosophischen Rahmen bleiben möchten) unserer Anschauung entzieht und sehr abstrakt ist, wird eine echte Distinktion zwischen den rein abstrakt-mathematischen Zusammenhängen und der Physik (bzw. dem "bedrock" unseres Seins) schwierig.

Ja, das stimmt. Bspw. Max Tegmark gibt diese Distinktion im Zuge seiner MUH völlig auf. Das ist vielleicht etwas zu radikal, aber zeigt zumindest ganz gut die Problematik.

Mr.Dextar schrieb:Ein gutes Beispiel. Der Grund dafür aber ist, dass wir klare Konstrukte (chemische Entitäten) mit klarer Semantik in einer physikalischen Wirklichkeit vorfinden und uns im Kopf Modelle erdenken, die diese Konstrukte in einen Zusammenhang stellen. Wir haben also intern eine recht klare Vorstellung zu etwas, was wir in einer res extensa referenzieren können. Bei rein mathematischen Zusammenhängen ist dies nicht eindeutig, da beide Ebenen intern im Geiste vorzufinden sind. Die Konstrukte (mathematische Entitäten) sind also im Bewusstsein genauso vorhanden wie ihre Referenten, während die Referenten im Beispiel der Chemie außerhalb vorzufinden sind. Ich hoffe, Du versteht, was ich damit sagen will.

Ja, da sind wir wieder beim "Semiotischen Dreieck"...

Mr.Dextar schrieb:

Noumenon schrieb:Etwas unglücklich formuliert ("...mathematische Strukturen, die wir beobachten..."), aber ich denke, dass du es in etwa so meinst, wie ich es verstehe: Es gibt real-faktische Gegebenheiten einerseits, und unsere Konzepte, Symbolik, Sprache usw. andererseits (siehe bspw. Semiotisches Dreieck...!).

War natürlich nicht präzise von mir formuliert, aber ich dachte, es sei klar, was ich damit ausdrücken wollte: Nämlich, dass wir klare Gemeinsamkeiten (informationserhaltende, also isomorphe Strukturen) zwischen physikalischen Strukturen außerhalb und den mathematischen Konstrukten innerhalb erkennen können.

Um letzte Missverständnisse aus dem Weg zu räumen, wäre wohl ein Beispiel angebracht. Aber sicherlich hattest du bspw. so etwas wie die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond im Sinn, die einerseits einen realen physikalischen Sachverhalt darstellt, sich andererseits aber auch in isomorpher Weise mit Hilfe der Mathematik durch das Gravitationsgesetz beschreiben lässt.

Groucho schrieb:Aber da ich ja nicht damit argumentiert habe, dass man es mit seinen Sinnen wahr nehmen können muss, ist das egal.

Naja, die Sinneswahrnehmung ist zwar nicht unfehlbar, aber zumindest unmittelbar, weshalb sie allgemein als doch recht zuverlässiges Kriterium zur Überprüfung der Existenz irgendwelcher 'Dinge' angesehen wird. Ich sehe bspw. den Mond und schlussfolgere, dass er existiert, was - mit Rücksicht auf Sinnestäuschungen, Halluzinationen, Illusionen und dergleichen - wenigstens zu 99% korrekt sein sollte. Deshalb verstehe ich deinen Einwand bei meinem Dreieck oben nicht so ganz...

Groucho schrieb:Ich schon. Aber um das in verständliche differenzierende Worte zu fassen, brauche ich ein wenig Zeit. (Wenn ich es nicht vergesse, dazu später mehr).

Klar, kein Problem. Ist auch völlig okay, über einen Gedanken mal 'ne Nacht zu schlafen oder 1-2 Tage zu grübeln. Außerdem hat man ja auch noch ein Privat- oder Berufsleben. Und lieber durchdachte Einwände, die etwas auf sich warten lassen, als umgekehrt.

Groucho schrieb:Ich würde die Diskussion gern einfach halten und deshalb, wäre es schön, wenn ihr versuchen würdet, anhand meines Dreiecks zu erklären, warum Mathematik entdeckt und nicht erfunden wurde.

"Einfach halten" ist manchmal nicht so einfach, aber gut... Also von den Aussagen...

a) Neues Dreieck entdeckt.
b) Neues Dreieck erfunden.

...finde ich beide komisch. Aber sicherlich ist es zulässig, die gleiche Frage auch in Bezug auf andere Gegenstände der Mathematik zu stellen. Und wenn ich mir bspw. folgende beiden Aussagen durch den Kopf gehen lasse...

a) Neue größte Mersenne-Primzahl entdeckt.
b) Neue größte Mersenne-Primzahl erfunden.

...tendiere ich eher zu (a). Aussage (b) klingt recht grotesk, um nicht zu sagen falsch.

Noumenon schrieb:a) Neues Dreieck entdeckt.
b) Neues Dreieck erfunden.

...finde ich beide komisch.

Naja, für eines von beiden müssen wir uns aber entscheiden.
Ich entscheide mich für b)

Noumenon schrieb:Aber sicherlich ist es zulässig, die gleiche Frage auch in Bezug auf andere Gegenstände der Mathematik zu stellen.

Natürlich

Noumenon schrieb:...tendiere ich eher zu (a). Aussage (b) klingt recht grotesk, um nicht zu sagen falsch.

Ja, in diesem Zusammenhang wäre b) - da stimme ich dir zu - falsch.
Aber ich denke, das ist die falsche Frage. Es sei denn, man stellt die Anschlussfrage, wo (bzw. in welchem Zusammenhang) wurde die entdeckt?
Ich würde das mal mit dem Schachspiel vergleichen (ja, Vergleiche hinken, aber ich hoffe, das Gehinke reicht, um zu verdeutlichen, was ich meine).
Das Schachspiel selbst, ist eine Erfindung, ich denke, da sind wir uns einig, während man vielleicht durch Zufall einen genialen Spielzug "entdecken" kann.
Die richtige Frage (im Sinne des EP) müsste sein, wo kommen Mersenne-Primzahlen her?
Sind die der Natur entrissen, oder ergeben sie sich aus anderen mathematischen Zusammenhängen?
Die höhere Mathematik kommt ja nicht aus dem Nichts, sie entwickelt sich aus der einfacheren Mathematik.

Oder lass es mich so formulieren: Für mich ist die Mathematik eine Erfindung, ein definiertes (erfundenes) Regelwerk, innerhalb dessen sich verblüffende Entdeckungen machen lassen, was aber nicht bedeutet, dass dadurch die Ausgangsbehauptung (Erfindung) negiert wird.

Die Definition von "erfinden" zwingt einem eine Vorstellung von einem Schöpfungsprozess auf, der rein -oder zumindest größtenteils- in der Fantasie stattfindet. Das ist bei Mathe aber nicht der Fall. Es werden konkrete (reale) Bezugspunkte her genommen, und man setzt sie in bestimmte Verhältnisse zueinander. Die ganze Sache entwickelt sich also aus der Untersuchung von Beziehungen, die die Dinge zueinander haben können.

Groucho schrieb:Da wir nicht wissen, wie genau die Mathematik in einem definitiv hypothetischen Universum aussieht, mag auch auch nicht weiter darüber spekulieren, ob es da Dreiecke in freier Wildbahn gibt.

Ja, aber wie ich bereits oft erklärt hatte: Die Realisierung ist insofern selber real, als dass sie lokale Manifestationen ergibt. Bspw. als Konstrukte in deinem Gehirn. ;)

Groucho schrieb:Ob die nun theoretisch nicht explizit ausgeschlossen sind, oder nicht, ändert ja nichts daran, dass es in der Natur keine Dreiecke, Quadrate oder Kreise gibt.

Deswegen fragte ich zuvor, wie eng Du den Begriff der Realität fasst.

Noumenon schrieb:Also quasi als "Gedankending"...? Ich nehme mal an, dass das nicht gemeint ist, denn anderenfalls wären selbst der Osterhase, Feen & Kobolde real.

Nein, deine Beispiele referenzieren zu Entitäten außerhalb deines Gehirns. Bleiben wir bei der reinen Mathematik, finden diese Realisierungen bloß im 'mind' statt. ;)

Noumenon schrieb:Aber sicherlich hattest du bspw. so etwas wie die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond im Sinn, die einerseits einen realen physikalischen Sachverhalt darstellt, sich andererseits aber auch in isomorpher Weise mit Hilfe der Mathematik durch das Gravitationsgesetz beschreiben lässt.

Ja, das wäre ein Beispiel.
Ein anderes, was ich konkret im Sinn hatte, waren fraktale Strukturen in der physikalischen Wirklichkeit: Dort existiert ebenso eine Isomorphie zwischen mathematischen, rekursiven Strukturen und eben jenen physikalischen Fraktalen (man könnte bspw. biologische Evolution als eine rekursive feedback-Schleife interpretieren). Dementsprechend könnte von man gewissen, gemeinsamen Grundstrukturen bei beiden Phänomenen sprechen.

Mr.Dextar schrieb:Die Realisierung ist insofern selber real, als dass sie lokale Manifestationen ergibt. Bspw. als Konstrukte in deinem Gehirn.

Das trifft auf Harry Potter auch zu, insofern sehe ich da kein Argument.

Mr.Dextar schrieb:Bleiben wir bei der reinen Mathematik, finden diese Realisierungen bloß im 'mind' statt. ;)

Ja, und?
Willst du jetzt auch argumentieren, dass Mathematik erfunden ist?

Mr.Dextar schrieb:Dementsprechend könnte von man gewissen, gemeinsamen Grundstrukturen bei beiden Phänomenen sprechen.

10 Schafe und 10 Dreiecke haben auch gleiche Grundstrukturen (nämlich eine Menge aus 10 Teilen). Ich sehe hier dein Argument wieder nicht.

@Groucho

Groucho schrieb:Das trifft auf Harry Potter auch zu, insofern sehe ich da kein Argument.

Ich hatte den Unterschied Noumenon bereits erklärt, hier:

Mr.Dextar schrieb:Nein, deine Beispiele referenzieren zu Entitäten außerhalb deines Gehirns. Bleiben wir bei der reinen Mathematik, finden diese Realisierungen bloß im 'mind' statt.

Harry Potter, Kobolde, Feen, Götter etc. sind alles hypothetische Strukturen, die auf außerhalb des eigenen Bewusstseins referenzieren. Der definierte Existenzbereich dieser Entitäten ist also *irgendwo* außerhalb des bewussten Trägers. Bei abstrakten, mathematischen Objekten hingegen ist dies per definitionem bereits anders. Damit diese bereits in dem von mir beschriebenen Sinne "real" sind, genügt es daher, diese in hinreichend ausdrucksstarken Systemen zu manifestieren. Wie eben unsere Gehirne oder auch Computern, die Mathematik darstellen und z.T. betreiben können (siehe dazu "theorem prover").
Diese Manifestierung ist übrigens unabhängig davon, ob hypothetisch angenommene Universen, die anderen Regelwerkern genügen bzw. unterliegen, existieren oder nicht.

Groucho schrieb:10 Schafe und 10 Dreiecke haben auch gleiche Grundstrukturen (nämlich eine Menge aus 10 Teilen). Ich sehe hier dein Argument wieder nicht.

Dieser Vergleich ist nicht gerade zutreffend, da hier lediglich eine schwache, mengentheoretische Abstraktion vorgenommen wurde. Interessanter wird es, je tiefer und komplexer Zusammenhänge sind. Ein Beispiel hatte ich in oben bereits mit den Fraktalen genannt.
Und in der Theoretischen Physik wird dies noch eindeutiger (oder nicht, je nach Interpretation der Aussage ;) ).

Mr.Dextar schrieb:Bei abstrakten, mathematischen Objekten hingegen ist dies per definitionem bereits anders. Damit diese bereits in dem von mir beschriebenen Sinne "real" sind, genügt es daher, diese in hinreichend ausdrucksstarken Systemen zu manifestieren. Wie eben unsere Gehirne oder auch Computern, die Mathematik darstellen und z.T. betreiben können (siehe dazu "theorem prover").
Diese Manifestierung ist übrigens unabhängig davon, ob hypothetisch angenommene Universen, die anderen Regelwerkern genügen bzw. unterliegen, existieren oder nicht.

Ist ja alles gut und schön, aber wie ich oben bereits schrieb: Wo ist hier das Argument?
Warum soll das dMn ein Argument für eine entdeckte Mathematik, statt einer erfundenen sein?

Mr.Dextar schrieb:Ein Beispiel hatte ich in oben bereits mit den Fraktalen genannt.

Mit der Evolution als Beispiel für fraktale physikalische Strukturen?

Groucho schrieb:Ist ja alles gut und schön, aber wie ich oben bereits schrieb: Wo ist hier das Argument?
Warum soll das dMn ein Argument für eine entdeckte Mathematik, statt einer erfundenen sein?

Bleiben wir dazu mal bei Harry Potter: Es ist eine recht konkrete Figur mit Eigenschaften, die alles andere als abstrakt sind. Wenn wir das mit anderen Worten beschreiben würden, wäre HP bloß eine logisch mögliche (nur vielleicht nicht in unserem Universum) Entität. Aus der logischen Möglichkeit folgt aber keine logische Notwendigkeit! Gut, wobei die Modallogik - genauer gesagt das S5-System - genau ein solches Axiom zur Verfügung stellt und derartige Inferenzen erlaubt. Daraus lassen sich dann moderne ontologische "Gottesbeweise" konstruieren. :D Nun, das sei bloß der Vollständigkeit halber erwähnt; wir selbst haben keine guten Gründe, das Axiom anzunehmen und gehen daher davon aus, es treffe nicht zu.
Mathematische Objekte und Regeln aber sind sogesehen mikroskopisch mit makroskopischen Auswirkungen. Es sind bloße abstrakte Strukturen, die - wenn manifestiert - ein abgeschlossenes Ganzes bilden. Mit anderen Worten: Ihre Struktur ist, wenn wir die Manifestation "entdecken" - in den Fibern der Welt enthalten.

Um das weiter zu elaborieren: Erfundene (mögliche) Entitäten werden erst dann real, wenn sie sich in dem definierten Existenzbereich - nämlich außerhalb eines Trägers - manifestieren. Diese Einschränkung benötigen mathematische Strukturen nicht. Erfundene Dinge - auch reale Erfindungen wie Computer - folgen bzw. unterliegen Gesetzmäßigkeiten. Sie sind also in keinster Weise "identisch" mit ihnen. Mathematik hingegen ist mehr als das: Sie kann nicht nur über ihre Folgerungen sprechen, sondern auch über sich selbst (Modell-und Beweistheorie gehören zu den Hauptdisziplinen der Mathematik). Dies geht eben so weit, als dass einzelne Theorien der Mathematik nicht zu mächtig, zu ausdrucksstark werden können, da diese unweigerlich in die Gödelschen Unvollständigkeitssätze münden.

Was ich Dir also hier die ganze Zeit versuche darzulegen, ist, warum Mathematik doch so fundamental anders ist als erfundene Konstrukte, seien diese real existierende wie Computer oder fiktive wie Harry Potter. Daraus folgt aber nicht notwendigerweise ein Platonismus, wie ich ihn in meinem Einganspost hier erwähnt habe.

Groucho schrieb:Mit der Evolution als Beispiel für fraktale physikalische Strukturen?

Ja, Fraktale sind nichts weiter als besondere Funktionsvorschriften, welche jeweils mit vorausgegangenen Parametern als Input arbeiten. Es sind sogenannte Rekursionen. Im Falle der Evolution ist es so, dass vorhandene Strukturen in die nächsten Generationen getragen und sukzessive modifiziert werden; wobei natürliche Selektion hier die Rahmenbedingungen vorgibt und die Eigenschaften determiniert, die 'überleben'.

Mr.Dextar schrieb:Was ich Dir also hier die ganze Zeit versuche darzulegen, ist, warum Mathematik doch so fundamental anders ist als erfundene Konstrukte, seien diese real existierende wie Computer oder fiktive wie Harry Potter.

Ja, du verwendest viele Worte darauf, mir zu zeigen, wo meine Vergleiche hinken.
Nun habe ich ja schon vorher eingeräumt, dass Vergleiche in der Regel hinken und will das also auch gar nicht bestreiten.

Was ich indes immer noch nicht gelesen habe, ist ein Argument dafür, dass Mathematik entdeckt und nicht erfunden ist.

Mr.Dextar schrieb:Mit anderen Worten: Ihre Struktur ist, wenn wir die Manifestation "entdecken" - in den Fibern der Welt enthalten.

Das wäre auch bei einer erfundenen Mathematik so, da sie ja, (auch) dazu dient, die Welt (bzw. bestimmte Strukturen, Regeln usw.( zu beschreiben).

Groucho schrieb:Die richtige Frage (im Sinne des EP) müsste sein, wo kommen Mersenne-Primzahlen her?
Sind die der Natur entrissen, oder ergeben sie sich aus anderen mathematischen Zusammenhängen?
Die höhere Mathematik kommt ja nicht aus dem Nichts, sie entwickelt sich aus der einfacheren Mathematik.

Die höhere Mathematik ist aus der einfachen Mathematik abgeleitet, ja. Das war ja auch die Idee hinter dem Logizismus, also die gesamte Mathematik auf einfache, grundlegende Axiome zurückzuführen. Und hier landen wir dann irgendwo auch wieder bei den einfachen Konzepten, die ich bereits ansprach: 'Abstand', 'Anzahl', 'Menge'... Und was genau diese Konzepte bspw. von dem Konzept 'Gravitation' unterscheidet, war ja gerade meine Frage gewesen, über die du noch einmal nachdenken wolltest. Antwort steht bis dato aber noch aus, wenn ich das richtig sehe.

Mr.Dextar schrieb:Nein, deine Beispiele referenzieren zu Entitäten außerhalb deines Gehirns.

Auch mit deinen nachfolgenden Ausführungen ist mir das irgendwie unklar. Auf welche (konkrete) "Entität außerhalb meines Gehirns" referenziert bspw. meine (abstrakte) Vorstellung von Osterhase oder einer flachen Erde? Das unterscheidet doch auch gerade die Fiktion von der Realität, dass derartige Vorstellungen eben nicht auf Entitäten außerhalb des Gehirns referenzieren.

Mr.Dextar schrieb:Bei abstrakten, mathematischen Objekten hingegen ist dies per definitionem bereits anders. Damit diese bereits in dem von mir beschriebenen Sinne "real" sind, genügt es daher, diese in hinreichend ausdrucksstarken Systemen zu manifestieren. Wie eben unsere Gehirne oder auch Computern, die Mathematik darstellen und z.T. betreiben können (siehe dazu "theorem prover").

Und solange abstrakte, mathematische Objekte nicht in "hinreichend ausdrucksstarken Systemen" manifestiert sind, sind sie nicht real...?

Und was unterscheidet bspw. die Realisierung oder Manifestation der Zahl "Zwei" in einem Computer bspw. von der Realisierung auf dem Abakus oder ganz banal durch zwei Kieselsteine auf der Straße? :ask:

Mr.Dextar schrieb:Ja, Fraktale sind nichts weiter als besondere Funktionsvorschriften, welche jeweils mit vorausgegangenen Parametern als Input arbeiten.

Autsch, nein, ganz so einfach ist es dann doch nicht. Aber zumindest eigentlich ein ganz gutes Stichwort. Fraktale sind ja insbesondere durch Selbstähnlichkeit, Skaleninvarianz und nicht-ganzzahlige Dimension gekennzeichnet - Eigenschaften, die sich nur allzu häufig in der Natur finden lassen, wie es Benoit Mandelbrot mit seinem (großartigen) Werk über die fraktale Geometrie der Natur deutlich gemacht hat. Natürlich mussten die (präzise, formale) Sprache zur Beschreibung derartiger (Form-)Eigenschaften, d.h. die sog. Fraktale Geometrie erst noch erfunden oder entwickelt werden. Genauso wie das Verständnis dafür. Und erneut landen wir beim Semiotischen Dreieck:



Begriff steht hier für das oben erwähnte (entwickelte) Verständnis: Was genau soll man sich bspw. unter "nicht-ganzzahlige Dimension" vorstellen...? Was ist damit gemeint? Was ist die Bedeutung...?

Symbol steht hier für die oben erwähnte (erfundene) Sprache, d.h. Worte bzw. mathematische Fachtermini (wie "Selbstähnlichkeit" oder "Skaleninvarianz") und alles, was so unter mathematische Notation fällt.

Ding steht für den (entdeckten) real-faktischen Sachverhalt, der mit Hilfe der Mathematik modelliert und beschrieben wird, wie etwa Form, Aufbau & Struktur von Romanesco-Broccoli:



Um die Diskussion möglichst einfach zu halten, können wir aber natürlich auch gerne bei elementarer Geometrie bleiben, über die Kugel als Form bspw. von Gasplaneten reden und darüber, warum jene Form - ähnlich wie die Form des Romanesco-Broccoli - nur erfunden, und nicht etwa entdeckt, wurde. :)

Noumenon schrieb:Ding steht für den (entdeckten) real-faktischen Sachverhalt, der mit Hilfe der Mathematik modelliert und beschrieben wird, wie etwa Form, Aufbau & Struktur von Romanesco-Broccoli:

Da sind wir dann also wieder bei den Gegenständen der Mathematik, wo hier ja schon mehrfach der Vergleich zu den Gegenständen der Physik gezogen wurde:

Groucho schrieb am 18.08.2019:Die Gegenstände der Physik sind ja auch Teil der Natur/Realität.
Die Gravitation ist da, die Physik erklärt sie.
Das kann ich bei der Mathematik nirgends erkennen.

Hm... Wirklich nicht...? Für mich sind die fraktale Geometrie beim Romanesco-Broccoli oder auch die Kugelform von Gasplaneten kaum zu übersehen. Beide sind da, die Mathematik beschreibt sie.

Ich denke, ich kann mit den folgenden Antworten auch auf @Groucho eingehen.

Noumenon schrieb:Auch mit deinen nachfolgenden Ausführungen ist mir das irgendwie unklar. Auf welche (konkrete) "Entität außerhalb meines Gehirns" referenziert bspw. meine (abstrakte) Vorstellung von Osterhase oder einer flachen Erde? Das unterscheidet doch auch gerade die Fiktion von der Realität, dass derartige Vorstellungen eben nicht auf Entitäten außerhalb des Gehirns referenzieren.

Diese Entitäten haben eine Beschreibung inne, die aus Grundbausteilen zusammengesetzt sind, die man außerhalb vorfindet. Seien es z.B. Zellen oder Elementarteilchen. Wir formen sowieso modellhafte Konstrukte und Konzepte, sei es das eines Autos, Baums oder eines Osterhasen. Diese besitzen eine recht konkrete Form. Sie referenzieren auf hypothetische Entitäten außerhalb; es ist ihr Definitionsbereich, wenn man will. Die Mathematik reicht jedoch Stufen tiefer. Diese Referenz ist eine, die sich bloß auf ihre eigenen Strukturen richtet (also nicht auf Zellen oder Teilchen, wenn man hier die Problematik der Theoretischen Physik außen vor lässt).
Mit anderen Worten: Ein potentieller Osterhase oder eine flache Erde können immer noch als logisch mögliche (physikalische) Entitäten identifiziert werden, wohingegen Mathematik über Abstrakta sowie dessen Logik spricht.

Noumenon schrieb:Und was unterscheidet bspw. die Realisierung oder Manifestation der Zahl "Zwei" in einem Computer bspw. von der Realisierung auf dem Abakus oder ganz banal durch zwei Kieselsteine auf der Straße

Hier zählst Du eher schwache Isomorphien in der Natur auf. In dem Falle also Kieselsteine nebeneinandergelegt, die wir mengentechnisch als "Zwei" bezeichnen könnten. Analoge Fälle könnten der gleichen Isomorphieklasse zugeordnet werden.

Wovon ich sprach, sind natürliche Konstrukte oder Computer, die in der Lage sind, diese formalen Systeme abzubilden und mit bzw. auf ihnen zu operieren, sprich Sätze herzuleiten, entscheiden, ob ein Satz zu einer bestimmten Sprache gehört (falls möglich) etc. Das können wir dank unserer kognitiven Fähigkeiten oder bspw. Computer mit entsprechenden theorem provern. Man manifestiert also dadurch ein logisches System, das auch wirklich nach strikten Regeln arbeitet; ich verwende dabei gerne das Bildnis, das ein logisches System aus der Tiefe des physikalischen Sees geborgen wird. :)

Noumenon schrieb:Autsch, nein, ganz so einfach ist es dann doch nicht.

Nun ja, hattest Du etwa eine formale Definition erwartet? Selbst wenn wir diesen Anspruch erheben, ergeben sich Schwierigkeiten. Aus der Wiki:

Because of the trouble involved in finding one definition for fractals, some argue that fractals should not be strictly defined at all. According to Falconer, fractals should, in addition to being nowhere differentiable and able to have a fractal dimension, be only generally characterized by a gestalt of the following features:
[...]
Simple and "perhaps recursive" definitions; see Common techniques for generating fractals.


Ich bezog mich auf den letzteren Aspekt und erwähnte daher die Rekursion. Klar, das Themengebiet ist groß und man kann verschiedene Definitionen finde, aber wenn man kann, sollte man es zumindest hier relativ simpel halten.

Wobei Du das zumindest im Gespräch mit mir nicht sollst, ich begebe mich gerne auf tiefe Niveaus. :D Und ich denke, Du bist dazu in der Lage; ich meine mich zu erinnern, Du seist studierter Mathematiker, richtig?

@Mr.Dextar

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:Wir formen sowieso modellhafte Konstrukte und Konzepte, sei es das eines Autos, Baums oder eines Osterhasen. Diese besitzen eine recht konkrete Form.

Ja, was denn nun? Ist die Form konkret, oder abstrakt...? ;)

Und vielleicht sollten wir bspw. auch mal kurz zu Aristoteles bzw. in die Antike zurückblicken, wo man in den Dingen zwei sie bestimmende Prinzipien sah: Stoff und Form.

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:Diese Entitäten haben eine Beschreibung inne, die aus Grundbausteilen zusammengesetzt sind, die man außerhalb vorfindet. Seien es z.B. Zellen oder Elementarteilchen.

Das ist die Kategorie "Stoff".

Nun ist ein bloßer Haufen von Zellen oder Elementarteilchen ja aber nicht automatisch ein Osterhase. Was mindestens noch fehlt: Logisch, die Form.

Natürlich kommt noch mehr dazu: Struktur (d.h. wie die Elementarteilchen/Zellen o.ä. in Relation zueinander angeordnet sind). Und: Dynamik (das unterscheidet den toten Osterhasen vom lebenden Osterhasen). Wenn wir aber erst einmal nur bei der Form bleiben, dann sehe ich nicht, warum sie weniger real als der Stoff sein sollte. Mit dem Stoff beschäftigen sich bspw. die Naturwissenschaften (Geologie, Biologie, Chemie, Physik), mit der Form beschäftigt sich wohl eher der Mathematiker (das Beispiel Romanesco-Broccoli brachte ich ja schon).

Mit Blick auf eben Gesagtes:

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:Diese Entitäten haben eine Beschreibung inne, die aus Grundbausteilen zusammengesetzt sind, die man außerhalb vorfindet. Seien es z.B. Zellen oder Elementarteilchen. Wir formen sowieso modellhafte Konstrukte und Konzepte, sei es das eines Autos, Baums oder eines Osterhasen. Diese besitzen eine recht konkrete Form. Sie referenzieren auf hypothetische Entitäten außerhalb; es ist ihr Definitionsbereich, wenn man will. Die Mathematik reicht jedoch Stufen tiefer. Diese Referenz ist eine, die sich bloß auf ihre eigenen Strukturen richtet (also nicht auf Zellen oder Teilchen, wenn man hier die Problematik der Theoretischen Physik außen vor lässt).
Mit anderen Worten: Ein potentieller Osterhase oder eine flache Erde können immer noch als logisch mögliche (physikalische) Entitäten identifiziert werden, wohingegen Mathematik über Abstrakta sowie dessen Logik spricht.

Völlig egal, was du dir hier als logisch mögliche (physikalische) Entität denkst, ohne die Form eines Weihnachtsmanns ist die Schokolade kein Schokoladen-Weihnachtsmann...! :santa: Es kann also nicht nur der Stoff sein, der den Schokoladen-Weihnachtsmann als eben diesen konstituiert. Gleiches gilt für den Osterhasen und erst recht für die flache Erde. Du kannst dir nicht einfach nur den Stoff denken (Zellen, Elementarteilchen, Schokolade, Planetengestein...), sondern brauchst auch die Form dazu, die du eingangs zwar scheinbar auch noch als recht konkret betrachtest, während sie spätestens im letzten Satz, als Gegenstand der Mathematik, dann aber plötzlich vollends zum bloßen Abstraktum wird.

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:Hier zählst Du eher schwache Isomorphien in der Natur auf. In dem Falle also Kieselsteine nebeneinandergelegt, die wir mengentechnisch als "Zwei" bezeichnen könnten. Analoge Fälle könnten der gleichen Isomorphieklasse zugeordnet werden.

Wie auch immer. Das Konzept "Zahl" auf das Konzept "Isomorphieklasse" zurückzuführen, bringt uns auf jeden Fall nicht viel weiter, denke ich.

Fakt aber ist: Jede Messung von physikalischen Größen ist eine quantitative Aussage über die Realität - klassisches Beispiel: Messung der Stromstärke (oder Zählen von Kieselsteinen...).
Was macht nun die Qualität real, die Quantität hingegen nicht? Und wie könnten physikalische Messungen als quantitative Aussagen dann überhaupt noch in sinnvoller Weise als Aussagen über die Realität verstanden werden?

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:Nun ja, hattest Du etwa eine formale Definition erwartet?

Naja, zumindest keine falsche. Bspw. macht die Zuordnung f(z)->z^2+c ja noch keine Julia-Menge. Aber schon gut... hier liege ich vermutlich falsch, es ist ja letztendlich eine Abbildung in einen topologischen Raum.

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:ich meine mich zu erinnern, Du seist studierter Mathematiker, richtig?

Ist schon ein Weilchen her und beschränkte sich auch nur auf's "Vordiplom". Gut, im Hauptstudium findet eigentlich nur noch Spezialisierung statt und das Grundstudium hat's natürlich auch schon ganz schön in sich gehabt, spätestens im 3./4. Semester.

@Noumenon

Noumenon schrieb:Ja, was denn nun? Ist die Form konkret, oder abstrakt...?

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Noumenon schrieb:Du kannst dir nicht einfach nur den Stoff denken (Zellen, Elementarteilchen, Schokolade, Planetengestein...), sondern brauchst auch die Form dazu, die du eingangs zwar scheinbar auch noch als recht konkret betrachtest, während sie spätestens im letzten Satz, als Gegenstand der Mathematik, dann aber plötzlich vollends zum bloßen Abstraktum wird.

Ich denke, hier hast Du etwas mehr in den Begriff der "Form" interpretiert als ich ursprünglich intendierte. "Form" verstehe ich hier weniger im aristotelischen Sinne, sondern mehr im simpleren, geometrischen, wenn man so möchte. Wenn wir also von "Osterhase" oder "Auto" als mentale Konzepte sprechen, dann haben wir von ihnen eine recht klare, mentale Repräsentation. In diesem Sinne sind diese 'konkret'. Bei mathematischen Entitäten - sofern sie nicht außerhalb konkret interpretiert werden (z.B. innerhalb physikalischer Theorien) - ist dies nicht der Fall, da wir weiterhin von sehr abstrakten Entitäten und Konzepten sprechen, die (vorerst) keine Belegung bzw. Instantiierung erfahren wie sie die Konzepte von Osterhase oder Auto tun. Das meinte ich im übrigen mit "physikalisch möglichen Entitäten". ;)

Noumenon schrieb:Was macht nun die Qualität real, die Quantität hingegen nicht? Und wie könnten physikalische Messungen als quantitative Aussagen dann überhaupt noch in sinnvoller Weise als Aussagen über die Realität verstanden werden?

Die Quantität bzw. der Messvorgang ist ein Prozess, mithilfe dessen wir vordefinierten Konstrukten (z.B. Kieselsteinen oder Stromstärken) Zahlen zuordnen, sodass wir mithilfe dieser praktisch arbeiten können. Selbiges gilt für die Label, die wir physikalischen Objekten geben und mit denen wir Wissenschaft betreiben. Ich sprach von derartigen Systemen:

Mr.Dextar schrieb am 22.08.2019:Wovon ich sprach, sind natürliche Konstrukte oder Computer, die in der Lage sind, diese formalen Systeme abzubilden und mit bzw. auf ihnen zu operieren, sprich Sätze herzuleiten, entscheiden, ob ein Satz zu einer bestimmten Sprache gehört (falls möglich) etc. [...]

D.h. Objekte, die in der Lage sind, mit derart logischen Systemen zu operieren und innerhalb jener Gesetzmäßigkeiten zu entdecken. Was sich also physikalisch - quasi als API/Schnittstelle - manifiestiert, sind die zuvor behandelten Gesetzmäßigkeiten.

Noumenon schrieb:Ist schon ein Weilchen her und beschränkte sich auch nur auf's "Vordiplom". Gut, im Hauptstudium findet eigentlich nur noch Spezialisierung statt und das Grundstudium hat's natürlich auch schon ganz schön in sich gehabt, spätestens im 3./4. Semester.

Ah, ist also noch das alte Diplomsystem; damit bin ich nicht sehr bewandert, da ich im neueren Bachelor/Master-System drin bin. Ich meine, dass das Vordiplom die ersten 3 Jahre Grundstudium abdeckte, aber konstituierte das nicht bereits einen Erstabschluss?