Grenzwert bestimmen
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Grenzwert bestimmen
28.09.2016 um 02:26Mit Wolfram Alpha geht's auch:
www.wolframalpha.com/input/?i=sum+2^2%2F%28n%5E2*%28n%2B1%29%5E2%29,+n%3D1+to+infinity
Allerdings hat Wolfram Alpha anscheinend einen Bug bei mehr als einer Divisionsebene in einer URL, weshalb ich für den Link das 2^2 in den Zähler des Bruchs gezogen habe (was am Ergebnis natürlich nichts ändert). Das Problem besteht aber nur bei Verlinkung, direkt auf der Wolfram Alpha Website kann man die Reihe auch in ihrer ursprünglichen Form eingeben.
www.wolframalpha.com/input/?i=sum+2^2%2F%28n%5E2*%28n%2B1%29%5E2%29,+n%3D1+to+infinity
Allerdings hat Wolfram Alpha anscheinend einen Bug bei mehr als einer Divisionsebene in einer URL, weshalb ich für den Link das 2^2 in den Zähler des Bruchs gezogen habe (was am Ergebnis natürlich nichts ändert). Das Problem besteht aber nur bei Verlinkung, direkt auf der Wolfram Alpha Website kann man die Reihe auch in ihrer ursprünglichen Form eingeben.
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28.09.2016 um 07:06@uatu
Ich kapiere dieses Wolfram Alpha nicht. :(
Habe jetzt eingegeben:
sum n(n-1)+1, x=1, n= (x(x+1)/2) to infinity
soll heissen:
1/7+1/31+1/91...
n= sollen einfach die Dreieckszahlen, der kleine Gauß n(n+1)/2 sein. Was mache ich falsch?
Vielleicht noch hinterher, ich glaube dass dieser Wert (Grenzwert), die Apery Konstante ist.
Ich kapiere dieses Wolfram Alpha nicht. :(
Habe jetzt eingegeben:
sum n(n-1)+1, x=1, n= (x(x+1)/2) to infinity
soll heissen:
1/7+1/31+1/91...
n= sollen einfach die Dreieckszahlen, der kleine Gauß n(n+1)/2 sein. Was mache ich falsch?
Vielleicht noch hinterher, ich glaube dass dieser Wert (Grenzwert), die Apery Konstante ist.
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28.09.2016 um 09:12@Radix: Soweit mir bekannt ist, unterstützt Wolfram Alpha bei der Angabe des Bereichs nur Konstanten. Deshalb muss man -- auch wenn's nicht sehr elegant ist -- für Deine neue Reihe (Deinem numerischen Beispiel entnehme ich, dass in der Formel ein 1/... fehlt) n direkt in der Summe (d.h. zweimal) berechnen (mit algebraischen Vereinfachungen lässt sich dabei auch nicht viel rausholen):
sum 1/((x*(x+1)/2)*(x*(x+1)/2-1)+1), x=1 to infinty
Wolfram Alpha findet einen geschlossenen Ausdruck dafür, der aber sehr kompliziert ist. Der numerische Wert ist ≈ 1,19718...
sum 1/((x*(x+1)/2)*(x*(x+1)/2-1)+1), x=1 to infinty
Wolfram Alpha findet einen geschlossenen Ausdruck dafür, der aber sehr kompliziert ist. Der numerische Wert ist ≈ 1,19718...
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28.09.2016 um 17:36Also irgendwie ist das seltsam, bei Wiki steht unter "Basler Problem":
"Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente s (siehe z. B. Apery-Konstante) ist bisher unbekannt."
Wie macht es denn Wolfram Alpha?
"Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente s (siehe z. B. Apery-Konstante) ist bisher unbekannt."
Wie macht es denn Wolfram Alpha?
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29.09.2016 um 01:11@Radix: Nach Exponenten geordnet sieht der Summand der von Dir beschriebenen Reihe so aus: 4/(x^4+2*x^3-x^2-2*x+4). Das st ein so deutlicher Unterschied zum Summanden der Riemannschen Zeta-Funktion (1/x^s), dass wechselweise Rückschlüsse vermutlich kaum möglich sind.
Allgemein dürfte die Mathematica-Engine (die auch hinter Wolfram Alpha steckt) so vorgehen, dass sie versucht, den gegebenen Ausdruck so zu zerlegen, dass sich die Teilterme auf bekannte Reihen zurückführen lassen. Bei der ersten von Dir genannten Reihe lässt sich das noch ganz gut manuell nachvollziehen. Ich weiss zwar nicht, ob Wolfram Alpha es genau so macht, aber die folgende Zerlegung wäre ein sinnvoller Ansatz:
1/((n²*(n+1)²)/2²) = 4/n² + 4/(n+1)² - 8/(n*(n+1))
Alle drei Teilterme entsprechen bekannten konvergenten Reihen (z.B. findet sich Euler's Herleitung für die 1/n²-Reihe auf der Wikipedia-Seite des von Dir erwähnten Basler Problems), und wegen ∑(ai+bi) = ∑ai + ∑bi ist der Grenzwert der Gesamtreihe gleich der Summe der Grenzwerte der drei Teilreihen: 2/3*π² + 2/3*π²-4 - 8 = 4/3*π² - 12 = 4/3*(π² - 9) (wie bereits bekannt).
Ganz so einfach geht das bei der zweiten von Dir genannten Reihe allerdings nicht. Neben der einfachen Zerlegung in Summanden gibt es noch wesentlich mehr Möglichkeiten, eine Reihe zu zerlegen. Die Komplexität des von Wolfram Alpha gelieferten Ergebnis-Ausdrucks spricht dafür, dass es ziemlich schwierig sein dürfte, die entsprechende Zerlegung manuell nachzuvollziehen.
Allgemein dürfte die Mathematica-Engine (die auch hinter Wolfram Alpha steckt) so vorgehen, dass sie versucht, den gegebenen Ausdruck so zu zerlegen, dass sich die Teilterme auf bekannte Reihen zurückführen lassen. Bei der ersten von Dir genannten Reihe lässt sich das noch ganz gut manuell nachvollziehen. Ich weiss zwar nicht, ob Wolfram Alpha es genau so macht, aber die folgende Zerlegung wäre ein sinnvoller Ansatz:
1/((n²*(n+1)²)/2²) = 4/n² + 4/(n+1)² - 8/(n*(n+1))
Alle drei Teilterme entsprechen bekannten konvergenten Reihen (z.B. findet sich Euler's Herleitung für die 1/n²-Reihe auf der Wikipedia-Seite des von Dir erwähnten Basler Problems), und wegen ∑(ai+bi) = ∑ai + ∑bi ist der Grenzwert der Gesamtreihe gleich der Summe der Grenzwerte der drei Teilreihen: 2/3*π² + 2/3*π²-4 - 8 = 4/3*π² - 12 = 4/3*(π² - 9) (wie bereits bekannt).
Ganz so einfach geht das bei der zweiten von Dir genannten Reihe allerdings nicht. Neben der einfachen Zerlegung in Summanden gibt es noch wesentlich mehr Möglichkeiten, eine Reihe zu zerlegen. Die Komplexität des von Wolfram Alpha gelieferten Ergebnis-Ausdrucks spricht dafür, dass es ziemlich schwierig sein dürfte, die entsprechende Zerlegung manuell nachzuvollziehen.
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29.09.2016 um 23:13@uatu
Wow, ganz lieben Dank. Ich verstehe zwar nicht alles, was Du geschrieben hast, aber damit arbeite/spiele ich.
Habe nun die Dreieckszahlen in die dritte Potenz erhoben (also als Summe im Kehrwert) und wenn ich das nun mache, was Du sagtest, also in Teilterme zerlegen, dann kommt da das bei raus:
Für n=2: 8/8+8/27-34/27
n=3: 8/27+8/64-60/144
usw...
aber was soll ich nun mit den letzten Brüchen anfangen, da ist ja gar kein Muster drinn, so wie bei der 2. Potenz?:
8/8n(n+1)
Also den Grenzwert kenne ich (Dank Wolfram Alpha), aber die Schritte, die sind mir schleierhaft.
Aber, ich spiele weiter und danke Dir für die Hilfe :D
Wow, ganz lieben Dank. Ich verstehe zwar nicht alles, was Du geschrieben hast, aber damit arbeite/spiele ich.
Habe nun die Dreieckszahlen in die dritte Potenz erhoben (also als Summe im Kehrwert) und wenn ich das nun mache, was Du sagtest, also in Teilterme zerlegen, dann kommt da das bei raus:
Für n=2: 8/8+8/27-34/27
n=3: 8/27+8/64-60/144
usw...
aber was soll ich nun mit den letzten Brüchen anfangen, da ist ja gar kein Muster drinn, so wie bei der 2. Potenz?:
8/8n(n+1)
Also den Grenzwert kenne ich (Dank Wolfram Alpha), aber die Schritte, die sind mir schleierhaft.
Aber, ich spiele weiter und danke Dir für die Hilfe :D
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29.09.2016 um 23:22Mit letzten Brüchen meine ich:
n=2: 34/27, n=3: 60/144 usw...
n=2: 34/27, n=3: 60/144 usw...
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29.09.2016 um 23:38Und die eigtl. Reihe wäre dann:
1/1+1/9+1/216+...+ 1/((n(n+1))^3)= 80-8pi^2 ist rund 1.043....
1/1+1/9+1/216+...+ 1/((n(n+1))^3)= 80-8pi^2 ist rund 1.043....
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30.09.2017 um 09:53Habe eine Frage zu Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F1%5E1%2B1%2F2%C2%B2%2B1%2F3%C2%B3%2B1%2F4%5E4%2B...1%2Fx%5Ex
Es geht weniger um die Summe als vielmehr um die Frage, wie ich den Grenzwert berechnet bekomme, ich kann zwar die Terme bis zum 1000. oder so hochschrauben, aber sobald ich -to infiniti- schreibe, berechnet er nur die ersten 4 Terme...Warum?
Was muss ich denn eingeben? (damit er mir einen "rundes" Endergebnis liefert)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F1%5E1%2B1%2F2%C2%B2%2B1%2F3%C2%B3%2B1%2F4%5E4%2B...1%2Fx%5Ex
Es geht weniger um die Summe als vielmehr um die Frage, wie ich den Grenzwert berechnet bekomme, ich kann zwar die Terme bis zum 1000. oder so hochschrauben, aber sobald ich -to infiniti- schreibe, berechnet er nur die ersten 4 Terme...Warum?
Was muss ich denn eingeben? (damit er mir einen "rundes" Endergebnis liefert)
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02.10.2017 um 12:06@Radix
Er mag glaube ich die Darstellung mit den Punkten dann nicht mehr.
So sollte es gehen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+over+x+from+1+to+infinity+(1%2Fx%5Ex)
Er mag glaube ich die Darstellung mit den Punkten dann nicht mehr.
So sollte es gehen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+over+x+from+1+to+infinity+(1%2Fx%5Ex)
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02.10.2017 um 22:06Das problem ist mathematisch nicht lösbar.
Mein Onkel ist Mathe Lehrer.
Mein Onkel ist Mathe Lehrer.
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03.10.2017 um 20:33@Durchfall
Das ist Quatsch, zum Einen steht die Lösung bereits auf Seite 1, zum anderen sind solche Probleme allgemein durch die Verwendung des Satzes von l'Hôpital zu lösen.
Das ist Quatsch, zum Einen steht die Lösung bereits auf Seite 1, zum anderen sind solche Probleme allgemein durch die Verwendung des Satzes von l'Hôpital zu lösen.
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