@perttivalkonen 
perttivalkonen schrieb:Wenn Du Deinen Text nochmal mit nem Wörterbuch "Mathe - Dummie; Dummie - Mathe" überarbeiten könntest...
Nun ja, wenn ich anfange, jemanden Mathematik zu erklären, würde ich selbst am liebsten in der mathematischen Ursuppe der Mengenlehre, Modelltheorie und Kategorientheorie, eben mathematischer Logik anfangen. Das würde den Rahmen leider bei Weitem sprengen.
Ich versuche mal ein bisschen mit "naiver" Mengenlehre zu erklären was eine Funktion eigentlich ist.
Stell Dir eine Menge einfach als das vor, was Du dir intuitiv darunter vorstellst.
Der Vater der Mengenlehre, Georg Cantor, definiert eine Menge wie folgt;
Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“
Das ist leider noch keineswegs ausreichend exakt, sollte allerdings für unseren Zweck genügen.
Eine Menge M (Mengen werden für gewöhnlich mit großen Buchstaben gekennzeichnet)
kann zum Beispiel sein A = {rot, 3, blau} oder B = {1,2,7} oder {Tisch, Stuhl, Garten}
(Es gibt weitaus abstraktere Mengen in der Mathematik, z.B. Mengen von Funktionen, Funktoren, etc. )
Es gilt {a,b,a,c,d,...} = {a,b,c,d,...} heißt gleichartige Objekte kommen nur einmal in einer Menge vor. (Siehe Definition "wohlunterschieden", In der richtigen axiomatischen "Zermelo Freankel" Mengenlehre würde man von Extensionalitätsaxiom bzw. eine direkt Folgerung Derer sprechen ).
Die Reihenfolge ist indes unwichtig {1,2,3} = {2,1,3} = {2,3,2} = ...
Die Objekte m dieser Menge nennt man Elemente. Man schreibt dann m e M.
Z.B.
Sei M = {1,2,3,4,5,6}
Die Aussage 1 e M (gesprochen: "1 Element von M") ist offensichtlich wahr, die Aussage 7 e M offensichtlich falsch.
Mit Mengen können auch andere Mengen als Elemente enthalten
z.B. A = {2, 3, B} und B = {3 ,4 ,5}. A ist also dann : A = {2,3, {3,4,5}} Das ist
nicht das Gleich wie A = {2,3,4,5} . B ist innerhalb von A "gekapselt".
B ist also ein Teilmenge von A. Hier kommt ein kleines Manko dieser Erklärungsweise auf, spätestens jetzt bräuchte man eigentlich "Prädikatenlogik" und würde schreiben:
B ⊂ A :<=> ∀x e B : x e A
in Worten
B ist Teilmenge von A ist definitionsgemäß äquivalent zu Für alle x Element von B gilt auch x Element von A.
Schreiben wir mal alle Teilmengen von A auf: {{2, 3, B } ; {2, 3}; {2, B }; {3, B}; {2}; {B}; {3}; {}} Das nennt man die Potenzmenge, die Menge aller Teilmengen. {} ist die leere Menge, die Menge, die keine Elemente enthält. {2,3,B} ist eine Teilmenge von sich selbst.
Eine interessante Frage wäre nun, wieviele Teilmengen eine (endliche) Menge denn überhaupt hat ? aber das führt zu weit... mir fällt gerade auf, dass der Text bereits jetzt doppelt so lang ist, wie ich geplant hatte
:D Jedenfalls werden mit Mengen auch Mengenoperationen durchgeführt, z.B. Vereinigung, Schnittmenge, Komplement, ... das kann man alles schön mit formaler Logik beschreiben.
Man kann die Mathematik auch auf der Kategorientheorie aufbauen, über den Ansatz der sogenannten Topos Theorie, aber den Ansatz bleibst Außenstehenden leider völlig verschlossen, dazu sollte man schon einige Jahre Mathematik oder Informatik studiert haben.
Geht man diesen Weg jedenfalls weiter, stößt man noch auf die Begriffe Relation, Äquivalenzrelation, Ordnung, partielle Relation, etc.
Irgendwann lernt man dann, dass eine Funktion eine spezielle Relation ist, glücklicherweise ist der Begriff der Funktion (in der Algebra sagt man häufiger Abbildung) auch ohne wissen um Relationen verständlich ist. Hier muss man jedoch anmerken, dass es einige Feinheiten bei der Definition des Funktionsbegriffes gibt, auch heute noch gibt es 2 Definitionsmöglichkeiten, für die meisten praktischen Anwendungen spielt dies allerdings kein Rolle.
Nehmen wir die nicht mengentheoretische Definition aus der wikipedia:
"Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu."
Nehmen wir für die folgenden Ausführungen nun an, wir hätten uns schon mit Zahlenbereichen und deren algebraischer, topologischer und ordnungstheoretischer Struktur beschäftigt, sodass wir wüssten, dass man mit Zahlen "normal rechnen kann".
Seien N die Natürlichen Zahlen und f eine Funktion
Das Schreibweise sagt aus, dass f Natürliche Zahlen auf Natürliche Zahlen abbildet. Der Pfeil -> ist nicht zu verwechseln mit dem (semantischen) Implikationspfeil => oder den allerdings nur in der Logik verwendeten (syntaktischen) Implikationspfeil ->.
In dem Kontext sagt der Pfeil aus, welcher Raum (strukturierte Menge) auf welchen Raum abgebildet wird.
Hingegen ist dieser Pfeil mit senkrechter Haken hinten die konkrete Zuordnung eines Elementes n aus dem Ursprungsraum in den Zielraum über f(n).
Die Schreibweise f(n) sagt aus, dass die Funktion f auf das Element n aus N angewandt wird.
N sind die Natürlichen Zahlen also {0,1,2,3,4,....}
Eine Funktion f:N-> N wäre zum Beispiel f(n) = n². f(1) = 1² = 1, f(2) = 2² = 4, f(3) = 3² = 9, usw.
Könntest Du jetzt, sagen wir 1,5 mit f auf N abbilden ? NEIN. Und warum nicht ?
weil 1,5 gar nicht Element der Natürlichen Zahlen ist, was nicht in der Definitionsmenge N enthalten ist, kann natürlich auch nicht abgebildet werden.
f(1,5) existiert nicht. f(2,5) existiert nicht. f(2,2325254) existiert nicht.
Dann musst Du schon den Zahlenbereich ändern, die Werte existieren für f: R -> R, wenn Du Reelle Zahlen auf Reelle Zahlen abbildest, da kannst Du f(1,5) , f(2,5), usw. dann ausführen.
Genauso verhält es sich im Fall m(rel). "rel" ist kein Element aus dem Geschwindigkeitsintervall (Auch eine Menge/ Raum), sondern eine physikalische Präzisierung dieser Funktion. Du kannst nichts abbilden, was nicht in der Definitionsmenge existiert.
