Superluminales Tunneln
21.09.2006 um 02:06
die lorentz-transformationen
spannendes und schwieriges thema, wieich finde.
ich wieder hole jetzt nicht den teil, den ich im SRT beitrag dazugeschrieben habe. kann ja jeder auf der vorherigen seite rauslesen.
ichdefiniere die lorentz-transformationen (abkürzen tu ichs im beitrag jetzt mal immer mitLT) etwas mathematischer, das lässt sich da nicht umgehen.
also, die LTsind sog. "affine" transformationen, sie lassen den abstand zweier weltpunkte (alsozweier ereignisse) invariant, daraus folgt, dass sich damit inertialsysteme ininertialsysteme überführen lassen. der mathematische ausdruck dafür lautet:
(x2-x1)² - c²(t2-t1)² = (x2^µ-x1^µ)gµv(x2^v-x1^v)
das kann in folgenderform parametisiert werden:
x´^µ = Λ^µ vx^v
dabei gilt, dass diematrix "Λ" die bedingung:
gµv = Λ^ρ µgρσΛv^σ
erfüllen muss, aufgrund der invarianzforderung.
der abstandzweier ereignisse kann dabei dann positiv, negativ oder null sein. die flächen (x2-x1)² =const sind dabei "hyperboloide" im raum- und zeitkontinuum, die sich an denlichtkegel, der durch (x2-x1)² = 0 definiert ist, "anschmiegen" (ich weiss, schwer zuverstehen ;) ). na ja, im grunde heisst das nichts anderes, als dass die raumzeit inseparierte gebiete zerfällt, die durch das vorzeichen des abstandes zweier weltpunktecharakterisiert sind. -> die region mit (x2-x1)² > 0 heisst dann "zeitartig", die mit(x2-x1) = 0 heisst "lichtartig" und die mit (x2-x1)² < 0 ist dann "raumartig". dabei istaber zu beachten, dass diese regionen nicht durch eine LT verbunden werden können!
die sog. "spezielle" LT zwischen zwei koordinatensystemen, die sich relativzueinander entlang der räumlichen l-achse mit der geschw. "v" bewegen, hat eine sehrexplizite gestalt bzw. form:
x´= γ(x+vt), y´= y, z´= z, t´=γ(t+βx)
wobei dann wieder folgendes gilt:
die beidenausdrücke ->
γ = (1-v²/c²)^-1/2 und β = v/c. γ
lassen sich parametisieren und zwar recht einfach durch -> γ = cosh φ
würde man das jetzt als matrix schreiben, hätte man:
[ coshφ sinh φ 0 0]
[ sinh φ cosh φ 0 0]
Λ = [ 0 0 1 0]
[ 0 0 0 1]
die matrix hat folgenden effekt: sie erzeugt eine art"lorentz-boost" in x-richtung. das ganze kann man analog auch als eine art pseudodrehungzu drehung im euklidischen raum sehen, dabei ist die funktion des drehwinkels einehyperbolfunktion. genauso wie hier, konstruiert man solche "lorentz-boosts" in y und zrichtung. führt man zwei solche boosts hintereinander aus, so erzeugt man aber keinenanderen boost, sondern eine zusätzliche räumliche drehung! (ich persönlich finde diesenpunkt sehr spannend)
nun ja, die LT setzen sich als im grunde aus boosts unddrehungen zusammen und bilden damit die lorentz-gruppe.
dielorentz-gruppe ist die gruppe L aller 4x4 matrizen Λ, die denverallgemeinerten abstand der oben erwähnten raumzeitpunkte invariant lassen.
-> (x-y)² = (x^a-y^a) gaβ (x^β-y^β)
diese zerfällt invier verschiedene richtungen, besser gesagt zweige. der grund dafür ist die eigenschaft(detΛ )² = 1 [also detΛ = +1 oder auch detΛ = 1] und (Λ 0^0)²≥ 1 [also Λ 0^0 ≥ +1 oder Λ 0^0 ≤ -1] der LT.
dieses sind:
1. L↑+ (det Λ = 1, Λ 0^0 ≥ 0) -> dazuzählen dann die identität E, die drehung und die speziellen LT (lorentz-boosts)
2. L↓+ (det Λ = 1, Λ 0^0 ≤ -1) -> dazu zählen das produkt PTaus der spiegelung P und der zeitumkehr T, sowie auch alle Λ (PT) mit Λε L↑+
3. L↑_ , hierzu zählen P und alle ΛP mit Λε L↑+
4. L↓+_, hierzu zählen T und alle ΛT mit Λε L↑+
allerdings bildet nur der zweig L↑+ eineuntergruppe der LG (lorentz-gruppe), die sogen. "ortochrone LG", die andern zweige jedochnicht.
die LG hat dabei sechs parameter, deren sogen. "infinitesimalenerzeugenden" -> Mµv = -Mvµ die vertauschungsrelation
-> [Mµv, Mρσ] =i[Mµρ g vσ + Mvσ g µρ - Mvρ g µσ - Mµσ g vρ]
erfüllen. (tut mir leid für die vielen fachbegriffe, aber ich kanns leidernicht in eigenen worten beschrieiben, ausserdem wäre das dann höchstens irreführend)
ok, wenn wir das jetzt in der erwähnten 4x4 matrizen darstellung schreiben, dann haben wir folgenden ausdruck:
(i = 1,2,3)
(Mi0) aβ =-i(δa1 δβ,i+1 + δβ1δa, i+1)
(Mij) aβ =i(δa,i+1 δβ, j+1 - δa,j+1 δβ, i+1)
wenn wirden ausdruck Mi = -1/2 ε^imn Mmn, Ni = M0i definieren, dann erhalten wir:
[Mi, Mj] = iε^ijk Mk
[Mi, Nj] = iε ^ijk Nk
[Ni, Nj] =-iε ^ijk Mk
nun ja, ich finde auf den ersten blick wirken diedefinitionen arg abstrakt und man versteht kaum etwas, aber dazu sollte man sich auchschon vorher mit dem mathematischen grundgerüst der RT beschäftigt haben. dazu gibts jagenügend bücher. ich empfehle z.B. den "nolting", grundkurs theoretische physik 4,spezielle RT und thermodynamik, im springer verlag. allerdings nicht unbedingt alsabendlektüre. ;)
so, viel mehr würde ich zu den LT und den LG nicht mehrhinzupacken.
erwähnt sei noch, dass die endlich-dimensionalen undnicht-unitären irreduziblen darstellungen (ja, den ausdruck gibts wirklich! :D ) dereigentlichen LG durch zwei nicht negative ganzzahlige und halbzahlige labels (j1,j2)gekennzeichnet sind. diese darstellungen sind durch zwei zahlen gekennzeichnet: c und M.im übrigen haben die labels die dimensionen (2j1+1)(2j2+1).
die eigenschaftender zahlen wären dann:
c = eine beliebige imaginäre zahl und M = eine beliebige"nicht negative" zahl (also ganz oder halbzahlig)
-> c ist eine reelle zahl mit0 < c < 1 und M = 0.
soweit so gut. wie gesagt, die LT lassensich, wenn man bei der realität bleiben will, nur mit tieferer mathematik beschreiben.wenn man sich in das thema erstmal eingearbeitet hat, fällt es einem viel leichter, diezusammenhänge zu erschließen. es ist normal, zu beginn wie ein ochse vor dem berg zustehen und sich zu überlegen, was das geschreibsel eigentlich für einen sinn haben soll.aber ich finde, das lernen lohnt sich dann, wenn man solche ausführungen mit der zeitverstehen lernt.
R.
