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Wie funktioniert die Formel von Chaostheorie?

30 Beiträge, Schlüsselwörter: Physik, Formel, Chaostheorie
rocketfinger
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Wie funktioniert die Formel von Chaostheorie?

07.04.2006 um 23:23
oje oje, gehts schon wieder los hier mit dem typischen "begriffe-um-sich-schmeissen"und
de facto versteht keiner auch nur ansatzweise, was user XY da schnell mal ausmnetz
kopiert hat.

na ja, dann möchte ich meinen wochenendbeitrag zurallgemeinen
bildung leisten und überhaupt mal den begriff "chaos" grundlegendsowie
fachlich/physikalisch (mathematisch) ein wenig "sinnvoll" darlegen.


wir
fangen an mit einer kleinen "grundlagenüberlegung" (ganz wie in dergrundschule):


chaos - die allgemeine definition lautet: einungeordneter und schwer
vorhersagbarer zustand.

das "chaos" beinhaltetverschiedene freiheitsgrade.
was bedeutet: viele elemente, welche an einem systemteilhaben. je höher dieser anteil,
desto chaotischer das system. erstaunlicherweiseist seit kürzerer zeit die beobachtung
gemacht worden, das systeme mit einem geringenfreiheitsgrad ebenso chaotisches verhalten
an den tag legen (-> z.B. ein periodischespendel) eine solche art von chaos heisst dann
deterministisches chaos

nun ja, reduziert man dies nun auf die
reine betrachtungsweise logischenblickes, dann sollte man annehmen, dass sich hier
offensichtlich ein wiederspruchkonstituiert: "wie kann etwas determinisiert werden, wenn
es doch unvorhersagbar ist?"dazu findet sich folgende (im grunde auch recht simple)
erklärung:

"um z.B.eben das zeitverhalten unseres pendels zu beschreiben,
bedienen wir uns schlicht derdifferentialgleichungen. dies bedeutet wiederum, wir können
die schrittweisetrajektorie berechnen. aber um all dies möglich zu machen, brauchen wir
etwas sehrwichtiges: die kenntniss des anfangszustandes!!"

jetzt
verhält essich so, dass deterministisch chaotische systeme die eigenschaft haben, dass
kleinsteänderungen der anfangsbedingungen im verlauf der zeit "exponentiell" wachsen
(bzw.sich einfach verstärken)! und für diesen fakt gibt es denbegriff
schmetterlingseffekt. (wens interessiert, dies stammt vom meteorologenE.Lorenz)
nun, was ist zu beachten? -> wichtig ist folgendes:

dieanfangsbedingungen
sind experimentell immer nur mit einer "endlichen" genauigkeitbekannt und somit gibt es
auch "immer" einen fehler zu beginn. verstärkt sich diesernun, wird ein solches system
eben unvorhersagbar. und dabei gibt es eine sehr wichtigevoraussetzung, für das
deterministische chaos:

"das jeweilige system MUSSnichtlinear
sein!!!"

warum??

nun, wenn wir einependelgleichung betrachten,
dann sehen wir, dass ein ausdruck erhalten ist, der daheisst:

sin0.
nun wird der ausdruck schlicht durch 0 (null) ersetztund wir sehen KEIN chaotisches
verhalten.

wenn wir dies nun mathematischbetrachten (was leider gottes von
nöten ist, ich mags aber genausowenig ^^) dannerkennen wir, dass alle nichtlinearen
dynamischen systeme mit jeweils mehr als "zwei"freiheitsgraden eben chaotisches
verhalten zeigen und damit eben unvorhersagbarwerden. es erfolgt dadurch eine einteilung
chaotischer systeme:

-dissipative systeme <energie muss zugeführt
werden)

und

- konservative systeme (energie bleibt
erhalten)

beispiele dafürsind dann:

- dissipative systeme:
angetriebenes pendel, laser, einechemische reaktion etc.

. konservative
systeme: klassische mechanik (fastalle systeme dabei), planetenbewegungen etc.


hab keine lust, da jetzt allesanzuführen.

nun gibt es etwas wichtiges,
um das deterministische chaosüberhaupt zu verstehen bzw. genauer, um zu verstehen, wie
es zustande kommt. die sog.bernoulli-abbildung. (anmerkung: das ganze ist
verdammt mathematisch undehrlich gesagt schwer zu verstehen!)

also, eine
iterativebernoulli-abbildung lautet wie folgt:

o(x^t) = x^t+1 = 10x^t mod10


dabei sind die ausdrücke t und t+1 aber keine exponentensondern
iterations-indizes!!

dies erzeugt nun nichts anderes als eine"chaotische
punktfolge"!

was erkennen wir darin??

zweieigenschaften:


1. kleine fehler in den anfangsbedingungen verstärken sich.

2. die
trajektorie wird immer wieder zurückgefaltet und zwar auf ein"endliches" (!) intervall


als beispiel: wenn sich zwei anfangswerte um E0unterscheiden, dann erhöht
sich nach einem einzigen iterationsschritt die differenzder beiden werte um den faktor
10!! die verstärkung der fehler erfolgt damitexponentiell mit dem zeitverlauf -> t: E^t
= E^0 x 10^t = :E^0 x e^λt.

( λ ist dabei der sog.
"ljapunow-exponent". eigentlich nichts anderes alsdie angabe der exponentiellen
fehlerverstärkung. )

ok, soweit so gut. jetztkommt die wirklich interessante
sache dabei. ich übernehme dafür mal ein beispiel:

wir schauen uns eine
bestimmte auswirkung. und zwar:

x^0 = pi =3,14159....

-> x^1 =
(31,4159....) mod 10 = 1,4159...

-> x^2 = (14,159....) mod 10 = 4,159...


dabei erkennt man, dass bei jederiteration die ziffern um eine stelle nach links
gehen und die stellen VOR dem kommawerden, bis auf eine einzige stelle, abgeschnitten.
das bedeutet, dass alle stellenNACH dem komma schritt für schritt nach vorne rutschen
und somit quasi sichtbarwerden.ok, jetzt stellen wir den bezug her, den wir brauchen:


wir nehmenan, dass unsere "anfangsbedingung" eine zahl ist und zwar eine, die
wir auf dreistellen genau nach dem komma kennen. geschrieben wäre das beispielsweise:
x^0 =p0,p1,p2,p3???....

die fragezeichen sind natürlich die uns nicht
bekanntenziffern (stellen). wenn wir jetzt drei iterationsschritte durchführen (mit
o[x]),bekommen wir: x^3 = p3,???.... was heisst das? nun, das bedeutet, dass x^4=
?,???.... wäre. also in worten ausgedrückt: der vierte iterationsschritt ergibt füruns
nur noch fragezeichen ,also somit nur noch völlige unbekannte.

umgesetzt
heisst das, wir können somit keine vorhersagen mehr treffen und unser systemwird
chaotisch. jedoch kann man auch sehen, dass die drei bekannten schritte beweisen,dass
unser chaotisches system bis dahin berechnet und vorhergesagt werden kann.


so, das war im grunde das wichtige mathematische konstrukt, welches zumverständnis nötig
ist.



"Erklärt man die Unterschiede von Herkunft, Religion und Geschlecht für gleichgültig, treten die Begabungsunterschiede hervor. Sie rechtfertigen Rangfolge und Vorrecht, nur der Geist darf, seine Herrschaft entfaltend, diskriminieren - Intelligenz trennt strenger als Stand."



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rocketfinger
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Wie funktioniert die Formel von Chaostheorie?

07.04.2006 um 23:27
leider ist das noch nicht ganz alles. wir brauchen noch etwas anderes und zwar denübergang zu unseren "dissipativen systemen" und somit den "seltsamen attraktoren".

dazu auch so kurz wie möglich die erläuterung.

nichtlineare systemelassen sich beschreiben, durch:

- differentialgleichungen erster ordnung [ ->d/dt x = F(x) mit x = (x1,...,xd) ]

- iterationsgleichungen [ -> x^t+1 =G(x^t) ]

die gesamtheit der vektoren x = (x1,...,xd) spannt den sog."phasenraum". ein attraktor ist jetzt nichts weiteres als quasi ein beschränktesgebiet dieses phasenraums, in welchem im zeitverlauf die bekannte trajektorie x^t gezogenwird. hmmm...als beispiele kann man fixpunkte u. ä. nennen, oder auch grenzzyklen.

was ist nun ein "seltsamer attraktor"?? nun ja, das ist im grunde die kennzeichnungeines attraktors, bei welchem nahestehende punkte im zeitverlauf exponentiellauseinanderlaufen. kenngrößen solcher attraktoren sind die "punktdichte" p(x) (also diedefinition, wie oft ein bestimmter punkt von einem trajektor sozusagen besucht wird),sowie der vorhin genannte ljapunow-exponent ( λ1,....,λd). letzteres gibt imgrunde nur an, wie schnell benachbarte trajektoren lokal separieren.


ok, damit wäre der "mathegrundkurs" zum verständnis des chaos erstmal zu ende. ^^

aber es stellt sich nun eine wichtige frage.

wozu wird das allesüberhaupt eingestzt ???

praktisch ist es so, dass beispielsweiseturbulenzen erforscht werden mit solchen methoden. (genaueres dazu bitte googeln, habkeine lust das auch noch auszuführen) wichtig dabei ist jedoch der weg dahin, also inschaos hinen quasi. das zeitliche chaos kann erreicht werden durch dieperiodenverdopplungsroute.

(leider, meine damen und herren, muss ichnochmal mathematisch werden. und ich gebe zu, mit diesem teil hatte ich auch grosseprobleme. aber es gibt ein recht gut verständliches beispiel, um diesen mathematischenteil zu erläutern.)

also:

zur verdeutlichung nehmen wir einbekanntes beispiel einer tierpopulation auf einer bestimmten fläche. (logistischeabbildungen)

gegeben ist dafür: x^t -> die individuenzahl der population,normiert auf das intervall [0,1]. komplexe werte von r und x^t führen dabeizu den sehr bekannten mandelbrot-mengen!

haben wir nun kleinepopulationen, mit x^t << 1 wachsen diese exponentiell, weil x^t+1 ≠ rx^t und somitist auch x^t = x0r^t = x0e^tln r.

haben wir aber grosse populationen, alsoist x^t gross, dann wird das jeweilige wachstum gebremst und zwar durch den beschränktenfuttervorrat auf der gegebenen fläche (faktor 1-x^t). es gibt dazu nun bestimmteberechnungen, welche man durchführen kann, aufgrund dieser angaben und erhält dafür auchein bestimmtes bild (eine art zweierzyklus, also eine zick-zack verlauf von oben nachunten in richtung unserer t-achse des koordinatensystems).

für kleine werteeines kontrollparameters dabei hat unsere abbildung einen sog. "fixpunkt"!! wenn nun r =r1 wird, dann wird dieser instabil (zugunsten des gerade erwähnten zweierzyklus). wenn r= r2 wird, dann hätten wir einen viererzyklus, wenn r = rn wäre, dann ein zyklus derlänge 2^n. macht man weiter, so ergibt sich bei einem endlichen wert r∞ =3,5699456.... eine "unendliche" zykluslänge.

das bedeutet nun, dass unserevorhin normierte individuenzahl x^t zwischen unendlichen werten quasi hin und herspringt! und was bedeutet das?? genau: unser system wird chaotisch!!! und derljapunow-exponent λ wird bei r∞ positiv!!

der berühmte herrfeigenbaum hat als erster erkannt, dass eben diese "periodenverdopplungsroute" vollkommenuniverselle eigenschaften aufweist. so tritt dies bei allen abbildungen auf, welche imeinheitsintervall ein quadratisches maximum haben. beispiel: x^t+1 = r sin(pi x^t). beidem verhältnis von (r n+1 - rn) / (r n+2 - r n+1) läuft bei n -> ∞ gegen einen wertdelta = 4,6692016. dabei ist das verhältnis dn/dn+1 (dn ist einfach der abstandnaheliegender fixpunkte) der wert alpha = 2,5029078. alpha und delta sind dabei die sog.universellen feigenbaum zahlen.

dieses ganze gefummel und gewurstel,also jene periodenverdopplungsroute und die feigenbaumzahlen, sind ein sehr wichtigerweg, welcher zum chaos führt und somit für das verständnis des begriffs von grosserwichtigkeit sind!


was auffällt, ist, dass uns noch die andere art vonsystem fehlt.

also auf zur erklärung der konservativen systeme

das ganze ist oftmals auch bekannt als das KAM-theorem.

also, wie es obenschon steht, beschäftigt sich das ganze mit den bewegungen in konservativen systemen.ausgehend dabei ist eine entdeckung (ich glaube von "poincare" damals) in welcher sichkonstituiert, dass die bewegungsgleichungen von drei körpern, welche einer gravitativenwechselwirkung unterliegen, nicht integrabel sind. dies führt somit zu chaotischenbewegungen im raum. dazu kommt, dass aufgrund der energieerhaltung keine attraktorenvorhanden sind. ^^

das KAM-theorem besagt nun, dass bewegungen im phasenraum(immer in der klassischen mechanik) zum einen weder vollständig regulär noch vollkommenchaotisch sind. das verhalten der trajektorie ist sehr empfindlich von denanfangsbedingungen abhängig!!

daraus folgert bzw. erschliesst sich etwasunglaublich wichtiges:

stabile, reguläre bewegungen, wie sie imallgemeinen in fast allen lehrbüchern zu finden sind, sind in klassischen systemen einevöllige ausnahme!!!!



nun ja, ich schließe das ganze mallangsam ab.

zwei sachen sind mir wichtig, welche ich hier noch aufführen will.

1. die wirklich interessanten richtungen, in welche die moderne chaosforschunggeht, sind dabei z.B. die quantenchaosforschung. dabei geht es umquantenmechanische systeme, in deren grenzfall sich eben chaos zeigt. oder auch dasgebiet der chaoskontrolle -> dabei geht es, kompakt gesagt, um rückkopplungen inchaotischen systemen, was dazu führt, dass ursprünglich instabile trajektorenresonanzartig stabil werden.

aus all dem, was ich aufgeführt habe, zieht diewissenschaft einen sehr simplen, aber höchst wichtigen schluss:

aus derentdeckung des deterministischen chaos in den dissipativen und konservativen systemenergibt sich, dass selbst einfachste systeme im langzeitverhalten unvorhersagbarwerden!!


2. was meinen beitrag anbelangt, so habe ich absichtlicheiniges an mathematisch/physikalischem fachjargon hier reingeschmissen, um malklarzumachen, worauf sich die chaosforschung überhaupt aufbaut und was hinter den ach soeinfachen mathematischen konstrukten verbirgt. es ist unglaublich, dass hier jederzweite mit irgendwelchen begriffen um sich schmeisst und meint, damit irgendwas erklärtzu haben, aber noch nie eine simple berechnung geschweige denn interpretation, in bezugauf chaos-konstrukte, angestellt hat.

dass so schicke kleine programme wiebeispielsweise "fractive" diese schönen bildchen generieren, liegt nunmal daran, dasssich alles auf solchen mathematischen ausführungen aufbaut! und weil mal kurz wikipediaduchgeklickt wird und man paar begriffe und formeln wild durch die gegend kopiert, hatman noch lange nichts davon verstanden.

in diesem sinne, mein tip: anfangen zulernen und zu verstehen und nicht dieses stumpfe ablesen und pseudogefasel...

r.



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sl4tk
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07.04.2006 um 23:34
Mal was ganz anderes, verhält sich die Begriffsfähigkeit bzw. die Menge an verbrauchtenBuchstaben immer umgekehrt expotentiell zum Sozialquotienten?


"in diesemsinne, mein tip: anfangen zu lernen und zu verstehen und nicht dieses stumpfe ablesen undpseudogefasel... "


Nein, ich mach nur Spass, Du bist Klasse!




Gruss
Sal


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rocketfinger
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Wie funktioniert die Formel von Chaostheorie?

07.04.2006 um 23:38
P.S.

der erste teil ist völlig verhunzt, ich hatte den text zwischendurch in neneditor kopiert und beim refresh und neuen reinkopieren hats mir die ganze formatierungzerschossen und teile verschluckt.

sorry dafür.

"Erklärt man die Unterschiede von Herkunft, Religion und Geschlecht für gleichgültig, treten die Begabungsunterschiede hervor. Sie rechtfertigen Rangfolge und Vorrecht, nur der Geist darf, seine Herrschaft entfaltend, diskriminieren - Intelligenz trennt strenger als Stand."



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07.04.2006 um 23:41
@Forgoden

>oh man die formeln sind einfach nur komisch.
>jedesmal stehtda was anderes. und ich weiss
>nicht wo ich was zuerst rechnen muss. kann wer
>für "zn+1 := zn2 + c" in beispielszahlen
>umwandeln, so dass kein buchstabeübrigbleibt?

*g*
nun, das ist, je nach mathematischem wissenstand,
entweder relativ einfach oder verdammt
kompliziert ;)

diese "formel"die du da nennst beschreibt die
mandelbrotmenge (bekannt auch als
"apfelmaennchen".

wenn Du WIRKLICH da etwas schlauer werden
moechtest, ist es wohl unumgaenglich sich mit

1.komplexen zahlen zubeschaeftigen (aber fuer
"komplexe" besteht kein anlass;)

2.mal inerfahrung bringen, was es mit der
imaginaeren zahl "i", auf sich hat(jaja, so was
gibt es "wirklich")

3.sich die begriffe "rekursion" und "iteration"
klar zu machen.

>und ich weiss nicht wo ich was zuerst rechnen
>muss

hmm, willst Du da mit "block und bleistift", einem
taschenrechner, oderetwa mit einer
programmiersprache daran rumtuefteln ?


p.s.:
ein nettes zitat:

Die Mandelbrot - Abbildung ist (a) eine
transformierte komplexe Fassung der logistischen
Parabel und (b), vieleinfacher.(...)
Der ganze phantastische Reichtum der
Mandelbrotmenge ergibtsich aus einem einfachen
Mantra:
Quadriere z und addiere c, quadriere z undaddiere
c.... (...) .

(David Peak/Michael Frame, Komplexitaet, das
gezaehmte Chaos, 1995, S 254f)


Denke metaphorisch, denke hypothetisch, aber falle nie einem Dogma zum Opfer.


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rocketfinger
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Wie funktioniert die Formel von Chaostheorie?

08.04.2006 um 11:31
ich habe mir gedacht, da das thema chaos und dessen mathematische hintergründe jaoffensichtlich ein reges diskussionsthema sind, ergänze ich meinen gestrigen beitrag nochein wenig und gebe kurz einen kleinen überblick über das gebiet derchaoskontrolle, welches einen wichtigen teil der chaosforschung ausmacht.


es stellt sich zurecht erstmal die frage, WAS ist denn genau diechaoskontrolle??

nun ja, dabei handelt es sich, lapidar ausgedrückt, um einerecht geradlinige methode, in welcher man versucht, das chaotische verhalten einessystems in eine stabile und periodische bewegung zu überführen.

klingt blöd,ist aber so....

dazu nun genaueres:

das bekannteste dieser verfahrenist das sog. OGY-verfahren. dabei wird etwas konstituiert, dass sich stabilemannigfaltigkeit (zeichen: W^s) nennt und etwas, dass den namen instabilerperiodischer orbit (zeichen: Wî) trägt.

was hat es damit auf sich??

nun, dahinter steckt ein vorgang, bei welchem der umstand ausgenutzt wird, dass einesog. chaotische trajektorie (siehe meinen beitrag von gestern!) durch kleinste änderungendes parameters auf eben jene mannigfaltigkeit gelenkt wird und diese wird damit von dementsprechend instabilen, periodischen orbit angezogen. dabei gibt es, wie zu vielem inder chaosforschung, ein entsprechendes bild, in welchem die erläuterung mathematischerart erkannt werden kann. ich versuche mich gleich mal an paint, um das etwas näher zubringen.

so, hier das bild dazu. man möge mir meine künstlerische unfähigkeitnachsehen bitte.

gw24271,1144488707,t8m6h2

jedenfallssehen die mathematischen schritte zu diesem vorgang erstmal aus wie folgt:

inder figur zur stabilisierung eines fixpunktes z*(µ) bei einem systemparameter µεRund einer 2D-iterierten abbildung [z*t+1 = f(zt,µ)] ist dieser schritt von obendargestellt mit: zt*εR²

als ausführliche formel der parameteränderungergibt sich dabei:

δµ = (λi / λi-1) x ([zt(µ) - z*(µ)] x ei) /∂µz*(µ) x ei

dabei gilt:

ei εR² -> ist ein vektor , welcherim obigen punkt z*(µ) auf der stabilen mannigfaltigkeit W^s(µ) senkrecht steht .

λi -> ist ein instabiler (also größerer) matrix-eigenwert.
matrix: ∂f (z)/ ∂z | z=z*(µ)

∂µ ist eine partielle ableitung des dervariablen µ.

was sich hierbei ergibt, ist der fakt, dass wir die lage desperiodischen orbits und die dazugehörende, linearisierte bewegungsgleichung in dessennähe benötigen. (die linear.-bewegungsgleich. kann man beispielsweise aus einerattraktor-rekonstruktion bekommen. dabei wird eine zeitreihe genutzt).

so. wasnun folgt ist nicht weniger kompliziert.

die sich ergebende darstellung lässterkennen, dass die formel der parameteränderung (δm) auf einer linearisierungberuht. dabei folgert, dass der punkt z t+1(µ+δm) normalerweise nicht genau auf diestabile mannigfaltigkeit W^s(µ) fällt. das heisst wiederum, dass bei jeder iteration (t),die durchgeführt wird, eine änderung des parameters (δµt) notwendig ist. (aus genaudem grund wird in den berechnungen der kontrollvorgang halt nur dann durchgeführt, wenndie chaotische trajektorie zt*(µ) einen bestimmten mindestabstand hat zur stabilenmannigfaltigkeit.)

allerdings passiert dies, aufgrund des ergodischen verhaltensauf einem bestimmten attraktor oder in einer bestimmten ergodischen systemkomponente,immer wieder -> (beispielsweise bei einer chaotischen transienten).

wenn mandiesen ganzen komplizierten vorgang nun verallgemeinert und zwar entweder auf höherdimensionale systeme oder auf zeitlich kontinuierliche systeme, dann basiert die immerauf den methoden der kontrolltheorie. ^^

dazu gibt es allerdings noch einealternative, um (was unsere ausgangsvorstellung eigentlich ist) eine stabilisierung einesinstabilen, periodischen orbits in chaotischen systmeen herbeizuführen. nämlich diezeitverzögerte rückkopplung, bezogen auf die systemparameter bzw. densystemzustand (hatte ich gestern schonmal angeschnitten).

ok, dabei kann manfolgendes beispiel nehmen:

wir konstituieren ein zeitlich-kontinuierlichessystem

-> x = f(x(t),t)

dabei ersetzt man nun die rechte seite durchden ausdruck:

F(x(t),K[x(t) - x(t-τ)],t) dabei ist τ eineverzögerungszeit. und dafür muss gelten: F(x(t),0,t) = f(x(t),t). (sieht komplizierteraus, als es dann tatsächlich ist. ;) )

nun ja, mit diesen methoden können ebensehr viele unterschiedliche periodische bewegungen eben stabiliseirt werden!

dassind bis hierhin die grundzüge, welche genutzt werden in der chaoskontrolle. ein sehrspannendes gebite, man darf nur niemals den überblick verlieren, was leichter gesagt ist,als getan.

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08.04.2006 um 13:56
@rocketfinger

Ich habe mir mal die ersten beiden Beiträge von dir durchgelesen.Leider kann ich immer noch nicht behaupten, das ganze richtig zu verstehen aber diesesVerständnis tritt wohl auch erst ein, wenn man sich näher mit der Theorie und vor allenDingen mit dem diesbezügl. mathematischen Hintergrund befasst (und die Fähigkeit besitztdiesen auch nachvollziehen zu können).

Dennoch dickes Lob von mir :), dass duversuchst derlei mathematische Zusammenhänge so weit dies möglich ist, in (relativ)einfacher Art und Weise zu erklären. Mir sind jetzt zumindest Begriffe wie"deterministisches Chaos" oder "dissipatives System" etwas verständlicher geworden.

Gruß B.

Die Bildung ist für die Glücklichen eine Zierde, für die Unglücklichen eine Zuflucht. Demokrit



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rocketfinger
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08.04.2006 um 21:04
danke für dieses feedback.

ich denke, genau das ist es, was ich bezwecken will.auf gegenseitiger basis das verständnis erweitern und somit dazulernen. :)

gruss

r.

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08.04.2006 um 21:42
@rocketfinger

Ja, applaus für deine Arbeit, aber???

glaubst du echt dassich der Theradersteller auch nur mehr als 2 Zeilen reingezogen hat?
Hätte erInteresse an der Sache könnte er nach 2min googeln, 2 Jahre lernen OHNE hier einen dummenSatz zu posten.


Aber ist gut das du mal gezeigt hast wie komplex sowas ist,und das solche Theorien halt nicht nebenher kapiert werden.

Diese Iterationlässt sich doch bestimmt nett in Excel darstellen, als VB Script.


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