Eine unbekannte Wissenschaft

@shionoro
Ah, ok. Schwachsinn, was ich geschrieben hab, schließlich kann man ein Kreis unendlich mal teilen.^^

@Repulsor

Pi ist per Definition schon irrational. Pi kann niemals aufgehen.
Es ist auch Beweisbar, dass sich pi NICHT als Bruch natürlicher Zahlen darstellen lässt (wie wurzel 7 z.B. auch), damit ist pi's Irrationalität bewiesen und es ist klar definiert.

Die Zahl hört nie auf, aber wir kennen ihr Muster.

Also wir haben in der Schule zur Mathematik gelernt, dass sie eine Wissenschaft ist, die auf gewissen Axiomen aufbaut, wie z.b. 1 kann nciht 0 sein.
Diese lassen sich weder verifzieren noch falsifizieren und sind eine logische Annahme des Menschen. Gilt das nciht als Begründung?

@DaSonny

Ist richtig.

Man hat grundsätzliche Axiome, die man gewählt hat, und aus diesen folgen alle andere Schlüsse.

Allerdings, ist es meiner Meinung nach irrelevant, welche Axiome man wählt. Ich glaube man würde irgendwann zwangsläufig in anderer Form dieselben Ergebnisse bekommen.

Sofern man natürlich solche Axiome wählt, die einem die Möglichkeit zu rechnen geben. Man könnnte ja auch axiome wählen, die sich gegenseitig blockieren.

Es empfiehlt sich also solcherlei zu wählen, die möglichst viele freiheiten lassen, und außerdem, möglichst wenige.

@shionoro

shionoro schrieb: Man könnnte ja auch axiome wählen, die sich gegenseitig blockieren.

nein, denn dann würde das system was aus den axiomen aufgebaut ist nicht funktionieren.

Axiome sind Dinge, die man vorraussetzt ohne dass man sie beweist (irgendwo muss es ja aufhören) mit denen man dann ein "gebilde aufspnannt" in denen man sachen beweist (nach aussagen logik) mit denen man wieder andere tolle dinge machen kann. Ich glaube, dass die axiome gerade so gesetzt sind wie sie sind liegt einfach an unserem denkmuster.

ein axiom wäre z.b. das archimedische xiom, kommutativität (ist ein körperaxiom), usw. unterschiedlichen mathematischen objekten liegen unterschiedliche axiome zugrunde.

shionoro schrieb:Es empfiehlt sich also solcherlei zu wählen, die möglichst viele freiheiten lassen, und außerdem, möglichst wenige

es empfiehlt sich eher axiome zu wählen, die einem weiter helfen ;)

@Phantombild

Genau, das wollte ich ja damit sagen :)
Etwas blöd formuliert, ich meinte keine sich widersprechenden Axiome.

achso nach was zu der 0,periode 3 geschichte und oft damit verbunden 0,periode 9 (was =1 ist)

ersteinmal muss man sich das überhaupt "vorstellen" eine zahl mit imer den selben nachkomma stellen, denn das geht aus den Axiomen so nicht hervor ;)

also schauen wir uns mal eine darstellung für endlich viele nachkomma stellen an:
sagen wir 0,33333......3 (n Stück)

die lautet:
(ok ohne latex -.-)

Summe von k=1 bis n 3 * (1/10)^k (wobei man die 3* auch vor die summ schreiben kann)
ich will dass mal für k=3 zeigen:

3*(1/10)^1=0,3
3*(1/10)^2=0,03
3*(1/10)^3=0,003
das zusammenaddiert:
0,333 (das kann man für jede beliebige periode von 1-9 mitdenken)

das problem man will die periode im unendlichem, in der mathematik heißt das man bildet den grenzwert lässt also n gegen unendlich gehen und muss jetzt !!! nach grenzwert regen rechen.
(dazu gehört eig so ein Semester Ana 1 aber egal)

also berechenn wir den Grenzwert von:
Summe von k=1 bis n (1/10)^k für n gegen unendlich da gibt es zum Glück (was schon schon vor sehr langer zeit bewiesen wurde, und den beweis will ich hier nicht mit abringen sonst wollt ihr noch, dass ich jedes lemma bis auf die axiome zurückführ und das ist ... aufwändig :D )
die geometrische Reihe, die aber bei k=0 losgeht!!!
das macht aber nichts, denn wir können unsere summe so "frisieren", dass sie von 0 losgeht, dazu müssen wir nur das 0te glied hinterher abziehen [(1/10^0) =1]
und die geometrische reihe geht hier gegen:
1/(1-0,1) http://hschaefer.fto.de/hm1/node16.html
zusammen ergibt der grenzwert also:

3 * [ (10/9) -1] = 1/3 O.o
und wir sehen 0,periode 3 ist wie erwarten 1/3 es ist genau das selbe!
Qed oder Wzbw oder wie ich zu sagen pflege WTF (was tatsächloch Folgt :D)

jetzt kann sich auch jeder der lust und spaß dran hat überlegen, dass 0,periode 9 = 1 ist ;)

@Repulsor

Repulsor schrieb:Kann man berechnen, wie viele Nachkommastellen Pi haben wird? Wenn Unendlich
rauskommt, dann hast du recht.

Erstmal:

* Rationale Zahlen sind die, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen (gewöhnlicher Bruch) darstellbar sind.
* Irrationale Zahlen sind die, die nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar sind.

Man kann nun beweisen:

* Jede rationale Zahl hat im Dezimalsysstem entweder eine abbrechende (endliche) Darstellung, oder die Dezimaldarstellung ist ab irgendeiner Stelle periodisch (und umgekehrt stellt jede solche Dezimalzahl eine rationale Zahl dar).
* Jede irrationale Zahl hat im Dezimalsystem eine nicht-abbrechende (dh: unendliche) nicht-periodische Darstellung (und umgekehrt stellt jede solche Dezimalzahl eine irrationale Zahl dar)

Wenn also von einer Zahl bewiesen ist, dass sie irrational ist, dann weiß man automatisch auch, dass sie eine unendliche nicht-periodische Dezimaldarstellung hat. Das weiß man dann, ohne auch nur eine einzige Nachkommastelle berechnen zu müssen.

Man schließt also von der Irrationalität auf die Nachkommastellen. Kein Mensch zählt Ziffern.

Vor ca 250 Jahre hat der Mathematiker Lambert bewiesen, dass Pi irrational (also nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar) ist, daher weiß man, dass Pi sich im Dezimalsystem mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen schreibt.

Der Beweis ist sehr schwierig und geht weit über den Schulstoff hinaus. Aber schau dir doch mal den Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 an, der ist einfach und kommt oft auch im Mathe-Unterricht in der Schule.

Achgä, so schwer ist das ned :)
http://www.heldermann-verlag.de/Mathe-Kabinett/IrrationalitaetVonPi.pdf

HYPATIA schrieb:Achgä, so schwer ist das ned :)

Sicher kann man den im ersten Semester Mathe bereits verstehen. Aber über den Schulstoff geht das eindeutig hinaus. Und es sind ja schon die meisten mit 0,(periode)9=1 überfordert.

Da ist nichts dabei, was nicht in der Schule gelehrt werden würde. Jedenfalls mit Matheabi. Wer will kann sich durchaus von dem Beweis überzeugen.