Zotteltier schrieb:1. Fall
Nochmal zur Wiederholung den Fall bei dem wir uns einig waren. Die Kugel wird zuerst auf der x-Achse gegenüber Alice (S) auf 0,7 c beschleunigt, dann in dem mitgeführten Koordinatensystem (S') auf 0,6 c auf der y-Achse.
Ja, da waren wir uns einig. Ich möchte allerdings betonen dass dieser von dir geschilderte Sachverhalt nicht auf mein Gedankenexperiment zutrifft. Damit keine Missverständnisse entstehen:
Wenn Bob sich mit 0,7c auf der x-Achse bewegt, sich selbst aber als ruhend definiert, und dann die Kugel seine Ur-Uhr startet (Kugel wird aus seiner Sicht auf 0,6c der y-Achse beschleunigt), hat die Kugel (aufgrund der Dilatation seiner mitgeführten Lichtuhr) aus seiner Sicht zwar eine Geschwindigkeit von 0,6c, aus Alice Sicht hat die Kugel jedoch nur eine Geschwindigkeit von 0,428c.
Begründung:Da Bob sich als ruhend betrachtet, muss er der Kugel (Ruhemasse=1kg) lediglich einen Impuls (p) in der Größe von 225.000.000kgm/s geben:
Da Bob sich als ruhend betrachtet, hat die Kugel aus seiner Sicht eine Masse von m=m
0. Da Bobs Rakete sich für einen äußeren Beobachter jedoch gleichförmig und geradlinig mit 0,7c bewegt, hat die Kugel für den äußeren Beobachter eine relativistische Masse m
rel, welche größer m
0 ist. Da die Masse der Kugel größer ist als Bob annimmt (bzw. er in seinem Inertialsystem Messen würde), kann der Impuls (aus Sicht eines äußeren Beobachters) nicht zu einer Geschwindigkeit von 0,6c (180.000.000m/s) führen, denn der Impuls müsste dann einen Betrag von p' * γ haben:
Welche Geschwindigkeit die Kugel aus Sicht von Alice (ruhend) hat, ergibt sich aus der Addition der (senkrechten zu ebenen) Geschwindigkeiten. Warum ich zu Erklärung die Addition von senkrechten zu ebenen Geschwindigkeiten wähle, liegt darin begründet dass hier niemand meine Frage, ob diese bekannt ist, beantwortet hat.
Addition ebener Geschwindigkeiten:
Quelle:
Wikipedia: Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten#1. BeispielAddition von senkrechter zu ebener Geschwindigkeit:
Subtrahiert man nun die Geschwindigkeit der x-Achse von der resultierenden (diagonalen) Geschwindigkeit w, erhält man die erreichte Geschwindigkeit auf der y-Achse:
Trotzdem würde aus Bobs Sicht die Kugel eine Geschwindigkeit von 0,6c bei einer Messung in seinem Inertialsystem aufweisen.
Begründung: Wenn das Photon der mitgeführten Lichtuhr die Strecke von Detektor zu Detektor durchlaufen hat, ist für Bob 1s vergangen. In dieser Zeit hat auch die Kugel seiner Ur-Uhr die Strecke von Detektor zu Detektor (Abstand 0,6Ls) durchlaufen. Somit beträgt die Geschwindigkeit der Kugel aus seiner Sicht: 0,6Ls/1s=0,6c. Für einen äußeren Beobachter (der sich als ruhend betrachtet) sind jedoch 1,4s vergangen wenn die Kugel die Strecke von Detektor zu Detektor durchlaufen hat: 0,6Ls/0,428c=1,4s bzw. 0,6Ls/1,4s=0,428c.
Zotteltier schrieb:2.Fall
Bei der Beschleunigung in y-Richtung wird das Koordinatensystem S' mit der Kugel mitgeführt, dann wird innerhalb von S' die Kugel auf 0,7 c beschleunigt. Alice sieht die x-Komponente dilatiert.
Nein, das Koordinatensystem S' wird nicht mitgeführt. Die y'-Geschwindigkeit wäre sonst 0c. Das Koordinatensystem S' wird bei einer Beschleunigung auf der x'-Achse mitgeführt, da sich Bob als ruhend betrachtet. Andernfalls würde die x'-Geschwindigkeit nicht 0c betragen. Folglich wird auch nicht innerhalb des Systems S' auf der x'-Achse beschleunigt, sondern die Beschleunigung von System S' findet von außerhalb auf der x-Achse statt.
Zotteltier schrieb:Das ist der Fall der mit Deinen Rechnungen konsistent ist. Die Relativgeschwindigkeit hat nur eine y-Komponente. Die x-Komponente aus S' ist aus Alice Sicht geringer. Insbesondere gilt: wird die Kugel in S' auf nahe Lichtgeschwindigkeit beschleunigt, so sieht Alice diese mit maximal 0,8 c.
Nein, es gibt keine Berechnung von mir wo ich die y-Komponente zur relativgeschwindigkeit erkläre und mit dieser Relativgeschwindigkeit die Dilatation auf der x-Achse berechne. Der Grund ist einfach, die relativgeschwindigkeit ist immer die Geschwindigkeit, welche parallel zur x-Achse des Beobachters verläuft. Im Grunde ist die Sache trivial, wenn man sie einmal Schritt für Schritt durchdenkt. Fangen wir mit der y-Geschwindigkeit an. Alice (S) beobachtet ein Objekt A mit einer Geschwindigkeit von 0,6c auf der y'-Achse in System S'. Da Relativgeschwindigkeiten immer parallel zu x-Achse des äußeren Beobachters verlaufen, muss Alice das Koordinatensystem S' drehen, so dass die y'-Achse parallel zur x-Achse verläuft. Nun kann Alice S die Zeitdilatation in S' berechnen und stellt fest, dass die Lichtuhr in Objekt A 0,8s anzeigt, während auf Alice Lichtuhr 1s vergangen ist.
Nun beobachtet Alice wie das Objekt A erneut beschleunigt. Diesmal auf der y-Achse (x'-Achse von S'), und beobachtet eine Geschwindigkeit auf der y-Achse von 0,7c (x'=0,7 in S'). Es mag jetzt nahliegend klingen das Alice das Koordinatensystem S' erneut soweit dreht, das die x'-Achse wieder parallel zur x-Achse liegt, um die neue Relativgeschwindigkeit zu ermitteln. Das geht so aber nicht, denn es liegen nun zwei Geschwindigkeitskomponenten (y'=0,6c und x'=0,7c) vor. Aus diesen beiden beobachteten Geschwindigkeitskomponenten resultiert eine Gesamtgeschwindigkeit (w). Diese Geschwindigkeit w hat auch eine Richtung, diese Richtung (also resultierende gerade Strecke des Objektes A aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten) muss parallel zur x-Achse verlaufen. Das erreicht man durch drehen des Koordinatensystem S'. Da es ein sehr gutes räumliches Vorstellungsvermögen bedarf um das im Kopf zu erledigen, zeige ich die Drehungen der Koordinatensysteme grafisch auf. Das bekomme ich aber nicht mal eben zwischen der Arbeit erledigt, bitte da also um etwas Geduld, werde sie so schnell wie möglich nachreichen.
Zotteltier schrieb:3.Fall
Man kann die Koordinatensysteme auch anders legen.
Bei der Beschleunigung der Kugel in y-Richtung bleibt das Koordinatensystem S' zunächst gegenüber S in Ruhe.
Daraus resultiert dann v
y=v
y', (wenn das mal keiner Ärger mit meinen Kritikern gibt
;) )
Zotteltier schrieb:Erst mit der Beschleunigung der Kugel in x-Richtung wird auch das Koordinatensystem S' mit der Kugel in x-Richtung mitbewegt. Jetzt hat die Relativgeschwindigkeit wieder nur eine x-Komponente.
Das kann man so machen, ist dann aber ein neues System S''. S'' beobachtet somit in seinem System das Objekt A mit y''=0,6c, x''=0c, und System S' beobachtet Objekt A mit y''=0,6c und x''=0,7c.
Zotteltier schrieb:Daher wird die Geschwindigkeit in y-Richtung dilatiert.
Du würdest jetzt im System S' die y'-Komponente dilatieren, hast im System S' aber schon die x'-Achse dilatiert (Fall 1.). Hier sollte man klar zwischen den Systemen trennen können.
Zotteltier schrieb:Bist Du aus Deiner Sicht mit einem dieser Fälle nicht einverstanden, und wenn ja warum?
Wie du siehst bin ich mit mehr als nur einer Falldarstellung von dir nicht einverstanden. Möchte meine Argumente so aber nicht stehen lassen, sondern auch mathematisch Beweisen und mit entsprechenden Grafiken, die die einzelnen Koordinatensysteme und insbesondere deren Drehung aufzeigen, verdeutlichen. Sobald meine Zeit es erlaubt werde ich sie nachreichen.
pluss schrieb:Nochmal, ich fragte nach der Formel für die Addition von Geschwindigkeiten
